Atomo di idrogeno
• Particella in campo centrale
Studiamo un sistema costituito da una particella in ˙3 soggetta ad un potenziale centrale:
l’Hamiltoniana è data dall’energia cinetica più una funzione potenziale che dipende solo dal
modulo del vettore posizione :
2
H = P + V(r)
2m
Px 2 + Py 2 + Pz2
=
+V
2m
x2 + y2 + z2
La simmetria sferica suggerisce di adottare le coordinate sferiche.
Usando la rappresentazione delle posizioni per gli operatori e ricordando l’espressione
dell’operatore di Laplace in coordinate sferiche (vedi), l’equazione agli autovalori per
l’Hamiltoniano di questo sistema è
H ϕ Pr = E ϕ Pr
2
− S 2 L + V r ψ Pr = E ψ Pr
2m
2
S 2 L ψ Pr + E − V r ψ Pr = 0
2m
1 M2 r +
1
M sin ϑ M +
1
M 2 ψ r, ϑ, ϕ
Mϑ
r M r2
r 2 sin ϑ M ϑ
r 2 sin2 ϑ M ϕ 2
+ E − V r ψ r, ϑ, ϕ = 0
Quest’equazione è del tutto simile all’equazione di Laplace (incontrata durante la ricerca di
uno sviluppo in serie per funzioni definite su una sfera, vedi).
Si tratta dunque di un’equazione differenziale del second’ordine a derivate parziali.
Adottiamo il metodo di separazione delle variabili :
ponendo
ψ r, ϑ, ϕ = R r Y ϑ, ϕ
si può scrivere
1
- atomo di idrogeno -
1 Y ϑ, ϕ d 2 r R r
r
d r2
+
+
2
1
M sin θ M Y ϑ, ϕ
R
r
Mθ
Mθ
r 2 sin θ
1
M 2 Y ϑ, ϕ + E − V r R r Y ϑ, ϕ = 0
R
r
r 2 sin2 θ
M ϕ2
dividendo tutto per R(r) Y(ϑ, ϕ) si ha :
1
d2 r R r + E − V r =
r R r d r2
1
1
M sin ϑ M Y ϑ, ϕ
=−
2
Y ϑ, ϕ r sin ϑ M θ
Mϑ
−
1
1
M 2 Y ϑ, ϕ
Y ϑ, ϕ r 2 sin2 ϑ M ϕ 2
come è prassi nel metodo di separazione delle variabili, osserviamo che, poichè la funzione al
primo membro non dipende da J e j, affinchè sussista l’uguaglianza per ogni loro valore, i due
membri non possono che essere costanti:
1
M sin ϑ M Y ϑ, ϕ
Mϑ
r 2 sin ϑ M θ
1 d2 r R r
r d r2
+
1
M 2 Y ϑ, ϕ = λ Y ϑ, ϕ
r 2 sin2 ϑ M ϕ 2
+ E−V r R r + λ R r = 0
Ora, la prima equazione è proprio quella che ha come soluzione le armoniche sferiche
[…]
Le autofunzioni per il sistema ‘particella in campo centrale’ sono il prodotto di una parte
radiale per un’armonica sferica :
ψ n l m r, θ, ϕ = R n l r Yl m θ, ϕ
La parte radiale ha la forma :
Rn l r = −
dove :
2Z
n aµ
3
n−l−1 !
2n n + l ! 3
1/2
e − ρ /2 ρ L 2n l++l 1 ρ
l
- atomo di idrogeno -
ρ = 2Z r
n aµ
4 π ε0 S 2
aB =
µ=
aµ =
;
m e2
4 π ε0 S 2
µ e2
= aB m
µ
(raggio di Bohr)
m M (massa ridotta dell’elettrone) (B pag. 129)
m+M
e
n
L
2l + 1
n +l
r
ρ = 3 −1
k =0
k +1
ρk
n+l !2
(polinomi di
n r − k ! 2l + 1 + k ! k!
Laguerre)
dove nr = n - l - 1
Mentre ricordiamo che le armoniche sferiche hanno la forma :
Yml θ, ϕ =
2 l +1
4π
l−m !
l+m !
P lm cos θ e i m ϕ (armoniche sferiche)
dove
P lm x =
−1 m
2 l l!
1 − x2
m/ 2
d l + m x 2 − 1 l (funzioni di Legendre)
d xl + m
Vediamo che i numeri quantico hanno il seguente comportamento :
n = 0, 1, 2 ...
l = 1, 2, 3, ..., n-1
ml = -l, -l+1, ... l-1, l.
Per la nomenclatura dei numeri quantici diciamo che :
n = numero quantico principale (Bransden 133)
l = numero quantico di momento angolare orbitale (B. 84)
3
- atomo di idrogeno -
ml = numero quantico magnetico (B. 84)
Notazione spettroscopica
[…]
• autostato fondamentale
A partire dalla formula generale si ha :
ψ 0 0 0 r, θ, ϕ =
1
π
Z
aB
3/2
e
−
Z
r
aB
(funzione d’onda)
(vedi Bransden p 140 tavola 3.1)
La formula che invece fornisce gli autovalori è
2 2
Z
e
En = −
2 aB n2
(autovalori)
qui Z è il numero atomico, in quanto queste formule sono valide anche per ioni con un unico
elettrone (atomi idrogenoidi)
4
