Formule di elettrostatica
Coordinate sferiche
x=r sin cos
y=r sin sin
z=r cos
2
Infinitesimo di superficie: dV =r sin d d
Infinitesimo di volume: dV =r 2 dr sin d d
Limiti coordinate sferiche
r: 0 ∞
Angolo zenitale : 0
Angolo azimutale : 0 2
Densità di carica
Lineare: =
dq
dl
dq
dS
Superficiale =
Volumetrica =
Campo elettrico
q1 q 2
= 1
F
4 0 d 2
Verso:
q
=lim F =
E
q
q0
4 0 d 2
0=8.85⋅10−12
+ uscente
dq
dq
oppure
dV
d
- entrante
=−∇ Ep
F
=qE
F
r =−∇ V⋅d r ⇒ E⋅d
r =−dV ⇒
E=−∇
V ⇒ E⋅d
B
r =−V =V A−V B
∫ E⋅d
A
2 0
Campo di un piano infinito carico:
Flusso di un campo
v =∬ v⋅n dS
S
=
∇⋅E
0
Circuitazione
r =0
∮ E⋅d
forma integrale
è conservativo
⇒ E
forma integrale
=0
∇×E
forma locale
forma locale
Teorema di Gauss (vale per superfici chiuse)
=
E
Q
0
quindi
∬ E⋅n dS = Q
0
S
Energia potenziale
E p=
1 q1 q 2
cost
4 0 d
Ep non è una grandezza, ma un indice di stato. La grandezza è E p
Di solito si sceglie cost in modo tale che E p ∞=0
L=− Ep
Potenziale
V=
q
Ep
cost=
q
4 0 d
V =
L non elettrico
q
[V ]=Volt=
Joule
Coulomb
Conduttori
2 sfere conduttrici, inizialmente:
Q1≠0 e Q2=0 e V1=V2
Dopo contatto e separazione:
Q ' 1=Q 1
R1
R1R 2
Q ' 2=Q 2
R2
R1R 2
Dielettrici (isolanti)
All'interno dei dielettrici il campo non è nullo.
Vettore polarizzazione : P
⋅n
POL= P
=0 E
P
D
POL=−∇ P
Per i dielettrici lineari:
0 r −1 E
P=
=0 r E
= E
D
r 1 sempre
Teorema di Gauss per i dielettrici
∇⋅D=
LIB forma differenziale
=Q LIB forma finita
D
Divergenza in coordinate sferiche
∇⋅v =
2
1 ∂r v
per qualsiasi v dipendente solo da r
r2 ∂ r
Condensatore piano
C=
0 S
h
Q=C V
E=
V
h
Correnti
I=
dq
dt
[ A]
I =∬
J⋅n dS
S
Densità di corrente: J = v
∂
Equazione di continuità: ∇⋅J =− ∂ t
resistività : R
V=ℜ I Legge di Ohm
E
= R J forma generale
dl
d ℜ= R
Seconda legge di Ohm
S
conducibilità :
d
⇒ −∯ J ⋅n dS = ∭ d
dt
S
1
=g
R
Magnetismo
r
i dl×
B=
∮
4
r
0
3
=0
∇⋅B
= J COND
∇×H
solo per fenomeni non tempovarianti
= B −M
H
0
= lim m = d m
Magnetizzazione: M
Momento di dipolo magnetico m
n
=i S
d
0
=
B=0 1
M
H
m H
m
suscettività magnetica
J MAGN
=∇× M
correnti di magnetizzazione
r
=M
×n
J MAGN.sup
Formule di Laplace
r
0 i dl×
4 r3
2
d F21=i 1 dl 1× db
B=
=q E
v × B
=q v × B
o in forma più completa: F
Forza di Lorentz: F
J =g E
Equazioni di Maxwell
∇⋅
D= LIB
−∂ B
∇ × E=
∂t
=0
oppure, nel caso statico ∇× E
= J COND
∂ D oppure, nel caso statico
∇×H
∂t
=0
∇⋅B
Energia Elettrostatica
1
U =∭ E d
2
2
∞
0
1
2
Nei conduttori: U = Q V
1
2
2
Nei dielettrici: U =∭ 0 r E d
∞
= J COND
∇× H
