Programma dettagliato di Analisi Matematica I
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Ing. per l’Ambiente ed il Territorio - Ing. Civile - Ing. dei Trasporti
(Canale M - Z)
A.A. 2006/2007 - Prof.ssa Elisa Vacca
Elementi di teoria degli insiemi. L’insieme e le sue rappresentazioni; sottoinsiemi propri ed impropri; operazioni e loro proprietà: unione, intersezione, differenza e complementare; prodotto cartesiano; insiemi disgiunti; insiemi finiti e infiniti; cenni alla cardinalità
del numerabile e del continuo. Simboli logico-matematici. Richiami di matematica elementare: potenze ad esponente reale, radice n-esima, logaritmi, esponenziali, modulo o valore
assoluto e loro proprietà; simbolo di sommatoria, progressioni aritmetiche e geometriche. Insiemi numerici: definizione assiomatica dei numeri reali; numeri interi, relativi e razionali.
Assioma dell’ordinamento. Assioma di completezza. I razionali non verificano l’assioma di
completezza (con dimostrazione). Numeri complessi: forma cartesiana ed operazioni; forma
algebrica e operazioni; parte reale, parte immaginaria, numero complesso coniugato, modulo di un numero complesso e loro proprietà; equazioni complesse; rappresentazione grafica di
un numero complesso: forma trigonometrica: prodotto (formula di Moivre), quoziente, potenza
n-esima e radice n-esima; Teorema fondamentale dell’algebra; forma esponenziale ed operazioni.
Insiemi di numeri reali. Intervalli limitati e illimitati, aperti e chiusi; maggiorante
e minorante; insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati; caratterizzazione
degli insiemi limitati; estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di un insieme limitato o illimitato. Intorno centrato, intorno destro, intorno sinistro, intorni di infinito. Punto di
accumulazione; punto isolato; insieme chiuso; punto interno, punto esterno e punto di frontiera.
Funzioni di una variabile. Il concetto di funzione; dominio; codominio o insieme
immagine; grafico, sopragrafico e sottografico di una funzione; funzione iniettiva, suriettiva e
biiettiva; funzione invertibile e funzione inversa. Funzioni monotone; funzione pari e funzione
dispari; funzione periodica. Funzione limitata e caratterizzazione. Funzioni elementari: funzione lineare, funzione potenza, funzione reciproca, funzione esponenziale, funzione logaritmica,
funzione valore assoluto, funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche, funzioni trigonometriche inverse. Operazioni sulle funzioni: combinazione lineare, prodotto e quoziente. Funzione
composta e funzione inversa.
Successioni. Definizione di successione. Successione convergente, successione divergente;
successione infinitesima; successione infinita; successione regolare ed irregolare. Teorema di
unicità del limite (con dimostrazione). Successioni limitate inferiormente, limitate superiormente, limitate. Limitatezza delle successioni convergenti (con dimostrazione). Sottosuccessioni e successioni regolari. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Operazioni con i limiti e forme
indeterminate. Teorema del confronto; Teorema dei carabinieri; Teorema sul prodotto di una
successione limitata per una infinitesima (con dimostrazione). Limiti notevoli. Successioni
monotone e Teorema sul comportamento asintotico di una successione monotona. Numero di
Nepero e. Confronto tra infiniti ed infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo. Infiniti ed
infinitesimi campioni. Principio di sostituzione.
Serie numeriche. Definizione di serie e di ridotta n-esima; serie convergente, serie di-
vergente, serie indeterminata, somma della serie. Condizione necessaria per la convergenza
(con dimostrazione). Esempi: serie geometrica; serie armonica generalizzata; serie telescopiche.
Operazioni con le serie: somma e prodotto per una costante. Resto n-esimo. Teorema del
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resto. Serie a termini non negativi e Teorema sul carattere delle serie a termini non negativi
(con dimostrazione). Criteri di convergenza: Criterio del confronto; Criterio dell’ infinitesimo;
Criterio del rapporto; Criterio della radice. Serie a termini di segno alternato: Criterio di Leibnitz. Serie a termini di segno qualunque: convergenza assoluta. Proprietà associativa. Serie di
Taylor. Funzione sviluppabile in serie di Taylor. Alcuni sviluppi di Taylor.
Limiti di funzioni di una variabile. Limiti all’infinito e limiti in un punto. Limite
destro e sinistro in un punto. Teorema Ponte (limiti di funzioni visti come limiti di successioni).
Teorema di unicità del limite. Operazioni con i limiti e forme indeterminate; limite di funzioni
composte. Teorema del confronto sui limiti di funzioni. Limiti fondamentali e limiti notevoli.
Confronto tra infiniti ed infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo. Relazioni asintotiche.
Funzioni continue di una variabile. Definizione di funzione continua; continuità a
destra e continuità a sinistra; punti singolari: discontinuità di salto (o prima specie), discontinuità di seconda specie e discontinuità eliminabile (o terza specie). Continuità di funzioni
elementari ed operazioni sulle funzioni continue. Teorema della permanenza del segno; Primo
teorema di esistenza dei valori intermedi; Teorema di esistenza degli zeri; Teorema di Weierstrass; Secondo teorema di esistenza dei valori intermedi (con dimostrazione); Continuità delle
funzioni monotone; Teorema di invertibilità e continuità della funzione inversa.
Calcolo differenziale per le funzioni di una variabile. Definizione di derivata,
derivata destra e derivata sinistra. Concetto di derivabilità e Teorema: la derivabilità in un
punto implica la continuità in un punto (con dimostrazione). Punti di non derivabilità: punto
angoloso, cuspide e punto a tangente verticale. Tabella delle derivate di funzioni elementari.
Operazioni elementari con le derivate. Teorema sulla derivata di funzione composta. Teorema
sulla derivata di funzione inversa. Tabella delle derivate di funzioni trigonometriche inverse.
Significato geometrico della derivata. Equazione della retta tangente. Significato fisico della
derivata. Teorema di L’Hôpital. Massimi e minimi relativi propri ed impropri. Punti stazionari.
Teorema di Fermat (con dimostrazione). Condizioni sufficienti per la ricerca dei massimi e minimi relativi. Teorema di Rolle (con dimostrazione) e significato geometrico. Teorema di Cauchy.
Teorema di Lagrange e significato geometrico. Funzioni crescenti e decrescenti. Criterio di
monotonia. Caratterizzazione delle funzioni costanti. Criterio di monotonia stretta. Asintoti
orizzontali, verticali ed obliqui. Massimo assoluto e minimo assoluto proprio ed improprio.
Ricerca del massimo assoluto e del minimo assoluto in domini limitati o illimitati. Funzione
convessa e funzione concava. Criterio di convessità. Punto di flesso. Studio del grafico di una
funzione. Definizione del differenziale di una funzione. Funzione differenziabile. Formula di
Taylor e formula di Mac Laurin. Polinomio di Taylor. Definizione di “o” piccolo; resto di
Peano e formula di Lagrange per il resto. Calcolo di limiti con la formula di Taylor. Principio
di sostituzione.
Calcolo integrale per le funzioni di una variabile. Integrali definiti: partizione di un intervallo e somme integrali inferiori e superiori; integrale definito (secondo Riemann) di una funzione limitata in un intervallo e sua interpretazione geometrica. Proprietà di
additività, linearità e del confronto. Teorema della media (con dimostrazione). Integrabilità
di funzioni continue. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Primitiva; caratterizzazione delle primite; Formula fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Integrale indefinito: integrale indefinito di una funzione continua
in un intervallo. Tabella degli integrali immediati. Integrazione per decomposizione in somma.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Formule di razionalizzazione tramite particolari sostituzioni. Calcolo di aree. Integrali impropri:
integrale improprio di funzione continua e non negativa in un intervallo limitato o illimitato.
Criterio del confronto.
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