1 Serie di potenze 2 Equazioni differenziali 3 Integrali Multipli

Esercizi di Analisi Matematica II - 20 dicembre 2002
1
Serie di potenze
Determinare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni
differenziali
Calcolare il raggio di convergenza e la somma f (x) delle
seguenti serie di potenze. (Traccia: nei primi due esercizi
si calcoli f 0 (x).)
1.1
∞
X
xn
n2n
n=1
1.4
2.7 y 00 + y 0 − 12y = 2xe−4x
2.8 y 00 + 16y =
(−1)n x2n+1
n=1
Determinare lo sviluppo di Taylor di punto iniziale x0
delle seguenti funzioni.
1
,
1.5 f (x) = 3
x − 2x
1.6 f (x) =
x2
x0 = 1,
1
,
+ 3x + 2
1 − 6x2
,
(1 + 5x2 )2
x
,
8
x0 = 0,
x0 = 0.
Determinare l’insieme di convergenza delle seguenti serie
di funzioni.
∞
X
1.9
n=1
x2
,
(1 + πx2 )n
1.10
∞
X
n+2
(log x)n .
2+3
n
n=0
1.11
∞
X
(9n)2n n
x .
(2n)!
n=0
2
Equazioni differenziali
Risolvere i seguenti problemi di Cauchy



 4y 00 − 12y 0 + 9y = 0 ,
2.1


 y(2) = 0 ,
y 0 (2) = e .
2.2
3
cos x
Dire se è esatta e risolvere la seguente equazione
differenziale
µ
¶
1
1
− 1 + 3 cos(3x) − √
x0 = 0
2.9 √
2t − 3x
2 2t − 3x
3
Integrali Multipli
3.1 Calcolare l’integrale
√ 2 2
ZZ
e x +3y
p
dxdy ,
x2 + 3y 2
C
x0 = 0,
1.7 f (x) = x sin 7x − 1 + cos
1.8 f (x) =
2.4 y 00 + y 0 − 12y = 3x2
2.6 y 00 − 2y 0 + 5y = x3 + 2
∞
X
x2n+1
(n + 1)!
n=1
∞
X
2.3 y 00 − 10y 0 + 61y = 0
2.5 4y 00 − 12y 0 + 9y = 3x − 7
∞
X
(n − 1)xn
1.2
n!
n=1
1.3
1
√
dove C è la regione interna all’ellisse di semiassi 1 e 1/ 3.
3.2 Calcolare l’integrale
ZZ
e4x−5y dxdy,
R
dove R = [0, 10] × [0, 7].
3.3 Calcolare l’area del segmento parabolico S limitato
dalla parabola y = 3x2 e dalla retta y = 5x.
3.4 Calcolare l’integrale
ZZ
cos5 (x2 + y 2 ) dxdy ,
S
dove S è il settore di corona circolare di centro l’origine
p
p
e raggi π/4 e π/2, che é limitato dalle bisettrici del
primo e quarto quadrante.
3.5 Calcolare l’integrale
ZZ
xy 3 dxdy ,
Q
dove Q è l’intersezione del primo quadrante con il cerchio



 y 00 + y 0 − 12y = 0 ,
di centro l’origine e raggio 3.


 y(0) = 3 ,
3.6 Calcolare l’area dell’insieme piano D limitato dalla
circonferenza x2 + y 2 = 4 e dalla parabola y 2 = 3x.
0
y (0) = 0 .
Esercizi di Analisi Matematica II - 20 dicembre 2002
4
3.7 Calcolare l’integrale
ZZ
x2 y dxdy ,
D
dove D = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + y 2 ≤ 3 ,
3.8 Calcolare l’integrale
ZZ
T
x2
y ≤ |x|}.
1
dxdy ,
+ 9y 2
3.9 Calcolare l’integrale
ZZ
y
dxdy ,
x2 + y 2
dove D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ y ≤ 3 , x2 + y 2 ≥ 9}.
3.10 Calcolare l’integrale
ZZ
xy cos x dxdy ,
D
dove D = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 3π/2 , 0 ≤ y ≤ | sen x| }.
2
3.11 Calcolare l’integrale
ZZZ
(x2 + z) dxdydz ,
T
dove T = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 4}.
3.12 Calcolare il volume del solido che si ottiene facendo
ruotare intorno all’asse z il dominio
D = {(x, z) ∈ R2 :
Forme differenziali
4.1 Calcolare l’integrale curvilineo
Z
[xdx + arccos xdy],
Γ
dove Γ é il cammino di equazioni parametriche x = cos t,
y = sen t, π ≤ t ≤ 2π.
√
dove T é il trapezio di vertici (1, 0), ( 5, 0), (1, 1),
√ √
( 5, 5).
D
2
x2
+ z 2 ≤ 1, x + 5z ≥ 5}.
25
3.13 Calcolare il volume del toro che si ottiene ruotando
attorno all’asse z il cerchio
D = {(x, z) ∈ R2 : (x − 4)2 + z 2 ≤ 9}.
3.14 Calcolare l’integrale
ZZZ
(y 2 + z 2 ) dxdydz ,
A
dove A = {(x, y, z) : |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 }.
3.15 Calcolare l’integrale
ZZ
|x2 − y 2 | log |x| dxdy ,
A
dove A è il quadrato di lato 2 centrato in 0.
4.2 Calcolare l’integrale
ZZ
(3y 2 + 2x2 ) dxdy ,
D
dove D è la regione dei punti interni all’ellisse di equazione
x2 + 4y 2 = 4.
4.3 Calcolare l’integrale
ZZ
D
y
dxdy ,
1 − 2x
dove D è la regione dei punti interni alla circonferenza di
centro 0 e raggio 1/2.
5
Superfici e integrali superficiali
5.1 Calcolare l’area della superficie di equazione z = xy
nel semicerchio x2 + y 2 ≤ 2, y ≥ 0.
5.2 Calcolare l’integrale superficiale
Z
xy dσ
Σ
dove Σ è la superficie di equazione z = x2 + y 2 nel
rettangolo |x| ≤ 2, |y| ≤ 3.
x
5.3 Si calcoli l’area del grafico della funzione z = arctg
y
nell’insieme K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 5 , |y| ≤ x}.
6
Integrali doppi impropri
6.1 Se T è il triangolo di vertici (0, 0), (2, 1) e (2, 2), dire
se l’integrale
ZZ
1
dxdy
2x
+
3y
T
è convergente o divergente.
6.2 Dato D = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 2}, dire per quali
valori del parametro δ > 0 l’integrale
ZZ
1
dxdy ,
δ
D (|x| + |y|)
converge .
6.3 Calcolare l’integrale
ZZ
y 4 e−6x dxdy ,
D
dove D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , −ex ≤ y ≤ ex }.
Esercizi di Analisi Matematica II - 20 dicembre 2002
7
Serie di Fourier
Determinare lo sviluppo in serie di Fourier delle funzioni
periodiche di periodo 2π che in [−π, π] valgono:
7.1 f (x) = x3 ,
7.2 f (x) = e2x ,
7.3 f (x) = 1 ,
7.4 f (x) = e−3x ,
7.5 f (x) = π − |x| ,
7.6 f (x) = sgn x ,
7.7 f (x) = (π − |x|)2 .
Per ognuna delle funzioni precedenti precisare anche per
ogni x ∈ [−π, π] la somma della serie di Fourier.
3