Calcolo delle Probabilità e Statistica,
Ing. Informatica e dell’Automazione
22/2/2011
Il seguente esercizio va svolto su questo foglio prestampato.
Esercizio 1. In un’urna ci sono 8 palline etichettate con numeri da 1 a
8. Si estrae una pallina; poi, senza rimettere nell’urna la pallina già estratta,
si estrae un’altra pallina.
i) Qual è la probabilità che entrambe le palline abbiano sull’etichetta un
numero pari?
ii) Qual è la probabilità che esattamente uno dei numeri sulle etichette sia
> 5?
iii) Qual è la probabilità che la somma dei numeri sulle etichette sia > 10?
1
Calcolo delle Probabilità e Statistica,
Ing. Informatica e dell’Automazione
22/2/2011
I seguenti due esercizi possono essere svolti sui fogli a quadretti.
+1
Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) = C jxj e jxj .
i) Stabilire per quali valori di e C essa sia una densità di probabilità.
Si indichi nel seguito con X una v.a. con tale densità.
ii) Trovare la funzione di ripartizione F di X.
iii) Detta X 0 una copia indipendente di X, trovare la densità fY (t) di
Y = min (X; X 0 ), per t 0.
iv) Per = 1, calcolare E [jXj].
Esercizio 3. Consideriamo due agenti …nanziari. Ogni ora, ciascun
agente compie un’azione, scelta tra due possibilità A e B. Ci sono pertanto
quattro possibilità di azioni scelte dai due agenti: (A; A), (A; B), (B; A),
(B; B) (ad esempio, (A; B) signi…ca che il primo agente sceglie A ed il secondo
B).
Quando si realizza (A; A), il primo agente guadagna 10 ed il secondo 0.
Quando si realizza (A; B), il primo guadagna 0 ed il secondo 10. Quando
si realizza (B; A), il primo guadagna 0 ed il secondo 10. Quando si realizza
(B; B), il primo guadagna 10 ed il secondo 0.
I due agenti scelgono in modo indipendente l’uno dall’altro, scegliendo
però in base al proprio guadagno dell’ora precedente: se hanno guadagnato
10 conservano la scelta precedente, altrimenti la modi…cano con probabilità
1/2.
i) Descrivere il problema con una catena a 4 stati, stabilire tutte le
proprietà di tale catena e calcolare il guadagno medio di ciascun agente
all’equilibrio.
ii) Rispondere alle stesse domande nella seguente variante del caso precedente: i due agenti scelgono in modo indipendente l’uno dall’altro; il primo,
se guadagna 10 cambia, mentre se guadagna 0 cambia con probabilità 1/2; il
secondo, se guadagna 10 conferma la scelta precedente, mentre se guadagna
0 cambia (si consiglia di rileggere più volte questo testo).
iii) Calcolare, nel caso (ii), la probabilità di trovarsi in (A; A) partendo da
(B; B) in n passi (n qualsiasi), traendo delle conclusioni anche in relazione a
fatti scoperti al punto (ii). Calcolare poi la probabilità di trovarsi in (A; A)
partendo da (A; B), in 8 ed in 9 passi. Cercare in…ne di capire se vale la
convergenza all’equilibrio partendo da (A; B).
2
1
Soluzioni
Esercizio 1. a) Il numero di estrazioni (possibili) di 2 palline senza rimpiazzo
da un insieme di 8 elementi è pari al numero di sottoinsiemi di 2 elementi
8
8 7
= 28. Il numero di estrazioni
da un insieme di 8 elementi, cioè
=
2 1
2
(favorevoli) di 2 palline senza rimpiazzo da un insieme di 4 elementi (i 4
numeri pari fra 1 e 8) è pari al numero di sottoinsiemi di 2 elementi da un
4
4 3
= 6.
insieme di 4 elementi, cioè
=
2 1
2
6
3
La probabilità p richiesta sarà quindi p =
= .
28
14
Soluzione alternativa.
1
4
La probabilità che la prima pallina estratta sia pari è = ; la probabilità
8
2
che anche la seconda pallina sia pari (sapendo che una pari è già stata es3
tratta) è . La probabilità p richiesta è il prodotto delle probabilità, quindi
7
1 3
3
p=
= .
2 7
14
b) Detti X1 , X2 i numeri sulle etichette delle due palline estratte la probabilità richiesta può essere calcolata come P (X1 > 5; X2 5) + P (X1 5; X2 >
30
15
3 5 5 3
+
=
= .
5) =
8 7 8 7
56
28
Seconda soluzione.
Per simmetria, il numero dei casi “favorevoli” può essere determinato raddoppiando il numero di casi ottenuto imponendo che la prima estrazione
dia un esito > 5 e la seconda un esito
5. Tale valore si ottiene mettendo ai primo posto della coppia ordinata che rappresenta i due numeri
estratti un qualunque elemento dell’insieme A = f6; 7; 8g e al secondo posto
un qualunque elemento dell’insieme B = f1; 2; 3; 4; 5g, ed è quindi pari a
#(A) #(B) = 3 5 = 15 (non c’è problema di rimpiazzo nel calcolo dei casi
“favorevoli”, in quanto gli insiemi A e B sono disgiunti). Quindi la probabil15
2 15
ità richiesta è
= .
56
28
c) La prima pallina estratta deve avere sull’etichetta un numero (10+1) 8,
cioè 3. Ci sono quindi 6 casi da considerare per calcolare quante sono le
seconde estrazioni “favorevoli”:
(3; 8)
(4; 7)(4; 8)
3
(5; 6)(5; 7)(5; 8)
(6; 5)(6; 7)(6; 8)
(7; 4)(7; 5)(7; 6)(6; 8)
(8; 3)(8; 4)(8; 5)(8; 6)(8; 7)
per un totale di 18 casi “favorevoli”. Naturalmente non c’è bisogno di conteggiare i casi “favorevoli” elencandoli uno per uno: supponiamo di conteggiarli in una situazione con rimpiazzo e poi togliamo i casi corrispondenti
a due estrazioni dello stesso numero (che non sono consentite nelle estrazioni
7 6
= 21
senza rimpiazzo). Dobbiamo calcolare 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
2
(dobbiamo cioè sommare i primi 8 3+1 numeri naturali) e togliere le coppie
di numeri (compresi fra 1 e 8) uguali fra loro e con somma > 10, che sono
10
8
= 3. Quindi 21 3 = 18 sono i casi “favorevoli” e la probabilità
2
18
9
richiesta è
= .
56
28
Soluzione alternativa:
Dato che la somma fra numeri gode della proprietà commutativa, per il conteggio dei casi “favorevoli”possiamo supporre senza perdita di generalità che
il primo numero sia più grande del secondo e poi raddoppiare il numero di
casi ottenuto. Per la prima estrazione abbiamo 3 possibilità (6, 7 o 8). Per
la seconda estrazione, il numero di casi “favorevoli”parte da 1 se alla prima
viene estratto 6, e cresce di 2 ogni volta che il primo numero estratto sale di
uno. In totale avremo quindi 2 (1 + 3 + 5) = 2 9 = 18 casi “favorevoli” e
9
18
= .
la probabilità richiesta è
56
28
Esercizio 2. L’esercizio è simile a quelli già dati, per cui verranno solo
riportati pochi dettagli.
i) Ogni
> 1 va bene (l’esponenziale rende integrabile la funzione,
come si vedrà anche dal seguente calcolo), mentre per = 1 la funzione
jxj 1 non è integrabile. Vale
Z 1
Z 1
C
+1
jxj +1
( + 1) x e x dx
C jxj e
dx = 2
+1
1
0
C
C h x +1 i1
=2
=
2
e
+1
+1
0
se
>
1 (altrimenti diverge) e dobbiamo prendere C =
4
+1
.
2
ii) Dobbiamo calcolare
F (t) =
Z
t
1
+1
jxj e
2
+1
jxj
dx:
Se t < 0, vale
F (t) =
=
Invece, per t
iii)
Z
Z 1
+1
+1
jxj +1
jxj e
dx =
x e
2
2
1
t
+1
+1
1 h x +1 i1
1
1
e
= e jtj :
= e ( t)
2
2
2
t
t
x
+1
dx
0, vale
Z t
1
+1
+1
F (t) =
+
x e x dx
2
2
0
1 1 h x +1 it
1
=
e
e
=1
2 2
2
0
t
+1
1
e
2
=1
jtj
+1
FX (t))2
P (Y > t) = P (X > t; X 0 > t) = P (X > t) P (X 0 > t) = (1
FY (t) = 1
(1
:
FX (t))2
quindi
fY (t) = 2 (1
FX (t)) fX (t) = 2 (1
1
= 2 e
2
jtj
E [jXj] =
Z
iv)
La densità N 0; 21 è
+1
+1
jtj e
2
1
jtj
1+1
jxj e
jxj
2
1
g (x) = q
1
2
+1
jxj2
=
1
2
5
+1
jtj e
2
dx =
x2
2 12
exp
+1
jtj e
2
FX (t))
Z
1
x2 e
1
1
=p e
x2
2jtj
x2
+1
dx:
:
jtj
+1
e la sua varianza è
Z
1
=
2
pertanto
Z
1
1
1
jx
2
xe
1
0j2 p e
x2
dx =
p
2
1
x2
dx
:
Questo è E [jXj].
Esercizio 3. i) Detti 1 = (A; A), 2 = (A; B), 3 = (B; B), 4 = (B; A) i
quattro stati, vale ad esempio
P ((A; A) ! (A; A))
P ((A; A) ! (A; B))
P ((A; A) ! (B; B))
P ((A; A) ! (B; A))
=
=
=
=
P (secondo agente non cambia) = 1=2
P (secondo agente cambia) = 1=2
0
0
(per il fatto che quando siamo in (A; A) il primo agente resta in A sicuramente) e così via. La matrice di transizione è
0
1
1=2 1=2 0
0
B 0 1=2 1=2 0 C
C
P =B
@ 0
0 1=2 1=2 A
1=2 0
0 1=2
(si disegni anche il grafo). E’un’unica classe irriducibile, quindi c’è un’unica
misura invariante. La matrice è bistocastica, quindi la misura invariante è
uniforme: = (1=4; 1=4; 1=4; 1=4). La matrice è regolare (ad esempio perche’
è irriducibile e con un elemento diagonale positivo), quindi c’è convergenza
all’equilibrio. Non vale il bilancio dettagliato (es. p41 12 6= p14 12 ).
Il guadagno medio all’equilibrio del primo agente è
(A;A)
10 +
(B;B)
10 = 5:
Per simmetria questo è anche il guadagno medio del secondo agente.
ii) Ora vale, ad esempio,
P ((A; A) ! (A; A))
P ((A; A) ! (A; B))
P ((A; A) ! (B; B))
P ((A; A) ! (B; A))
6
=
=
=
=
0
0
1
0
(per il fatto che quando siamo in (A; A) entrambi gli agenti cambiano sicuramente) e così via, facendo attenzione che ora la situazione non è più
simmetrica tra i due agenti. La matrice di transizione è
0
1
0
0
1
0
B 0 1=2 1=2 0 C
C
P =B
@ 1
0
0
0 A
1=2 0
0 1=2
(si disegni anche il grafo). Gli stati (A; A) e (B; B) formano una classe
0 1
irriducibile con matrice ridotta
bistocastica e quindi misura in1 0
0 1
variante uniforme, ma non regolare, in quanto le sue potenze sono
1 0
1 0
stessa oppure
. Gli altri sue stati sono transitori. L’unica misura
0 1
invariante è pertanto = (1=2; 0; 1=2; 0). Il guadagno medio del primo agente
è
(A;A) 10 + (B;B) 10 = 10
mentre quello del secondo agente è nullo.
iii) Se n è dispari, la probabilità è 1, altrimenti è zero. Si vede quindi
(n)
che p3;1 non tende a 1 , coerentemente con la scoperta fatta sopra della non
regolarità.
Se si parte da (A; B), è indispensabile connettersi a (B; B) in modo da
avere poi un numero dispari di passi davanti, altrimenti il contributo è nullo.
Quindi va bene andare subito in (B; B) (poi nei restanti 9 passi si arriva in
(A; B)), tragitto che ha probabilità 1/2. Oppure e¤ettuare
(A; B) ! (A; B) ! (A; B)
e poi andare in (B; B), tragitto che ha probabilità
1
2
1
2
1
.
2
Oppure e¤ettuare
(A; B) ! (A; B) ! (A; B) ! (A; B) ! (A; B)
e poi andare in (B; B), tragitto che ha probabilità
la probabilità richiesta è
1
2
1
+
1
2
3
+
5
1
2
+
7
1
2
1 5
.
2
E così via, quindi
7
= 0:664 06:
Se si vuole la probabilità in 9 passi, con ragionamenti analoghi si trova
1
2
2
+
1
2
4
+
6
1
2
+
1
2
8
= 0:332 03:
Si intuisce che non c’è convergenza all’equilibrio. Rigorosamente, vale
1 (8)
(9)
p21 = p21
2
e si intuisce che in generale valga
(2n+1)
p21
1 (2n)
= p21
2
(n)
per cui non può accadere che p21 ! 12 .
8
