Esempio a) Scrivere le equazioni di Hamilton per il moto di una sbarra rigida omogenea di lunghezza 2 ` e massa m che si muove nel piano verticale xy, soggetta alla forza peso, scegliendo come parametri lagrangiani le coordinate x, y del baricentro e l’angolo ϑ, come in figura; b) determinare l’integrale particolare del moto relativo alle condizioni iniziali: x0 = 0, y0 = 0, ϑ0 = π2 , ẋ0 = v0, ẏ0 = 0, ϑ̇0 = ω con v0, ω costanti; c) Individuare le eventuali coordinate cicliche e gli integrali primi del moto. O π/2 x B G (x,y) ϑ A mg y notebook a) Il sistema è a tre gradi di libertà; le variabili canoniche sono: sono: q1 = x, q2 = y, q3 = ϑ p1 = px , p 2 = py , p 3 = pϑ Le forza peso è conservativa per cui si può scrivere la lagrangiana: L=T +U L’hamiltoniana è di conseguenza: H = ẋ px + ẏ py + ϑ̇ pϑ − L Le equazioni di Hamilton sono sei e hanno la forma: ẋ = ∂H , ∂px ṗx = − ∂H ∂x ẏ = ∂H , ∂py ṗy = − ∂H ∂y ϑ̇ = ∂H , ∂pϑ ṗϑ = − ∂H ∂ϑ — calcolo dell’Hamiltoniana La lagrangiana vale: L= 1 1 m (ẋ2 + ẏ 2) + m `2ϑ̇2 + m g y 2 6 E quindi possiamo ricavare i momenti canonici ed esprimere le variabili lagrangiane in termini di quelle hamiltoniane: px = ∂L = m ẋ, ∂ ẋ ẋ = py = px , m ∂L = m ẏ, ∂ ẏ ẏ = py , m pϑ = ϑ̇ = ∂L 1 = m `2ϑ̇ ∂ ϑ̇ 3 pϑ 1 2 3 m` L’hamiltoniana deve essere espressa in funzione delle variabili hamiltoniane: p2x p2y p2ϑ H= + + − m m 13 m `2 2 p2y p2ϑ px + +2 + m g y − 2 m 2 m 3 m `2 p2y p2ϑ p2x H= + + + mgy 2 m 2 m 23 m `2 Le equazioni del moto di Hamilton divengono: ẋ = px , m ṗx = 0, ẏ = py , m ṗy = m g, ϑ̇ = pϑ 1 2 3 m` ṗϑ = 0 b) Integrando le seconde e imponendo le condizioni iniziali otteniamo: px = m v 0 , py = m g t, pϑ = 1 m`2ω 3 Quindi, integrando le prime e imponendo le condizioni inziali: x = v0t, y= 1 2 gt , 2 ϑ = ωt+ π 2 c) Le coordinate x, ϑ sono cicliche, per cui esistono due integrali primi del moto: px = m v0 , pϑ = 1 m `2 ω 3 Inoltre, essendo l’hamiltoniana indipendente dal tempo, essa è un integrale primo del moto e coincide con l’integrale primo dell’energia: p2y p2x p2ϑ + + + mgy = E 2 m 2 m 23 m `2