Esempio - Alberto Strumia

Esempio
a) Scrivere le equazioni di Hamilton per il moto di una sbarra rigida
omogenea di lunghezza 2 ` e massa m che si muove nel piano verticale xy,
soggetta alla forza peso, scegliendo come parametri lagrangiani le coordinate
x, y del baricentro e l’angolo ϑ, come in figura;
b) determinare l’integrale particolare del moto relativo alle condizioni
iniziali:
x0 = 0, y0 = 0, ϑ0 = π2 ,
ẋ0 = v0, ẏ0 = 0, ϑ̇0 = ω
con v0, ω costanti;
c) Individuare le eventuali coordinate cicliche e gli integrali primi del moto.
O
π/2
x
B
G
(x,y)
ϑ
A
mg
y
notebook
a) Il sistema è a tre gradi di libertà; le variabili canoniche sono: sono:
q1 = x,
q2 = y,
q3 = ϑ
p1 = px ,
p 2 = py ,
p 3 = pϑ
Le forza peso è conservativa per cui si può scrivere la lagrangiana:
L=T +U
L’hamiltoniana è di conseguenza:
H = ẋ px + ẏ py + ϑ̇ pϑ − L
Le equazioni di Hamilton sono sei e hanno la forma:
ẋ =
∂H
,
∂px
ṗx = −
∂H
∂x
ẏ =
∂H
,
∂py
ṗy = −
∂H
∂y
ϑ̇ =
∂H
,
∂pϑ
ṗϑ = −
∂H
∂ϑ
— calcolo dell’Hamiltoniana
La lagrangiana vale:
L=
1
1
m (ẋ2 + ẏ 2) + m `2ϑ̇2 + m g y
2
6
E quindi possiamo ricavare i momenti canonici ed esprimere le variabili
lagrangiane in termini di quelle hamiltoniane:
px =
∂L
= m ẋ,
∂ ẋ
ẋ =
py =
px
,
m
∂L
= m ẏ,
∂ ẏ
ẏ =
py
,
m
pϑ =
ϑ̇ =
∂L 1
= m `2ϑ̇
∂ ϑ̇ 3
pϑ
1
2
3 m`
L’hamiltoniana deve essere espressa in funzione delle variabili
hamiltoniane:
p2x p2y
p2ϑ
H=
+ +
−
m m 13 m `2
2
p2y
p2ϑ

 px

+
+2
+
m
g
y
−
2 m 2 m 3 m `2


p2y
p2ϑ
p2x
H=
+
+
+ mgy
2 m 2 m 23 m `2
Le equazioni del moto di Hamilton divengono:
ẋ =
px
,
m
ṗx = 0,
ẏ =
py
,
m
ṗy = m g,
ϑ̇ =
pϑ
1
2
3 m`
ṗϑ = 0
b) Integrando le seconde e imponendo le condizioni iniziali otteniamo:
px = m v 0 ,
py = m g t,
pϑ =
1
m`2ω
3
Quindi, integrando le prime e imponendo le condizioni inziali:
x = v0t,
y=
1 2
gt ,
2
ϑ = ωt+
π
2
c) Le coordinate x, ϑ sono cicliche, per cui esistono due integrali primi del
moto:
px = m v0 ,
pϑ =
1
m `2 ω
3
Inoltre, essendo l’hamiltoniana indipendente dal tempo, essa è un integrale
primo del moto e coincide con l’integrale primo dell’energia:
p2y
p2x
p2ϑ
+
+
+ mgy = E
2 m 2 m 23 m `2