Presentazione standard di PowerPoint

RICHIAMI DI CINEMATICA
IL MOTO DI UN PROIETTILE
T R AT TO D A :
I P r o b l e m i D e l l a F i s i c a - C u t n e l l , J o h n s o n , Yo u n g , S t a d l e r
Semplificazioni e approfondimenti rielaborati dal web
Oggetti interattivi prodotti dal docente
EQUAZIONE DELLA TRAIETTORIA
Se si lancia un oggetto o si spara un proiettile in direzione obliqua rispetto al piano orizzontale,
esso descrive una traiettoria parabolica. In cinematica, trascurando attriti e ingerenze del vento,
il punto materiale descrive una parabola, pertanto il suo comportamento può essere studiato
matematicamente.
EQUAZIONE DELLA TRAIETTORIA
La traiettoria parabolica nasce dalla composizione di due moti rettilinei, uno orizzontale e l’altro verticale.
Scriviamo le leggi orarie che caratterizzano i due componenti del moto. Il vettore componente orizzontale,
in assenza di attriti, è caratterizzato da un moto rettilineo uniforme. Pertanto se 𝑣 indica la velocità iniziale
e α indica l’angolo che tale vettore forma rispetto all’orizzonte, si ha:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥 𝑡 da cui, posto che la posizione iniziale 𝑥0 = 0, si ha
𝑥 = 𝑣𝑥 𝑡
EQUAZIONE DELLA TRAIETTORIA
Il vettore componente verticale, in assenza di attriti, è caratterizzato da un moto rettilineo uniformemente
accelerato, in quanto risente dell’accelerazione di gravità. Pertanto si ha:
1
2
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑦 𝑡 − 𝑔𝑡 2 da cui, posto che l’altezza da terra 𝑦0 = 0, si ha
1
𝑦 = 𝑣𝑦 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2
Il segno negativo dell’accelerazione di gravità è dovuto al fatto che essa
agisce in verso opposto rispetto a quello della componente della velocità.
LA COMPOSIZIONE DEI DUE MOTI
Componendo i due moti si può ottenere l’equazione cartesiana della traiettoria.
𝑥 = 𝑣𝑥 ∙ 𝑡
1
2
𝑦 = 𝑣𝑦 ∙ 𝑡 − 𝑔 ∙ 𝑡 2
Ricavando t dalla prima equazione e sostituendo il suo equivalente nella seconda, si ha:
𝑡=
𝑦 = 𝑣𝑦 ∙
𝑥
𝑣𝑥
𝑥
𝑣𝑥
−
1
𝑔
2
∙
𝑥 2
𝑣𝑥
y=−
1 𝑔
2 𝑣𝑥 2
∙ 𝑥2 +
𝑣𝑦
𝑣𝑥
∙𝑥
EQUAZIONE DELLA PARABOLA
Dal primo teorema di trigonometria dei triangoli rettangoli si ottengono i moduli delle due
componenti:
𝑣𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑣𝑦 = 𝑣 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼
Da cui
y=−
1
𝑔
2 𝑣∙𝑐𝑜𝑠𝛼 2
Il rapporto
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
∙ 𝑥2 +
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
∙𝑥
si può anche scrivere come 𝑡𝑔𝛼
Vedi simulazione Geogebra
CASI PARTICOLARI
Lancio con vettore velocità
orizzontale
Lancio obliquo da un’altezza
diversa dal livello zero
PROBLEMA
PERCORSO RISOLUTIVO
DATI:
𝑣0 = 30,3 𝑚/𝑠, 𝛼 = 45°
OBIETTIVO:
Determinare il tempo di volo e la gittata
𝑡𝑣 si ottiene ponendo uguale a zero la legge oraria dello spostamento verticale, condizione
necessaria perché la pallina da golf torni al suolo
1
2
0 = 𝑣𝑦 ∙ 𝑡𝑣 − 𝑔 ∙ 𝑡𝑣 2 , ricordando che 𝑣𝑦 = 𝑣0 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼, sostituendo si ha 𝑣𝑦 = 30,3
da cui 𝑣𝑦 = 21,43 m/s; risolvendo rispetto a t si ottiene 𝑡𝑣 = 4,37 𝑠.
Dato che 𝐺 = 2 ∙
𝑣𝑥 ∙𝑣𝑦
𝑔
, sostituendo i relativi valori si ricava 𝐺 = 93,5 𝑚.
𝑚
𝑠
∙
2
,
2