Elettronica e
Telecomuinicazioni
[NUMERI COMPLESSI]
Classi 4a e 5a
1.
Introduzione.
I numeri complessi sono una estensione dei numeri reali che deriva dalla necessità di
generalizzare la teoria delle equazioni polinomiali (algebriche):
Infatti le equazioni polinomiali hanno un numero di soluzioni uguale al grado dell'equazione
stessa.
Ad esempio l'equazione
x2 −1 = 0
(1)
ammette due soluzioni (radici dell'equazione) uguali a +1 e -1.
D'altro canto l'equazione
x2 + 1 = 0 ,
(2)
in cui x 2 = −1 non ammette soluzioni reali.
Per superare questa contraddizione sono stati introdotti i numeri immaginari.
Si definisce numero immaginario
i 2 = −1
(3)
ovvero: i = − 1
In tal modo l'equazione (2) ammette due soluzioni:
x 2 = −1
x2 = i2
x = ±i
L'equazione (1) ha quindi due soluzioni reali pari a ±1, l'equazione (2) ha due soluzioni
immaginarie pari a ±i.
2.
Numeri complessi C.
Definiamo il numero complesso z nel seguente modo :
z = a + ib con a ∈ ℜ , b ∈ ℜ
a è detta la parte reale di z e b è detta la parte immaginaria di z
Se a = 0 il numero complesso si dice immaginario puro; se b = 0 il numero complesso si dice
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reale.
L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con C e rappresenta una estensione algebrica di
ℜ in quanto, se la parte immaginaria è nulla, un numero complesso diventa reale.
Il numero complesso : z = a − ib si chiama complesso coniugato di z = a + ib
3.
Rappresentazione dei numeri complessi
La forma z = a + ib viene detta rappresentazione rettangolare.
E' possibile dare un'altra rappresentazione del numero complesso, chiamata polare, se
pensiamo di rappresentare il numero complesso su un piano chiamato piano di Gauss, in cui
sull'asse delle ascisse riportiamo la parte reale del numero complesso, Re( z ), e sull'asse delle
ordinate riportiamo la parte immaginaria del numero complesso, Im( z ).
Im
Rappresentazione rettangolare
z
b
z = a + ib
0
Re
a
Rappresentazione polare
Im
z = ρ e iφ
z
b
z = ρ∠φ
ρ
φ
0
a
Re
matematicamente corretta
utilizzata nella elettrotecnica
•
ρ è detto modulo del numero complesso e rappresenta la
lunghezza del vettore
•
φ detto argomento o fase del vettore ed è dato dall'angolo
formato dal vettore con l'asse delle ascisse girando in senso
antiorario.
Da semplici proprietà trigonometriche e dei triangoli rettangoli si può ricavare:
b
a
ρ = a 2 + b 2 ;φ = arctg( )
a = ρ cos φ ; b = ρsenφ
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Nel campo complesso C sono definite la usuali quattro operazioni aritmetiche:
SOMMA
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
ovvero: la somma di due numeri complessi è un numero complesso che ha per parte reale la
somma delle parti reali e per parte immaginaria la somma delle parti immaginarie.
DIFFERENZA
(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)
ovvero: la differenza di due numeri complessi è un numero complesso che ha per parte reale la
differenza delle parti reali e per parte immaginaria la differenza delle parti immaginarie.
PRODOTTO
z 1 * z 2 = ρ 1 ∠ φ 1 * ρ 2 ∠ φ 2 = ρ 1 * ρ 2 ∠(φ 1 + φ 2 )
ovvero: il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto
dei moduli e per fase la somma delle fasi.
RAPPORTO
ρ ∠φ
ρ
z1
* = 1 1 = 1 ∠(φ 1 − φ 2 )
ρ 2 ∠φ 2 ρ 2
z2
ovvero: il rapporto di due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il rapporto
dei moduli e per fase la differenza delle fasi.
Se la parte immaginaria di un numero complesso è nulla, il numero è reale e si trova posizionato
sull’asse delle ascisse.
Se, invece, la parte reale è nulla, il numero è immaginario e si trova posizionato sull’asse delle
ordinate.
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Un numero reale positivo ha sempre fase 0°
Un numero reale negativo ha sempre fase 180°
Un numero immaginario puro positivo ha sempre fase +90°
Un numero immaginario puro negativo ha sempre fase -90°
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