19/10/16
Primalezione
18/10/2016
Riepilogo
Derivateedifferenziali
•
Lavelocitàistantaneacorrispondeformalmenteconladefinizionedelladerivataprimadiuna
funzionef(x)nelpuntox0(pernoilaposizionex(t)all’istantet0):
• LecondizionimatemaEchediesistenzadellimitesonosempreverificateinFisica.
Laderivataèunafunzionef’(x),ilsuovalorecoincideconlapendenzadellareKatangentealla
curvapert=ti.Ilsegnodelladerivataindicalavariazionedif(x):
• f’>0crescente
• f’<0decrescente
• f’=0stazionaria(estremioflessi)
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Derivateedifferenziali
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Dalladefinizionedelladerivatasipossonoricavarediverseregolediderivazione;in
parEcolarel’operazionediderivazioneèlineare.Lealtreproprietàmostrateintabellasono
facilmentededucibili,cosìlederivatedelleprincipalifunzionichesiincontranonelle
applicazioniinFisica(polinomi,potenze,funzionitrigonometriche,esponenzialielogaritmi).
UnconceKomatemaEcochetrovalargaapplicazioneinFisicaèquellodidifferenzialediuna
funzionechevienedefinitocomeilprodoKodellasuaderivataperl’incrementoinfinitesimo
dellavariabileindipendente:
LanotazionediLeibnitzevidenzial’aspeKointuiEvodiquestoconceKocomevariazione
piccoladellafunzioneperunavariazioneinfinitesimadellavariabileindipendente.Avolte
succededioperareconidifferenzialicomesefosserodeinumeri(un’operazione
matemaEcamentepocoortodossaaprimavista)mamoltovicinaalsignificatofisicodi
piccolevariazionidellequanEtàemoltouElenelleschemaEzzazionideifenomenifisici.Per
esempioèmoltonaturalescrivereunospostamentopiccolocome:
Derivateedifferenziali
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Velocitàederivazione
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LedefinizionematemaEcheprecedenEpermeKonodiinterpretarelavelocitàistantanea
come:
doveabbiamousatoanchelanotazionediNewtonperlederivaterispeKoaltempo.Inquesta
associazionenonsidevedimenEcareilcontestofisicodellimiteΔt→0,anchesequestonon
rappresentaquasimaiunproblemanell’ambitodellameccanicaclassica.
•
Ilvalorenumericodelladerivatacoincideconlatangentedell’angolochelareKatangente
allacurvaformaconl’assedelleascisse;elavelocitàistantaneahalostessosignificatonel
diagrammaorario.Ilsegnodelladerivataindicailsensodivariazionedellafunzione>0
crescentee<0decrescente);eperlavelocitàindicheràilversodellospostamento;gli
estremi(=0)corrispondonoavelocitànulla.
•
IlconceKodivelocitànullaèpiùampiodiquellodell’esperienzacomune,nellaqualesipensa
soloasituazionistaEche.Unpuntomobilepuòfermarsiancheperun“soloistante”,come
peresempiounsassolanciatoversol’altocherallentasifermaeriscendeocomeunpeso
cheoscillaappesoadunamollae,quandoinverteladirezionedelmoto,passaperunpunto
incuilavelocitàsiannulla.
Velocitàederivazione
Lavelocitàistantaneacomederivatadella
leggeoraria
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Relazionependenzaderivata
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f’>0crescente
f’<0decrescente
f’=0stazionaria(estremioflessi)
Integrazione
LeespressioniprecedenEcorrispondonoalladefinizionedellasommaintegralediuna
funzionerealesuunintervallo[a,b](integraledefinito):
checorrispondegeometricamenteall’areacompresafralacurvael’assedelleascisse.
AncheinquestocasolecondizionimatemaEchediesistenzadellimitesonosempre
verificateinFisica.
Siaunafunzionef(x),siofeneunasuaprimiEvaF(x),ointegraleindefinito,tramite
l’operazioneinversadelladerivazione:
erisultadefinitaamenodiunacostantearbitraria.
QuestafunzionepermeKedicalcolareesplicitamente
gliintegralipoiché:
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Integrazione
PertrovarelaprimiEvadiunadatafunzionesisfruKanoleregoleinversedelladerivazionenei
casipiùsempliciriportaEintabella.QuestaoperazionepuòesseremoltodifficileinmolEcasi,e
rappresentaunodeiproblemipiùdifficilicomesannoglistudenEimpegnaEnegliesamidiAnalisi
matemaEca!EsistonoalcunetecnichecomelasosEtuzionedivariabileol’integrazioneperparE
perriportarsiinsituazionenote,manonvièdubbiocheilcalcolodegliintegraliindefiniErichiede
una buona dose di ingegno. Esistono anche delle tavole di integrali o dei moderni pacchef
somware che effeKuano calcolo simbolico compreso l’integrazione indefinita. In alcuni casi,
come per esempio la celebre funzione di Gauss f(x)=exp(-x2), succede che la primiEva non è
esplicitabile con funzioni elementari e per calcolarne l’integrale definito si usa la definizione di
sommasfruKandoeventualmenteopportunimetodinumerici.
IlprimoprincipiooPrincipiod’inerzia
LageneralizzazionedelrisultatocosEtuisceilprimoprincipiooprincipiod’inerzia:
UncorpononsoggeKoaforzenonsubiscevariazionidivelocità,restafermoseerain
unostatodiquiete(V=0)oppuresimuovedimotoreflineouniforme.
Una forza nulla significa: il corpo è isolato oppure le forze ci sono ma la risultante è
nulla.UncasochesirealizzanellapraEcaconbuonaapprossimazione,peresempionei
pianisenzaa/rito.
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IlSecondoPrincipiooleggedi
Newton
Ilprincipiod’inerziacihaindicatoqualesistemadiriferimentousareperstudiareilmoto.Newton
analizzò la relazione quanEtaEva fra le forze ed il moto; aKraverso numerosi sperimenE, alcuni
anchemoltosempliciedintuiEvi,osservòchevieraunarelazionefralaforzaagentesuuncorpo
el’accelerazionedelmotodelcorpo:
F≈a
e questa costante di proporzionalità era una caraKerisEca intrinseca del corpo deKa massa
inerzialemi:
F=mi*a
deKa,secondoprincipiooleggediNewton,cheèilrisultatopiùimportantedelladinamica.
La relazione precedente è un principio perché lega due grandezze indipendenE forza ed
accelerazione;inrealtàsiassumechelaforzamisuratastaEcamenteconEnuiadaverelestesse
caraKerisEchequandoilcorpoèinmoto.
TuKavia in molE casi le forze in gioco non sono scindibili dal moto (per esempio la resistenza
oppostadaunfluido);allorailsecondoprincipioèunmodo,notal’accelerazione,perdefinirela
forzaagentesulpunto.
LaLeggediNewtonvieneassuntaeseneverificanoleprevisioniconirisultaEsperimentali;per
questoavoltesidice,conunleggeroabuso,cheilsecondoprincipiodefiniscelagrandezzaforza.
Ilterzoprincipiooleggediazionee
reazione
Quando applichiamo una forza, per esempio spingiamo contro un muro, si osserva
l’instaurarsi di una forza di reazione, senEamo il muro che spinge su noi! Newton
verificò questa semplice osservazione per numerosi altri fenomeni, fino a formularla
comeleggegeneraledelladinamica.Ilterzoprincipiooleggediazioneereazione:se
uncorpoAesercitaunaforza(azione)suBalloraBesercitasuAunaforza(reazione)
ugualeecontrariaedireKalungolacongiungenteiduepunE:
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Laforzapeso
Ilpesorappresentalaforzapiùnotadell’esperienza,inprossimitàdellasuperficieterrestre
siosservachetuficorpisonoaKrafversoilbasso.QuestaforzaPrisultaproporzionalead
unacaraKerisEcadelcorpomg,lamassagravitazionale,chesipuòdefinireoperaEvamente
tramiteunabilanciaassumendo,dopoaveredefinitoun’opportunaunitàcampione,masse
ugualinellaconfigurazionediequilibrio.Misurandoilpesoinluoghidiversi(peresempioin
alEtudine)siosservachemg(misurataconlabilancia)èinvariatamentrel’indicazionedel
dinamometrocambia,possiamodunquescrivere:
dovegèunveKore(lacuidirezionedefiniscelaverEcale),deKoaccelerazionedigravità,
indipendentedalcorposeppuredebolmentedipendentedalluogo,inparEcolaredalla
quota.
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