MATEMATICA CORSO A
SCIENZE BIOLOGICHE
VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
ES1-Se la probabilità di colpire un bersaglio è 1/5 e rimane tale ad ogni
tentativo, calcola la probabilità che, sparando 10 colpi, il bersaglio sia
colpito almeno 2 volte.
Calcola, inoltre, il numero medio di bersagli colpiti e la varianza.
SOLUZIONE: indichiamo con X la variabile aleatoria “numero dei
bersagli colpiti”, si ha
P(X≥2)= 1 − P(X=0) – P(X=1)= 1-(4/5)10 –10(1/5)(4/5)9
Inoltre sappiamo che E(X)=10(1/5)= 2 e che Var(X)=10(1/5)(4/5)=8/5
ES2-Tizio e Caio lanciano tre dadi equilibrati, stabilendo che se i tre dadi
mostrano tutti lo stesso punteggio Tizio riceve da Caio 10 €, se solo due
dadi mostrano lo stesso punteggio Tizio riceve da Caio 2 €, in tutti gli
altri casi Caio riceve da Tizio 2 €. Calcolare la vincita media di Tizio.
SOLUZIONE: La v.a. X “vincita di Tizio” ha la seguente legge: vale 10
con probabilità 1/36, 2 con probabilità 15/36 ed infine –2 con probabilità
20/36, dunque E(X)= 10/36 +30/36 –40/36 = 0, vale a dire che il gioco è
equo, Tizio, in media, riporta, come Caio, guadagno nullo dal gioco.
ES3-In una serie di 100 prove una variabile aleatoria X con distribuzione
binomiale ha varianza Var(X) = 25. Quanto vale il suo valor medio
E(X)?
SOLUZIONE: Sappiamo che Var(x)=100p(1-p)=25 da cui p(1-p)=1/4 e
dunque p=1/2, per cui E(X)=100(1/2)=50
ES4-Si lancia un dado 4 volte. Sia X la variabile aleatoria che conta il
numero delle volte in cui esce 1.
(a) Scrivere la sua densità di probabilità.
(b) Quanto vale il valor medio della variabile aleatoria X2?
SOLUZIONE: X può assumere i valori 1,2,3,4 e si ha P(X=1)=
4(1/6)(5/6)3, P(X=2)= 6(1/6)2(5/6)2, P(X=3)=4(1/6)3(5/6), P(X=4)=(1/6)4,
dunque si ha una binomiale di parametri n=4 e p=1/6, dalla relazione
Var(X)= E(X2)-(E(X))2, si ottiene E(X2)=Var(X) + (E(X))2 = 4(1/6)(5/6)
+ (4(1/6))2 = 1
ES5-Un’urna contiene 10 palline, alcune Rosse e le altre Blu. Vengono
effettuate una serie di estrazioni con rimessa. Si consideri la variabile
aleatoria discreta X, numero di volte in cui si ottiene Blu. Sapendo che il
valor medio di X è 3 e la sua varianza è 6/5, quante sono le palline
Rosse? Quante estrazioni sono state effettuate?
SOLUZIONE: Indichiamo con x il numero di palline Blu, le Rosse sono
ovviamente 10-x; poiché si estrae con rimessa, la distribuzione è
binomiale di parametri incogniti n (numero delle estrazioni effettuate) e
p=x/10 (probabilità di estrarre Blu); sappiamo che E(X)=n(x/10)=3, da
cui otteniamo che nx=30, ed inoltre che Var(X)=n(x/10)(10-x)/10=6/5,
quindi 30/10((10-x)/10)=6/5, da cui x=6 e dunque n=5.
ES6-Una dattilografa fa in media 2 errori per pagina, qual è la probabilità
che faccia più di 4 errori in una pagina?
SOLUZIONE: Possiamo pensare ad una distribuzione di Poisson (molte
battiture e bassa probabilità di errore per ogni battitura…) di parametro
a=2; è richiesta P(X>4)= 1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=
1-e-2-2e-2-2e-2-(4/3)e-2-(2/3)e-2= 1-7e-2≈ 0.0526
ES7-Trovare la probabilità che fra 200 pezzi testati, più di tre siano
difettosi sapendo che il valor medio di pezzi difettosi è 1/100
SOLUZIONE: Ancora Poisson di parametro 200/100 =2 , dunque
P(X>3)= 1-e-2-2e-2-2e-2-(4/3)e-2= 1-(19/3)e-2≈ 0.143
ES8-Il numero di eventi che si verificano in un certo esperimento viene
descritto da una legge di Poisson. La probabilità che non si verifichi alcun
evento è 0.2. Qual è la probabilità che se ne verifichino almeno 2?
SOLUZIONE: Si ha P(X=0)= e-a=0.2, da cui a=ln5; la probabilità
richiesta è P(X≥2)= 1-P(X=0)-P(X=1)= 1-0.2-(ln5)(0.2)≈ 0.478
Es9-Si lancia un dado equilibrato due volte. Sia X la variabile aleatoria
“punteggio ottenuto al primo lancio” e Z la variabile aleatoria “massimo
tra i punteggi ottenuti al primo e al secondo lancio”. Determina se le
variabili X e Z sono indipendenti.
SOLUZIONE: Le v.a. X e Z sono indipendenti se
P(X=k∧Z=h)=P(X=k)P(Z=h) o, equivalentemente, P(Z=h|X=k) = P(Z=h)
per h,k=1,2,…,6.
La v.a. X è distribuita uniformemente, vale a dire X=k con probabilità 1/6
per k=1,2,…,6.
La v.a. Z assume valore 1 se e solo se i due lanci hanno dato esito
entrambi 1, quindi P(Z=1)=1/36; Z assume valore 2 se i due lanci hanno
dato esito 1, 2 oppure 2,1, oppure 2,2, quindi P(Z=2)=3/36;
P(Z=3)=5/36, infatti Z=3 se i due lanci hanno avuto esito 1,3, 2,3, 3,3,
3,1, 3,2; analogamente P(Z=4)=7/36, P(Z=5)=9/36 ed infine
P(Z=6)=11/36; si osserva subito che P(Z=3| X=4)=0, infatti se al primo
lancio si è ottenuto 4 il massimo dei due lanci non può essere inferiore a
4. Dunque le variabili X e Z sono dipendenti in quanto
P(Z=3)≠ P(Z=3| X=4)
