Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti) A.A. 2007

Compito n. 1
Nome
Cognome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2007/2008
Appello del
14/01/2008.
Risposte ai quesiti (tempo 2h30m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
• Indicare nello tabella le LETTERE che corrispondono alla risposta a ciascun quesito. Indicare una X se si è svolto
il quesito, ma la risposta numerica non compare fra le possibilità. Lasciare in bianco se non si è svolto il quesito o
non si vuole che venga corretto.
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata.I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Una risposta errata verrà valutata con il numero negativo indicato sempre in parentesi.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente alle lettere segnate nella tabella (sia parte
A che parte B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè
esaminando il procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali segnate con una X o con la risposta
numerica errata. Se invece il punteggio in tabella è inferiore a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla tabella, sommato al punteggio
per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti) assegnato in
modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
Quesito 1: Calcolare il valore della funzione V (t) = V0 cos(ωt + φ) per i seguenti valori dei parametri: V0 = 7.40 V,
ω =2.10 × 108 rad/s, φ = 30◦ e t = 4.50 ns.
(2,-1)
V [V]=
A 6.59
B 0.755
C 0.235
D 0.853
E 7.40
Quesito 2: Il treno A parte da Pisa verso Firenze. Il treno B parte 16.0 minuti dopo da Firenze verso Pisa. Se i due
treni viaggiano alla velocità costante di 91.0 km/h e la distanza Pisa-Firenze è di 81 km, calcolare quanti minuti dopo la
partenza del treno B si incrociano.
(2,-1)
incontro[min]=
A 6.00
B 34.7
C 2.00
D 18.7
E 5.00
Quesito 3: Un auto di massa 990 kg viaggia alla velocità di 140 km/h. Il coefficiente di attrito statico con il suolo è
µs =0.600. Calcolare lo spazio di frenata, cioè quanto spazio percorre l’auto frenando al massimo senza slittare. (2,-1)
Distanza [m] =
A
128
B 80.0
C 38.0
D 36.0
E
1660
Quesito 4: Una batteria ricaricabile da 1900 mA·h e tensione 6.40 V è completamente carica. Calcolare quanta energia
in Joule è immagazzinata nella batteria.
(2,-1)
Energia [J] =
A
49000
B
22700
C
43800
D 4.38 × 107
E 12.2
Quesito 5: Un filo lungo 0.680 m è percorso da una corrente di 190 A ed orientato da est ad ovest nel campo magnetico
terrestre di 37.0 µT. Calcolare il modulo della forza magnetica che agisce sul filo.
(2,-1)
F[N] =
A 0.00478
B 0.0478
C 0.00428
D 0.00239
E 1.34
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
R
Problema 1: Un cilindro di massa M = 8.20 kg e raggio R = 11.0 cm è poggiato
orizzontalmente su di un piano scabro. Sul cilindro è scavato un sottile incavo in
modo da poter avvolgervi un filo inestensibile ad una distanza d = 0.210·R. Sul filo
è applicata una forza F = 130 N ed il cilindro si muove rotolando senza strisciare
sul piano:
F
d
Quesito 6 Calcolare l’accelerazione del centro di massa:
a[m/s2 ]=
(4,-1)
A 13.4
B 12.8
C 1.78
D 7.07
E 3.22
Quesito 7 Calcolare il valore minimo del coefficiente di attrito statico µs perché il moto sia di puro rotolamento: (4,-1)
A 0.0176
µs =
B 0.0243
C 0.0257
D 0.113
E 0.312
Quesito 8 Calcolare la velocità angolare dopo che il centro di massa ha percorso un tratto l = 10.0 m.
ω[rad/s]=
A
205
B 72.8
C
145
D
268
E
(4,-1)
534
Problema 2: Un tubo cilindrico rettilineo infinito di diametro d=9.70 cm, posto lungo l’asse z, è percorso da un fluido
isolante carico uniformemente con una densità volumetrica di carica ρ =5.90 nC/m3 . Il liquido si muove con una velocità
v= 4400 m/s lungo la direzione z positiva.
Quesito 9 Calcolare il campo elettrico all’interno del tubo in funzione della distanza r dall’asse z. Determinarlo numericamente per r = d/4:
(4,-1)
E[V/m]=
A
120
B
186
C 27.0
D 7.03
E 8.08
Quesito 10 Calcolare il campo magnetico all’interno del tubo in funzione della distanza r dall’asse z. Determinarlo
numericamente per r = d/4:
(4,-1)
A 0.913
B(nT)=
B 0.254
C 0.396
D 1.61
E 1.08
Quesito 11 Calcolare il rapporto tra la forza magnetica e la forza elettrica agenti su un elemento di fluido di volume
1 mm3 posto ad una distanza r dall’asse z. Determinarlo numericamente per r = d/4:
(4,-1)
Fmag /Fel =
A 2.18 × 10−9
Compito n. 1
B 9.68 × 10−10
C 3.38 × 10−10
D 2.15 × 10−10
E 2.97 × 10−9
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 14/01/2008.
Soluzioni Parte A:
Quesito 1: Ricordare di esprimere 30◦ come π/6 rad e di mettere la calcolatrice in radianti.
Quesito 2: Quando parte il treno B, dopo ∆t, il treno A si trova ad una distanza v · ∆t da Pisa.
I due treni percorreranno quindi il tratto D − v · ∆t a velocità costante, e si incontreranno a metà (D
è la distanza Pisa-Firenze). Tempo richiesto: (D − v · ∆t)/(2v). Ovviamente bisogna stare attenti alle
conversioni da ore a minuti o viceversa.
Quesito 3: La massima forza di attrito che il suolo puó esercitare sull’auto è Fs = µs M g, quindi
la massima accelerazione dell’auto è a = µs · g. Dal moto uniformemente accelerato sappiamo che
v 2 = 2 · a · s da cui lo spazio di frenata s = v 2 /(2µs · g).
Quesito 4: Per un circuito elettrico, la potenza è V · I e l’energia V · I · ∆t. 2500 mA·h signficano
una corrente di 2500 mA per una ora, cioè 3600 s.
Quesito 5: Il campo terrestre è diretto N-S, cioè perpendicolare al filo. Il modulo della forza è
quindi F = B · I · L.
Soluzione B1:
F~
R
d
F~s
Seguendo la convenzione sui segni delle forze indicate nella figura, scegliendo come polo il centro di
massa del cilindro e considerando come positive le rotazioni in senso orario, le equazioni di corpo libero,
e le altre rilevanti, sono:
Fx :
Fy :
Tcm :
F − Fs = M · a
N −M ·g =0
F · d + Fs · R = Iα
α =a/R
1. dall’equazione su Fx ed i momenti si ottiene che:
d
2F
1+
a=
3M
R
2. affinché il moto sia di puro rotolamento per l’attrito statico deve valere la relazione |Fs | ≤ µs |N |.
Il valore dell’attrito statico è dato da:
F
d
Fs = · 1 − 2
3
R
dato che il valore massimo per l’attrito è Fs? = µs M g, si ricava:
F 1 d µs ≥
· 1−2 Mg 3 R
1
3. il centro di massa del sistema è uniformemente accelerato. Dopo un tratto l vale quindi per la
velocità lineare la formula:
√
v = 2al
dalla condizione di rotolamento, con v = ωR, e sostituendo esplicitamente l’espressione di a al
punto 1) si ricava:
s
1
d
4F
ω= ·
· 1+
·l
R
3M
R
Soluzione B2:
~
E
J~
~
B
~r
1. Il campo elettrico per motivi di simmetria è perpendicolare all’asse del tubo, in direzione radiale.
Data superficie chiusa di forma cilindrica, concentrica al tubo, di raggio r ed altezza H il flusso
del campo elettrico vale:
ρπr2 H
E · 2πrH =
ε0
da cui si ricava:
ρr
E=
2ε0
2. La densità di carica in movimento da origine ad una densità di corrente J = ρ · v. Costruendo
quindi un cammino circolare di raggio r, concentrico al tubo, la circuitazione del campo vale:
2πrB = ρvπr2 µ0
quindi il modulo del campo magnetico è:
B=
µ0
ρvr
2
3. Usando i valori di E e B ricavati ai punti precedenti e le considerazioni sui versi si ha che:
Fel = E∆V ρ
Fmag = B∆V ρv
Il raporto vale:
Fmag
Bv
=
=
Fel
E
µ0
ρvrv
2
ρr
2ε0
2
v2
= v µ 0 ε0 = 2
c
2
Compito n. 1
Nome
Cognome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2007/2008
Appello del
2/2/2009.
Risposte ai quesiti (tempo 2h30m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
• Indicare nello tabella le LETTERE che corrispondono alla risposta a ciascun quesito. Indicare una X se si è svolto
il quesito, ma la risposta numerica non compare fra le possibilità. Lasciare in bianco se non si è svolto il quesito o
non si vuole che venga corretto.
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata.I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Una risposta errata verrà valutata con il numero negativo indicato sempre in parentesi.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente alle lettere segnate nella tabella (sia parte
A che parte B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè
esaminando il procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali segnate con una X o con la risposta
numerica errata. Se invece il punteggio in tabella è inferiore a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla tabella, sommato al punteggio
per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti) assegnato in
modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
Quesito 1: Ricordando la definizione di prodotto scalare, calcolare l’angolo, espresso in radianti, tra i due vettori del
~ =(0.410,-0.600) e B
~ =(0.780,0.490).
piano A
(2,-1)
θ[rad]=
A 0.126
B 1.53
C 0.478
D 1.73
E 0.330
Quesito 2: Calcolare il tempo t per cui l’espressione V0 (1 − e−t/τ ) é uguale a 0.410V0 , con V0 =4.90 V e τ =8.30 × 10−4 s.
(2,-1)
t[s]=
A 1.31 × 10−4
B 2.09 × 10−4
C 4.28 × 10−5
D 4.38 × 10−4
E 1.18 × 10−4
Quesito 3: Calcolare il periodo di oscillazione di una massa di 50.0 g attaccata ad una molla di costante elastica
0.200 N/m.
(2,-1)
T[s] =
A 0.225
B 1.96
C 0.918
D 3.14
E 1.02
Quesito 4: Le tracce di un CD vengolo lette con velocità lineare costante pari a 1.25 m/s. Calcolare la frequenza di
rotazione del CD in giri al minuto (rpm) quando la testina di lettura si trova ad un raggio di 4.60 cm
(2,-1)
f [rpm] =
A
174
B
299
C
149
D
638
E
259
Quesito 5: Calcolare il modulo della forza che agisce su una carica di 12.0 µC posta tra le armature di un condensatore
a facce piane e parallele caricato con una d.d.p. di 32.0 V. L’area della armature è 6.00 cm2 , la loro distanza è 4.20 mm.
(2,-1)
F[N] =
A 0.494
B 0.182
C 0.899
D 0.637
E 0.0914
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
Problema 1: Una cassa cubica di lato L=56.0 cm e massa M =21.0 kg ha, lungo lo
spigolo superiore destro, una sbarra di rinforzo in acciaio di massa m=7.20 kg. La
cassa è appoggiata su un piano orizzontale scabro. Si assuma che la cassa appoggi
solo sui i due spigoli inferiori.
Quesito 6 Calcolare la reazione del piano sullo spigolo posto sotto la sbarra di rinforzo se la cassa è semplicemente
appoggiata.
(4,-1)
RB [N]=
A
174
B
292
C
1160
D
1600
E
527
Quesito 7 La cassa viene adesso tirata con una forza F applicata orizzontalmente attraverso una corda attaccata alla
barra di rinforzo. Calcolare il massimo coefficiente di attrito statico tra cassa e piano per cui la cassa non si ribalta
ma inizia a strisciare.
(4,-1)
µs =
A 0.544
B 0.574
C 0.372
D 4.50
E 2.53
Quesito 8 Calcolare l’accelerazione del centro di massa della cassa se la cassa, sotto l’azione di una forza F= 400 N,
effettivamente striscia senza ribaltarsi ed il coefficiente di attrito dinamico µd = 0.390M/(M + m),
(4,-1)
aCM [m/s2 ]=
A 2.96
B 21.7
C 10.9
D 36.5
E 11.3
Problema 2: La regione (infinita) di spazio −d/2 ≤ x ≤ d/2 con d = 5.90 cm è
riempita di materiale isolante caricato uniformemente con una densità di volume
ρ = 84.0 nC/m3 . In x = −d/2 e x = d/2 sono posti due piani infiniti conduttori uniformemente carichi con la stessa densità superficiale σ, ignota. Il campo
all’esterno della lastra (|x| > d/2) è nullo.
Quesito 9 Calcolare la densità di carica σ delle due lastre conduttrici.
σ[nC/m2 ]=
A 9.52
B -1.38
(4,-1)
C -2.48
D -0.408
E -0.360
Quesito 10 Calcolare il campo elettrico Ex in funzione di x e determinarne il valore numerico per x = d/4.
Ex [V/m]=
A
616
B
912
C
140
D
3540
E
(4,-1)
1210
Quesito 11 Un elettrone viene rilasciato da fermo nel punto x = d/4. Determinare il periodo delle oscillazioni dell’elettrone intorno all’origine. (Carica e massa dell’elettrone sono qe = −e = −1.6×10−19 C e me = 9.11×10−31 kg. (4,-1)
T[s]=
E 1.54 × 10−7
Compito n. 1
A 2.17 × 10−7
B 1.91 × 10−6
C 6.07 × 10−7
D 1.10 × 10−6
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 2/2/2009.
Soluzioni Parte A:
~·B
~ = |A||
~ B|
~ cos θ, si ha
Quesito 1 : Poichè il prodotto il prodotto scalare è definito come A
Ax Bx + Ay By
p
θ = arccos( p 2
)
Ax + A2y Bx2 + By2
Quesito 2 : Detta x la frazione di V0 , il tempo t è dato da t = −τ log(1 − x).
Quesito 3 : Il periodo è dato da T = 2π
p
m/k
Quesito 4 : La velocità angolare del disco deve essere ω = v0 /r, da cui la frequenza rotazione in rpm
è f = 60s/minv0 /2πr.
Quesito 5 : Il campo elettrico all’interno del condensatore è uniforme e vale E = V /d. La forza che
agisce sulla carica è quindi F = qE = qV /d.
Soluzioni Parte B:
Problema 1:
Quesito 6 Dette RA e RB le reazioni del pavimento sugli spigoli della cassa, e scrivendo la prima e
secondo equazione cardinale (rispetto al polo B), si ha:
RA + RB = M g + mg
M gL
− RA L = 0
2
da cui RA = M g/2; RB = (M/2 + m)g.
Quesito 7 La condizione di ribaltamento, detta FS la forza di attrito statico nel punto A, orientata
verso sinistra, è data da (ricordando che RA in questo caso è nulla) :
RB = M g + mg
F − FS = 0
M gL
−F =0
2
da cui FS = M g/2. Se FS ≤ µS RB , si avrà ribaltamento. In caso contrario, cioè se µS <
la cassa rimarrà ferma per piccoli valori di F oppure striscerà per valori di F piú grandi.
1 M
2 M +m
Quesito 8 Se la cassa striscia, dette FA e FB le forze di attrito dinamico sugli spigoli A e B, orientate
verso sinistra, varrà:
RA + RB = M g + mg
FA = µd RA ; FB = µd RB
F − FA − FB = (M + m)aCM
da cui
aCM =
F
− µd g.
M +m
1
Problema 2:
Quesito 9 Poiché il sistema ha completa simmetria traslazionale nel piano yz, il campo elettrico in
tutto lo spazio non potrà che essere diretto lungo l’asse x. Consideriamo una superficie gaussiana
cilindrica con l’asse lungo l’asse x e le basi di area A poste simmetricamente rispetto al piano
yz, esternamente alla lastra. Applicando il teorema di Gauss, si osserva che il flusso del campo
~ è parallelo alla superficie all’interno della lastra, e 0 all’esterno. Di
elettrico è nullo, perchè E
conseguenza la carica contenuta nel cilindro deve essere nulla: 2σA + ρdA = 0, da cui
σ=−
ρd
.
2
Quesito 10 Scegliamo adesso la superficie gaussiana come nel punto precedente, ma con le basi poste
all’interno della lastra, in posizione ±x. Dal teorema di Gauss: 2Ex A = ρ(2xA)/0 , da cui
Ex =
ρx
.
0
Quesito 11 La forza che agisce sull’elettrone è data da F = −eEx = −(eρ/0 )x. Questa è la forma di
una forza elastica di richiamo con k = (eρ/0 ). Il moto sarà quindi armonico con periodo
r
r
me
me 0
T = 2π
= 2π
k
eρ
2
Compito n. 1
Nome
Cognome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2007/2008
Appello del
23/2/2009.
Risposte ai quesiti (tempo 2h30m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
• Indicare nello tabella le LETTERE che corrispondono alla risposta a ciascun quesito. Indicare una X se si è svolto
il quesito, ma la risposta numerica non compare fra le possibilità. Lasciare in bianco se non si è svolto il quesito o
non si vuole che venga corretto.
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata.I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Una risposta errata verrà valutata con il numero negativo indicato sempre in parentesi.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente alle lettere segnate nella tabella (sia parte
A che parte B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè
esaminando il procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali segnate con una X o con la risposta
numerica errata. Se invece il punteggio in tabella è inferiore a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla tabella, sommato al punteggio
per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti) assegnato in
modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
~ =(0.800,-0.0310) e B
~ =(-0.290,-0.0290), trovare il modulo del loro prodotto
Quesito 1: Dati i due vettori del piano A
~ =A
~×B
~
vettoriale C
(2,-1)
~
|C|=
A 0.0180
B 0.231
C 0.0322
D 0.0159
E 0.154
Quesito 2: Un corpo di massa M=7.10 kg viene lasciato cadere dal finestrino di di un’auto in corsa a velocitá v=
110 km/h, da un’altezza di h=96.0 cm. Trascurando la resistenza dell’aria, dopo quanto tempo ∆t il corpo tocca terra ?
(2,-1)
∆t[s]=
A 0.214
B 0.607
C 0.129
D 0.347
E 0.442
Quesito 3: Un corpo compie un moto parabolico di equazione y = y0 +ax−x2 /b con y0 = −4.40 m, a = 1.30, b = 6.40 m.
Dire per quale valore di x il corpo raggiunge il punto piú alto.
(2,-1)
x[m] =
A 24.3
B 1.27
C 2.85
D 1.03
E 4.16
Quesito 4: Determinare la forza F che agisce tra una carica Q1 = 35.0 µC ed una carica Q2 = 71.0 µC poste ad una
distanza di r = 48.0 cm
(2,-1)
F [N] =
A
317
B
191
C 16.1
D 59.6
E 96.9
Quesito 5: Determinare la capacitá equivalente della serie di due condensatori di capacitá C1 = 90.0 nF e C2 = 26.0 pF
(2,-1)
Ceq [pF]=
A 9.14
B
90000
C 26.0
D 47.9
E 13.0
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
Problema 1: Un asse rettangolare, di densità di massa uniforme, massa totale
M = 50 kg e lunghezza L = 1.60 m è incernierata ad un estremità, mentre all’altra
è tenuta da una fune inestensibile e di massa trascurabile, che forma con l’asse un
angolo θ = 45◦ . Sull’asse viene fissato un corpo di massa m = 12.0 kg.
x
θ
Quesito 6 Se la fune può sopportare al massimo una tensione Tmax = 500 N, calcolare quale è la massima distanza x
dalla cerniera a cui la massa m può essere fissata senza che la corda si spezzi.
(4,-1)
x[m]=
A 0.102
B 0.795
C 1.47
D 0.441
E 1.23
Quesito 7 Fissando la massa m alla distanza p · L con p = 5/6, e considerando che la fune si spezza, calcolare l’accelerazione angolare α a cui è sottoposto il sistema formato da asse e massa. (Si ricordi che il momento di inerzia di
una sbarretta sottile attorno ad un asse passante per l’estremità vale M L2 /3 )
(4,-1)
α[rad/s2 ]=
A 21.4
B 48.2
C
120
D
202
E 8.58
Quesito 8 Il sistema formato dall’asse e la massa continua a cadere dopo che la corda si è spezzata. Calcolare la velocità
angolare ω del sistema asse e massa quando arriva nel punto più basso.
(4,-1)
ω[rad/s]=
A 1.14
B 0.171
C 0.946
D 1.71
E 4.14
Problema 2: Un lungo solenoide con densità di spire n = 17.0 spire/cm e raggio
a = 3.80 cm è percorso da una corrente I(t) = Imax cos ωt, con Imax = 4.90 A e
ω/2π = f = 0.820 kHz. Attorno al solenoide, e coassiale con esso, è posta una
spira di raggio 2a e resistenza R = 7.40 Ω.
Quesito 9 Determinare il massimo campo magnetico sull’asse del solenoide.
Bmax [T]=
A 0.00563
B 0.00150
(4,-1)
C 0.00451
D 0.0105
Quesito 10 Determinare la massima corrente che scorre nella spira.
spira
Imax
[A]=
A 0.0203
B 0.0331
E 7.47 × 10−4
(4,-1)
C 0.00310
D 0.00494
E 0.0493
Quesito 11 Determinare la potenza media P dissipata nella spira in un periodo di oscillazione T = 1/f . (Può essere
utile ricordare l’dentità trigonometrica sin2 φ = (1 − cos 2φ)/2)
(4,-1)
P [W]=
Compito n. 1
A 0.00404
B 0.00379
C 0.00319
D 0.00343
E 0.0120
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 23/2/2009.
Soluzioni Parte A:
~ = |Cz | = |Ax By − Ay Bx |
Quesito 1 : Dalla definizione di prodotto vettoriale si ottiene: |C|
Quesito 2 : Il tempo
p di caduta è indipendente dalla velocità della macchina, ma dipende solo dall’altezza: ∆t = 2h/g
Quesito 3 : Il massimo della parabola si ottiene quando la derivata dy/dx = a − 2x/b = 0, cioè
x = ab/2
Quesito 4 : La forza è la forza di Coulomb: F = Q1 Q2 /(4π0 r2 ).
Quesito 5 : La capacità della serie di due condensatori è data da Ceq = (1/C1 + 1/C2 )−1 facendo
attenzione alla conversione delle unità di misura.
Soluzioni Parte B:
Problema 1:
Quesito 6 Le equazioni di corpo libero che descrivono il sistema formato
dall’asse e dalla massa all’equilibrio, ponendo il polo per il calcolo dei
momenti coincidente con la cerniera, sono:

 T L sin θ − M g L2 − mgx = 0
T sin θ − M g − mg + Ny = 0

Nx − T cos θ = 0
Nella prima equazione si ha che la tensione aumenta all’aumentare del
valore di x, secondo l’equazione T = (M g/2 + mgx/L)/ sin θ, il punto
di rottura si ha quando T = Tmax , quindi:
~y
N
T~
x
θ
O
Tmax sin θ − M g/2
x=
·L
mg
~x
N
m~g
M~g
Quesito 7 Ponendo il corpo a x = 5/6 si può verificare come la corda si rompe. La massa m è fissata
e si ha quindi una caduta solidale con l’asse. Mantenendo il polo nel punto O si ha che:
2 !
5
L
5
M L2
IO + m
L
α =M g + mg L
IO =
6
2
6
3
da cui si ha:
α=
3 g M + (5/3)m
2 L M + (25/12)m
1
Quesito 8 Per la velocità angolare al punto più basso si può invece usare la conservazione delle energia.
In particolare per l’asse si ha una caduta pari a L/2, per la massa m una caduta pari a x = 5/6 · L,
quindi:
2
L 1
5
5
1 M L2 2
ω − Mg + m
L ω 2 − mg L
0=
2 3
2 2
6
6
da cui:
s
ω=
3
g
M + (5/3)m
·
L M + (25/12)m
Problema 2:
Quesito 9 Il campo magnetico generato da un solenoide lungo e sottile è approssimativamente uniforme
all’interno del solenoide e nullo all’esterno. Il valore del campo sull’asse si puó ottenere dal teorema
di Ampère, scegliendo un rettangolo con un lato sull’asse del solenoide ed un lato all’esterno del
solenoide stesso. Si ottiene
B(t) = µ0 nI(t);
e per il massimo Bmax = µ0 nImax
facendo attenzione nel calcolo numerico che n è espresso in spire/cm.
Quesito 10 La corrente indotta nella spira è data dalla legge di Faraday: V ind = −(dΦB /dt) e quindi
I ind = −(dΦB /dt)/R dove il flusso del campo magnetico è dato da ΦB = B(t) · (πa2 ) (si deve
considerare solo l’area in cui è effettivamente presente il campo magnetico). Si ottiene:
I ind (t) =
ω(πa2 )Bmax sin(ωt)
;
R
ind
e per il massimo Imax
=
2πf (πa2 )Bmax
R
Quesito 11 La potenza dissipata nella spira in funzione del tempo è data da P (t) = V 2 /R, cioè:
P (t) =
2
ω 2 (πa2 )2 Bmax
sin2 (ωt)
= P0 sin2 (ωt),
R
con
P0 =
2
ω 2 (πa2 )2 Bmax
.
R
Per ottenere la potenza media bisogna integrare su un periodo:
Z
Z
Z
1 T
1 T
1 T 1 − cos(2ωt)
P0
2
Pmed =
P (t)dt =
P0 sin (ωt)dt = P0
dt =
T 0
T 0
T 0
2
2
in quanto l’integrale del cos(2ωt) si annulla su un periodo.
2
Compito n. 1
Nome
Cognome
Numero di matricola
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Secondo compitino
26/2/2009.
Risposte ai quesiti (tempo 2h30m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
N
• Indicare nello tabella le LETTERE che corrispondono alla risposta a ciascun quesito. Indicare una X se si è svolto
il quesito, ma la risposta numerica non compare fra le possibilità. Lasciare in bianco se non si è svolto il quesito o
non si vuole che venga corretto.
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata.I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Una risposta errata verrà valutata con il numero negativo indicato sempre in parentesi.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente alle lettere segnate nella tabella (sia parte
A che parte B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè
esaminando il procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali segnate con una X o con la risposta
numerica errata. Se invece il punteggio in tabella è inferiore a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla tabella, sommato al punteggio
per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti) assegnato in
modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
~ =(-0.240,-0.0340) e B
~ =(0.670,-0.0150), trovare il modulo del loro prodotto
Quesito 1: Dati i due vettori del piano A
~ =A
~×B
~
vettoriale C
(2,-1)
~
|C|=
A 0.0131
B 0.0264
C 0.0989
D 0.160
E 0.0250
Quesito 2: Un corpo di massa M=2.80 kg viene lasciato cadere dal finestrino di di un’auto in corsa a velocitá
v=95.0 km/h, da un’altezza di h=85.0 cm. Trascurando la resistenza dell’aria, dopo quanto tempo ∆t il corpo tocca terra ?
(2,-1)
∆t[s]=
A 0.506
B 0.689
C 0.416
D 0.615
E 1.36
Quesito 3: Calcolare il valore della funzione x(t) = x0 sin(2πf t + φ) per i seguenti valori dei parametri: x0 = 32.0 mm,
f =5.60 kHz, φ = 30◦ e t = 4.10 ms.
(2,-1)
x[mm]=
A 21.4
B 8.61
C 17.9
D 12.9
E 13.8
~ =(-0.140,-0.260,0.290) e B
~ =(0.990,0.940,0.0900), trovare il modulo valore dell’espressione
Quesito 4: Dati i due vettori A
~ + B)
~ · (A
~ + B).
~
c = (A
(2,-1)
c=
A 1.42
B 0.925
C 2.05
D 1.33
E 2.22
Quesito 5: Le tracce di un CD vengolo lette con velocità lineare costante pari a 1.25 m/s. Calcolare la frequenza di
rotazione del CD in giri al minuto (rpm) quando la testina di lettura si trova ad un raggio di 5.40 cm
(2,-1)
f [rpm] =
A
195
B 31.6
C
381
D
221
E
412
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nell’apposito spazio e riportare la lettera corrispondente nella tabella delle risposte.
Problema 1: Una sbarretta di legno di lunghezza D = 1.70 m e massa M =
10.0 kg è incernierata ad un estremità O, e puó ruotare in un piano verticale. Un
proiettile di massa m = 58.0g viene sparato orizzontalmente ad una distanza D/2
dall’asse di rotazione con velocità v0 = 400 m/s. Il proiettile si conficca nella
sbarretta.
Quesito 6 Dire quali quantità tra Px , Py , LO , E (componenti x, y della quantità di moto, momento angolare rispetto ad
O, energia meccanica) si conservano nell’urto, e spiegare perché.
(4,0)
Quesito 7 Calcolare la velocità angolare ω del sistema sbarretta piú proiettile subito dopo l’urto.
ω[rad/s]=
A 1.03
B 0.0675
C 1.27
(4,-1)
D 2.04
E 0.305
Quesito 8 Calcolare la reazione vincolare Ry esercitata dalla cerniera sulla sbarretta subito dopo l’urto (NB: non durante
l’urto).
(4,-1)
Ry [N]=
A
1880
B
852
C
134
D
118
E
444
Problema 2: Un corpo di forma cilindrica, di massa M = 4.60 kg, raggio R = 0.150 m, e di momento di
inerzia rispetto all’asse del cilindo pari a ICM = 0.75M R2 rotola senza strisciare su un piano inclinato che
forma un angolo θ = 27.0◦ rispetto all’orizzontale.
Quesito 9 Calcolare la velocità angolare ω del cilindro dopo che è sceso per un’altezza H = 0.490 m.
ω[rad/s]=
A 15.6
B
203
C 33.9
D 22.0
E
(4,-1)
161
Quesito 10 Determinare la accelerazione aCM del centro di massa del cilindro.
aCM [m/s2 ]=
A 1.53
B 22.3
(4,-1)
C 2.54
D 9.54
E 35.7
Quesito 11 Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra cilindro e piano µs per cui il cilindro effettivamente
rotola senza strisciare.
(4,-1)
µs =
Compito n. 1
A 1.82
B 5.33
C 0.146
D 0.218
E 0.341
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compitino del 26/2/2009.
Soluzioni Parte A:
~ = |Cz | = |Ax By − Ay Bx |
Quesito 1 : Dalla definizione di prodotto vettoriale si ottiene: |C|
Quesito 2 : Il tempo
p di caduta è indipendente dalla velocità della macchina, ma dipende solo dall’altezza: ∆t = 2h/g
Quesito 3 : Si tratta solo di sostituire i valori, facendo attenzione a trasformare in radianti φ = π/6.
~ B)·(
~ A+
~ B)
~ =
Quesito 4 : La somma vettoriale si esegue componente per componente, per cui: c = (A+
(Ax + Bx )2 + (Ay + By )2 + (Az + Bz )2 .
Quesito 5 : La velocità angolare del disco deve essere ω = v0 /r, da cui la frequenza rotazione in rpm
è f = (60s/min)v0 /2πr.
Soluzioni Parte B:
Problema 1:
Quesito 6 Le forze esterne che agiscono sul sistema sbarretta piú proiettile sono: forza di gravità,
reazione vincolare della cerniera. Quest’ultima ha carattere impulsivo. Di conseguenza non si
conserva la quantità di moto, mentre si conserva il momento angolare perché il momento delle
forze rispetto alla cerniera è nullo. L’energia non si conserva in quanto si tratta di un urto
anelastico.
Quesito 7 Dalla conservazione del momento angolare, indicando con IO = 13 M D2 + 14 mD2 il momento
di inerzia totale del sistema rispetto al polo O si ha: 12 mv0 D = IO ω, da cui
ω=
mv0 D
3 v0 m
1
= ·
·
·
2IO
2 D M 1 + 3m/4M
Quesito 8 Subito dopo l’urto il centro di massa del sistema, che si trova a distanza D/2 dalla cerniera,
compie un moto circolare con velocità angolare ω trovata sopra. Considerando la somma delle
forze lungo y si ha: Ry − (M + m)g = (M + m)ω 2 D/2, da cui
Ry = (M + m)(g + ω 2 D/2)
Problema 2:
Quesito 9 Nel rotolamento del cilindro si conserva l’energia perché il punto di contatto O è fermo e
pertanto la forza di attrito non compie lavoro. Indicando con IO = 0.75M R2 + M R2 = 1.75M R2
il momento di inerzia del cilindro rispetto al punto di contatto, dalla conservazione dell’energia si
ottiene: M gH = 12 IO ω 2 da cui
r
r
2M gH
2gH
ω=
=
IO
1.75R2
1
Quesito 10 Le forze che agiscono sul sistema sono: la foza di gravità M g, la forza di attrito statico
fs e la forza di reazione normale N del piano inclinato. Considerando l’equazione dei momenti
rispetto ad O, si ha: M gR sin θ = IO α = IO (aCM /R) da cui:
aCM =
g sin θ
M R2 g sin θ
=
IO
1.75
Quesito 11 Considerando adesso l’equazione delle forze lungo le due direzioni parallele e perpendicolari
al piano inclinato si ha:
−fs + M g sin θ = M aCM
N − M g cos θ = 0
da cui, usando l’accelerazione calcolata al punto precedente fs = M g sin θ(1 − M R2 /I0 ), mentre
N = M g cos θ. Poiché deve essere fs ≤ µs N , si ottiene µs ≥ fs /N e sostituendo
M R2
0.75
µs ≥ tan θ 1 −
=
tan θ
I0
1.75
2
Cognome
Numero di matricola
Nome
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Terzo compitino
20/4/2009.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata. I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Non verranno assegnati punteggi negativi per le risposte sbagliate.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente ai risultati numerici (sia parte A che parte
B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè esaminando il
procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali. Se invece il punteggio di pre correzione è inferiore
a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla pre-correzione, sommato al
punteggio per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti)
assegnato in modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio
Quesito 1: Determinare l’area del triangolo formato dai tre punti A =(1.240,0.730)m, B =(3.670,2.150)m e C =(2.550,3.450)m
(2,0)
Area[m2 ]=
Quesito 2: Determinare l’accelerazione gravitazionale g 0 sulla superficie di un pianeta di massa M = 0.75MT e raggio
R = 0.6RT dove l’indice T indica la terra.
(2,0)
g 0 [m/s2 ]=
Quesito 3: Determinare la densità della glicerina sapendo che uno stesso corpo immerso in acqua ha il 50% del proprio
volume immerso, mentre immerso in glicerina ha soltanto il 40% immerso.
(2,0)
ρG [kg/m3 ]=
Quesito 4: Determinare la frequenza f 0 percepita dagli occupanti di un’auto che viaggia a 45 km/h ed incrocia un’ambulanza che viaggia a 120 km/h in senso opposto emettendo un suono di frequenza 600 Hz. (si assuma v(suono) = 341 m/s)
(2,0)
f 0 [Hz]=
Quesito 5: Un’onda trasversale su una corda si propaga con velocità v = 750 m/s ed ha equazione
y = ymax sin(
2π
2π
x−
t − 2γπ)
λ
T
con λ = 2.45 cm e γ = 0.35. Trovare il primo nodo x0 > 0 (cioè il punto di ampiezza nulla) per t = 0
x0 [cm]=
(2,0)
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello spazio
piccolo.
Problema 1: Si considerino due pianeti di massa M1 = 4.5MT e M2 = 0.75MT e raggio R1 = 2RT e R2 = 0.5RT ,
inizialmente a distanza molto grande fra loro e praticamente in quiete. Successivamente i due pianeti si muovono uno
contro l’altro lungo una retta fino a collidere.
Quesito 6 Determinare il valore assoluto del rapporto |v1 /v2 | tra le velocità dei due pianeti subito prima della collisione.
(4,0)
|v1 /v2 |=
Quesito 7 Calcolare la velocità v2 subito prima della collisione.
(4,0)
|v2 |[m/s]=
Problema 2: Un rubinetto fa uscire da un tubo di diametro DR = 1.25 cm un flusso d’acqua che riempie una pentola
da 2.5 litri in 9.0 s. Questo rubinetto è alimentato da una pompa posta h = 8.5 m piú in basso attraverso una colonna
montante di diametro DR = 5.0 cm
Quesito 8 Determinare la velocità di uscita dell’acqua dal rubinetto.
(4,0)
vR [m/s]=
Quesito 9 Determinare la pressione che deve fornire la pompa (sopra la pressione atmosferica) per mantenere il flusso
di acqua.
(4,0)
∆P [Pa]=
Problema 3: Un corpo di massa M = 84.50 kg è sospeso ad una corda elastica di lunghezza a riposo L0 = 4.5 m, massa
m = 1.5 kg e costante elastica k = 395.0 N/m.
Quesito 10 Determinare la lunghezza della corda quando la massa è in equilibrio sotto l’azione della gravità.
(4,0)
L[m]=
Quesito 11 Determinare il tempo che impiega una perturbazione trasversale a viaggiare da un estremo all’altro della
corda.
(4,0)
∆t[s]=
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compitino del 20/4/2009.
Soluzioni Parte A:
Quesito 1 : Il triangolo che passa per i punti A, B e C può essere considerato la metà di un parallelo~ e AC
~ sono i lati, mentre BC
~ è la diagonale. Quindi l’area che voglio trovare
gramma in cui AB
~ e AC:
~
è la metà del modulo del prodotto vettoriale tra AB
~
~
S = AB × AC /2 = |ABx ACy − ABy BCx | /2 = 2.37 m2
Quesito 2 : L’accelerazione gravitazianale di un corpo posto sul pianeta è pari a:
g0 = G
0.75MT
0.75
= 20.4 m/s2
2 = g·
0.62
(0.6RT )
Quesito 3 :
Dal principio di archimede la spinta dovuta al volume immerso deve essere uguale dei due casi,
quindi:
5
ρA 0.50 · V = ρG 0.40 · V ⇒ ρG = ρA = 1.25 · 103 : kg/m3
4
Quesito 4 :
La sorgente e gli ascoltatori si avvicinano reciprocamente, esprimendo la velocità di propagazione
del suono in aria come v = 343 m/s, mentre convertiti in m/s la velocità della macchina è vM =
12.5 m/s, l’ambulanza vA = 33.3 m/s. Quindi la frequenza udita si calcola come:
v + vM
0
= 690 Hz
f =f
v − vA
Quesito 5 : Per t = 0 l’argomento del seno può essere riscritto come α = 2π (x/λ − γ), ed y = 0
λ. Il punto cercato per n = 0, quindi x0 = γλ = 0.86
quando α = nπ, quindi x = n+2γ
2
Soluzioni Parte B:
Problema 1:
Quesito 6 La forza di attrazione gravitazionale è interna al sistema formato dai due pianeti, quindi il
momento del centro di massa si conserva, ed in particolare deve essere nullo:
v1 M2
3/4
1
M1 · v1 + M2 · v2 = 0 ⇒ =
=
= = 0.167
v2
M1
9/2
6
1
Quesito 7 Pongo a 0 l’energia gravitazionale nella posizione iniziale dei due pianeti, quindi in totale
nella configurazione iniziale h Ei = 0. Quando avviene il contatto ho invece:
1
1
M1 M2
Ef = M1 v12 + M2 v22 − G
2
2
R1 + R2
sostituendo v1 = (M2 /M1 ) · v2 ed imponendo Ef = Ei si ha:
s
M12
1
M2
M1 M2
1
0 = M2 1 +
v22 − G
⇒ v2 = 2G
=
2
M1
R1 + R2
M1 + M2 R1 + R2
s
r
GM1
M1
4.5 4.5
2
RT = 2 g
RT = 13900m/s
(R1 + R2 )RT M1 + M2
2.5 5.25
Problema 2:
Quesito 8 Visto che la pentola si riempe in T = 9 s di C = 2.5 l la portata dell’acqua al rubinetto
deve essere F = C/T , quindi la velocità deve essere:
vR =
F
= 2.26 m/s
(DR /2)2 · π
Quesito 9 Nella pompa alla base della colonna, dovendosi mantenere costante la portata, l’acqua
2
scorre alla velocità vC = vR DR
/DC2 = 6.2 · 10−2 m/s. All’uscita dal rubinetto la pressione è quella
atmosferica, P0 , per trovare la pressione addizionale ∆P che deve fornire la pompa uso quindi
l’equazione di Bernoulli:
1
1
1 2
ρvC + P0 + ∆P = ρvP2 + ρgh + P0 ⇒ ∆P = ρ vP2 − vC2 + ρgh = 86 103 Pa
2
2
2
Problema 3:
Quesito 10 Per l’azione del peso del blocco la molla subisce un allungamento pari a L = L0 + M g/k =
6.60 m
Quesito 11 La densità lineare della corda elastica è quindi µ = m/L = 0.22 kg/m, mentre la tensione
è la forza elastica necessaria a sostenere il peso M g, quindi la velocità di propagazione è: v =
p
M g/µ = 60.4 m/s.
Il tempo necessario per propagare una peturbazione tra i due estremi della corda è quindi: T =
L/v = 0.110 s
2
Cognome
Numero di matricola
Nome
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Quarto compitino
3/6/2009.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata. I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Non verranno assegnati punteggi negativi per le risposte sbagliate.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente ai risultati numerici (sia parte A che parte
B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè esaminando il
procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali. Se invece il punteggio di pre correzione è inferiore
a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla pre-correzione, sommato al
punteggio per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti)
assegnato in modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio
Quesito 1: Un corpo si muove in un piano con la legge oraria ~r(t) = r~0 +a(cos ωt, sin ωt) con r0 = (2.5, 4.2) cm, a = 2.2 cm
e ω = 4.5 rad/s. Calcolare la velocità massima del corpo.
(2,0)
v[m/s]=
Quesito 2: Una corda di chitarra è lunga 60 cm ed ha una massa di 3.5 g. Determinare la tensione T necessaria perché
la frequenza piú bassa di oscillazione della corda corrisponda alla nota LA(110 Hz).
(2,0)
T[N]=
Quesito 3: Un bambino tiene con un filo un palloncino sferico di raggio 20 cm riempito di elio. Calcolare la tensione T
del filo, trascurando la massa del palloncino (densità dell’elio = 0.180 kg/m3 , densità dell’aria = 1.29 kg/m3 )
(2,0)
T[N]=
Quesito 4: Calcolare il valore di z per cui l’espressione P0 exp(−
3
ρ0 = 1.29 kg/m .
ρ0 gz
) è pari a 8.0 × 104 Pa, con P0 = 105 Pa e
P0
(2,0)
z[m]=
Quesito 5: Stimare l’area A di contatto (in cm2 )di una ruota di bicicletta con il suolo, considerando che il peso complessivo
di 90 kg (ciclista + bici) sia ripartito ugualmente sulle due ruote e che la pressione relativa di gonfiaggio sia di 2.2 atm.
(2,0)
A[cm2 ]=
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello spazio
piccolo.
Problema 1: Un gas perfetto biatomico compie un ciclo di Carnot in cui cede un calore QC =1020 J alla sorgente fredda,
mentre la variazione di entropia lungo l’isoterma a temperatura piú alta ∆S=3.3 J/K.
Quesito 6 Calcolare la temperatura della sorgente fredda
(4,0)
TC [K]=
Quesito 7 Sapendo che nell’espansione adiabatica del ciclo il rapporto dei volumi è α = 5, calcolare il rendimento del
ciclo.
(4,0)
η=
Problema 2: Un elettrone (carica Qe = −e = −1.6 × 10−19 C, massa me = 9.11 × 10−31 kg) percorre un’orbita circolare
attorno a un nucleo di idrogeno (carica +e) con velocità v = c/100 (dove c = 3.0 × 108 m/s è la velocità della luce). Il
nucleo di idrogeno è da considerare fisso nell’origine delle coordinate.
Quesito 8 Calcolare il raggio r dell’orbita circolare.
(4,0)
r[m]=
Quesito 9 Considerando la massa del nucleo di idrogeno pari a mp = 1835me , calcolare il rapporto tra l’energia potenziale
elettrica e quella gravitazionale per l’orbita indicata.
(4,0)
Uel /Ugr =
Problema 3: L’interno di un forno, schematizzabile come un cubo con lato di lunghezza L=70 cm, viene mantenuto
a 220 ◦ C. Le pareti del forno contengono un’isolamento termico costituito da uno strato esterno di fibra di vetro (cond.
termica kfv = 0.04 Wm−1 K−1 ) spesso 2 cm e da uno strato interno di aria (cond. termica karia = 0.025 Wm−1 K−1 ) spesso
3 cm. La temperatura esterna al forno è di 20 ◦ C. Si trascurino gli effetti degli spigoli.
Quesito 10 Calcolare quanta potenza deve fornire la resistenza di riscaldamento del forno per mantenere costante la
temperatura interna.
(4,0)
P [W]=
Quesito 11 Calcolare la temperatura all’interfaccia tra fibra di vetro ed aria.
T [◦ C]=
(4,0)
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compitino del 3/6/2009.
Soluzioni Parte A:
Quesito 1 : La legge oraria rappresenta un moto circolare uniforme, la sua velocità è costante e vale:
v = a · ω = 9.9 · 10−2 m/s
Piú esplicitamente, la velocità vettoriale si puó ottenere derivando la legge oraria:
~v = a · ω(− sin ωt, cos ωt). Tale vettore ha modulo |~v | = a · ω
Quesito 2 : La densità lineare della corda vale µ = m/L = 5.83 g/m frequenze di oscillazione più
bassa ha come periodo λ = 2L = 1.20 m, la tensione per avere il LA è
T = µλ2 f 2 = 102 N
Quesito 3 : La tensione deve essere pari alla differenza tra la spinta di Archimede e l’attrazione che
subisce l’elio. Si ha quindi:
4
F = (ρ0 − ρHe ) · g · V = (ρ0 − ρHe ) g πR3 = 0.365 N
3
Quesito 4 : invertendo la relazione, ed esplicitando z ottengo:
P0
P0
z=
ln
= 1763 m
ρ0 g
P
Quesito 5 : Essendo il sistema in equilibrio
P0 · S =
Mg
M
g⇒S=
= 19.8 cm2
2
2P0
Soluzioni Parte B:
Problema 1:
Quesito 6 In un ciclo di Carnot le variazioni di entropia nelle due isoterme sono in modulo uguali,
quindi:
TC = QC /∆S = 1020/3.3 K = 309 K
Quesito 7 In una trasformazione adiabatica esiste la relazione T V γ−1 = cost., quindi nell’espansione
adiabatica vale la relazione:
γ−1 γ−1
TC
VH
1
γ−1
γ−1
TH VH = TC VC ⇒
=
=
TH
VC
α
da cui si ricava che:
γ−1
7/5−1
1
1
η =1−
=1−
= 0.47
α
5
1
Problema 2:
Quesito 8 La forza che tiene in orbita elettrone è quella elettrostatica e data l’orbita circolare deve
sussistere l’uguaglianza tra l’accelerazione centripeta a cui è soggetto l’elettrone e l’attrazione
elettrostatica tra elettrone e nucleo, quindi:
1 e2
e2
v2
⇒
r
=
=
m
= 2.81 · 10−11 m
e
4πε r2
r
4πεme v 2
Quesito 9 Il potenziale elettrostatico per l’elettrone attratto dal nucleo vale:
Uel (r) = −
1 e2
4πε0 r
mentre il potenziale dovuto all’attrazione gravitazionale è:
Ugr (r) = −G
da cui:
mp me
r
Uel (r)
e2
1
=
= 2.24 · 1039
Ugr (r)
4πε0 Gmp me
Problema 3:
Quesito 10 La superfice laterale del forno, schematizzato come un cubo, è S = L2 · 6 = 0.702 · 6 m2 =
2.94 m2 , la potenza necessaria per mantenere stabile la temperatura del forno è pari a:
P =
S · (Ti − Te )
2.94 · 200
=
W = 346 W
daria /karia + df v /kf v
0.02/0.04 + 0.03/0.025
Quesito 11 La potenza che fluisce attraverso la superficie di separazione tra i 2 mezzi deve essere
uguale, vale quindi:
karia
kf v
kf v /df v · Te + karia /daria · Ti
(Ti − T ) =
(T − Te ) ⇒ T =
= 79 ◦ C
daria
df v
kf v /df v + karia /daria
2
Cognome
Numero di matricola
Nome
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
10/6/2009.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata. I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Non verranno assegnati punteggi negativi per le risposte sbagliate.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente ai risultati numerici (sia parte A che parte
B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè esaminando il
procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali. Se invece il punteggio di pre correzione è inferiore
a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla pre-correzione, sommato al
punteggio per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti)
assegnato in modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio
Quesito 1: Calcolare il valore di t per cui l’espressione x0 (1 − e−t/τ ) è pari a 6.0 × 10−3 m, con x0 = 1.2 × 10−2 m e
τ0 = 65.0 ms.
(2,0)
t[ms]=
Quesito 2: Un corpo si muove in un piano con la legge oraria ~r(t) = r~0 +(v0 t, − 12 at2 ) con r~0 = (2.5, 4.2)m, v0 = −3.5m/s,
e a = 8.2 m/s2 . Calcolare il modulo della velocità del corpo quando interseca l’asse delle y (cioè x = 0).
(2,0)
v[m/s]=
Quesito 3: Una cassa di massa 23.5 kg scivola su un pavimento orizzontale, con un coefficiente di attrito dinamico pari
a 0.33. Un operaio imprime alla cassa una velocità iniziale di 2.5 m/s. Calcolare la distanza che percorre la cassa. (2,0)
D[m]=
Quesito 4: Una ruota di momento di inerzia 0.45 kg · m2 ruota attorno al suo asse compiendo 85 giri al minuto. Alla
ruota viene applicata una coppia frenante di 1.1 N · m. Calcolare dopo quanto tempo si ferma la ruota.
(2,0)
t[s]=
Quesito 5: Calcolare il valore di una resistenza costituita da un filo di nickel-cromo (resistività 1.5 × 10−5 Ω · m) di
lunghezza 35 cm e diametro 1.2 mm.
(2,0)
R[Ω]=
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello spazio
piccolo.
Problema 1: Una ruota omogenea, di raggio R = 40 cm e massa M = 1.75 kg, è appoggiata su un piano orizzontale, sul
quale effettua un moto di puro rotolamento grazie all’attrito presente nel punto di contatto. Una massa puntiforme di
valore M/2 è inchiodata in un punto A, che si trova sul bordo della ruota ed alla stessa altezza del suo centro. Al tempo
t = 0 il sistema è fermo nella posizione descritta e viene lasciato libero di muoversi.
Quesito 6 Calcolare l’accelerazione angolare della ruota nell’istante iniziale t = 0.
(4,0)
α[rad/s2 ]=
Quesito 7 Utilizzando la legge di conservazione appropriata, si calcoli la velocità angolare della ruota nel momento in
cui il punto A si trova a contatto con il suolo.
(4,0)
ω[rad/s]=
Problema 2: Un cubo omogeno di lato L = 85cm e massa M = 125kg è appoggiato su una superficie piana; il coefficiente
di attrito fra cubo e piano è µs = 0.8. Viene applicata su uno degli spigoli superiori del cubo una forza di modulo F
parallela al piano e diretta come un lato del cubo stesso.
Quesito 8 Calcolare la massima forza per cui il cubo non ruota.
(4,0)
F [N]=
Quesito 9 Calcolare il modulo reazione del piano nel punto di rotazione quando il cubo inizia a ruotare.
(4,0)
R[N]=
Problema 3: N = 400 fili rettilinei, fra loro paralleli e di lunghezza infinita, sono contenuti all’interno di un volume
cilindrico di raggio a = 2 cm. In ogni filo scorre una corrente I0 = 5 A. I fili sono distribuiti uniformenente all’interno del
cilindro. si utilizzi un sistema di coordinate polari cilindriche in cui lasse z coincide con l’asse del cilindro.
Quesito 10 Calcolare il campo magnetico per r < a, ed in particolare nel punto r = a/2. Specificare la direzione di B
(4,0)
B[T]=
Quesito 11 Calcolare il campo magnetico per r > a ed in particolare nel punto r = 2a. Graficare B in funzione del
raggio tra 0 e ∞
(4,0)
B[T]=
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 10/6/2009.
Soluzioni Parte A:
Quesito 1 : Ivertendo la relazione x = x0 · 1 − e−t/τ0 ed esplicitando t ricavo:
x
t = −τ0 ln 1 − · = τ0 ln 2 = 45 ms
x0
Quesito 2 : Il corpo si muove con velocità uniforme verso x negative e di moto uniformemete accelerate
verso il basso. Passa in x = 0 per t = 2.5/3.5 s. A questo tempo si ha quindi:
q
|~v | = (−v0 )2 + (−a · 0.714 s)2 = 6.82 m/s
Quesito 3 : La cassa viene fermata con una forza costante F = −µ · M g, il lavoro necessario per
fermare la cassa è:
1
v2
µM gx = M v 2 =⇒ x =
= 0.97 m
2
2gµ
Quesito 4 : Il disco viene frenato con un decelerazione costante pari a α = τ /I = 2.44 rad/s2 . La
velocità della ruota è quindi si annulla quando:
2π · ngiri
2π · ngiri
− α · t rad/s = 0 =⇒ t =
s = 3.64 s
60
60 · α
Quesito 5 : La resistenza di un filo di forma cilindrica è data da:
R=
ρ·L
Ω = 4.64 Ω
π(d/2)2
Soluzioni Parte B:
Problema 1:
Quesito 6 Si può considerare come polo per il calcolo dei momenti il punto di contatto tra la ruota ed
il piano, indicato come O. Rispetto
questo
il momento d’inerzia del sistema nell’istante
√ punto
aM
5
1
2
2
2
iniziale vale IO = 2 M R + M R + 2 ( 2R) = 2 M R2 . Tra le forze che agiscono sul sistema
l’unica che ha momento non nullo rispetto al polo è la forza peso della massa in A. Quindi:
τ=
M
1g
gR = IO α =⇒ α =
= 4.91 rad/s2
2
5R
Quesito 7 Dal punto precedente si nota che è conveniente continuare ad usare il polo O per il calcolo
del momento d’inerzia del sistema. L’unica accortezza consiste nel notare come il contributo al
momento d’inerzia della massa A cambia in funzione della sua posizione. Nella configurazione
richiesta, con la massa è in basso, il suo contributo al momento d’inerzia si annulla, si ha quindi
I0 = 32 M R2 . La conservazione dell’energia si imposta con la relazione:
r
1 3
M
2g
M R2 ω 2 =
gR =⇒ ω =
= 4.04 rad/s
2 2
2
3R
1
Problema 2:
F~
M~g
~1
N
Quesito 8
F~A,2
~2
N
F~A,1 O
La reazione vincolare è stata suddivisa sui due spigoli in basso, considerando quindi O come polo
per il calcolo dei momenti. Le equazioni delle forze e dei momenti sono quindi:
F − FA,1 − FA,2 =M ax
N1 + N2 − M g =M ay
L
F L + N1 L − M g =IO α
2
La condizione di equilibrio impone ax = ay = α = 0, dalla terza equazione in particolare la
condizione limite si ha quando N1 = 0, quindi
F =
Mg
= 613 N
2
Quesito 9 La condizione impone accelerazioni trascurabili, uso quindi il valore di F e N1 del punto
precedente. Quando il cubo inizia a sollevarsi il punto di contatto è però solo O, quindi il modulo
della reazione vincolare è:
s
r
2
q
Mg
5
2
2
2
= 1372 N
FA,2 + N1 =
+ (M g) = M g
2
4
Problema 3:
Quesito 10 Data la distribuzione uniforme di fili posso considerare la corrente che scorre come un
densità di corrente j = NπaI20 . Per motivi di simmetria il campo magnetico sarà perpendicolare
al filo ed al raggio che unisce il centro del filo ed il punto a cui si vuole conoscere il campo.
È conveniente usare il teorema di Ampere, dove per r < a la quantità di corrente concatenata
dipende da r stesso:
2πrB = µ0 j · πr2 ⇒ B = µ0
N I0 r
= 1.00 · 10−2 T
πa2 2
Quesito 11 Quando r > a continuo ad usare la circuitazione,la quantità di corrente concatenata non
è più funzione del raggio, quindi:
2πrB = µ0 N I0 ⇒ B = µ0
2
N I0
= 1.00 · 10−2 T
2πr
Cognome
Numero di matricola
Nome
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
10/6/2009.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Per la parte A si considerano solo i risultati numerici finali. Per la parte B è invece importante scrivere in brutta il
procedimento seguito, la sola risposta numerica non sarà considerata. I punteggi di ciascuna domanda sono indicati
tra parentesi. Non verranno assegnati punteggi negativi per le risposte sbagliate.
• Nella pre-correzione si considera il punteggio complessivo corrispondente ai risultati numerici (sia parte A che parte
B). Se il punteggio è maggiore od uguale a 10, la parte B verrà corretta in maniera completa, cioè esaminando il
procedimento e dando dei punteggi anche per risposte parziali. Se invece il punteggio di pre correzione è inferiore
a 10, il compito verrà considerato insufficiente.
• Il punteggio finale sarà quindi composto dal voto per la parte A come risulta dalla pre-correzione, sommato al
punteggio per la parte B ottenuto dalla correzione dettagliata, sommato ad un eventuale bonus (fino a 3 punti)
assegnato in modo insindacabile per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Parte A
Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio
Quesito 1: Calcolare il valore di t per cui l’espressione x0 (1 − e−t/τ ) è pari a 6.0 × 10−3 m, con x0 = 1.2 × 10−2 m e
τ0 = 65.0 ms.
(2,0)
t[ms]=
Quesito 2: Un corpo si muove in un piano con la legge oraria ~r(t) = r~0 +(v0 t, − 12 at2 ) con r~0 = (2.5, 4.2)m, v0 = −3.5m/s,
e a = 8.2 m/s2 . Calcolare il modulo della velocità del corpo quando interseca l’asse delle y (cioè x = 0).
(2,0)
v[m/s]=
Quesito 3: Una cassa di massa 23.5 kg scivola su un pavimento orizzontale, con un coefficiente di attrito dinamico pari
a 0.33. Un operaio imprime alla cassa una velocità iniziale di 2.5 m/s. Calcolare la distanza che percorre la cassa. (2,0)
D[m]=
Quesito 4: Una ruota di momento di inerzia 0.45 kg · m2 ruota attorno al suo asse compiendo 85 giri al minuto. Alla
ruota viene applicata una coppia frenante di 1.1 N · m. Calcolare dopo quanto tempo si ferma la ruota.
(2,0)
t[s]=
Quesito 5: Un pallone di raggio 15cm e massa 0.75kg viene immerso in una piscina. Trascurando la resistenza dell’acqua,
calcolare l’accelerazione con cui risale il pallone.
(2,0)
a[m/s2 ]=
Parte B
Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello spazio
piccolo.
Problema 1: Una ruota omogenea, di raggio R = 40 cm e massa M = 1.75 kg, è appoggiata su un piano orizzontale, sul
quale effettua un moto di puro rotolamento grazie all’attrito presente nel punto di contatto. Una massa puntiforme di
valore M/2 è inchiodata in un punto A, che si trova sul bordo della ruota ed alla stessa altezza del suo centro. Al tempo
t = 0 il sistema è fermo nella posizione descritta e viene lasciato libero di muoversi.
Quesito 6 Calcolare l’accelerazione angolare della ruota nell’istante iniziale t = 0.
(4,0)
α[rad/s2 ]=
Quesito 7 Utilizzando la legge di conservazione appropriata, si calcoli la velocità angolare della ruota nel momento in
cui il punto A si trova a contatto con il suolo.
(4,0)
ω[rad/s]=
Problema 2: Un cubo omogeno di lato L = 85cm e massa M = 125kg è appoggiato su una superficie piana; il coefficiente
di attrito fra cubo e piano è µs = 0.8. Viene applicata su uno degli spigoli superiori del cubo una forza di modulo F
parallela al piano e diretta come un lato del cubo stesso.
Quesito 8 Calcolare la massima forza per cui il cubo non ruota.
(4,0)
F [N]=
Quesito 9 Calcolare il modulo reazione del piano nel punto di rotazione quando il cubo inizia a ruotare.
(4,0)
R[N]=
Problema 3: Un congelatore è realizzato con una macchina di Carnot fatta funzionare a ciclo inverso, che opera tra
la temperatura interna della cella (TC = −18◦ C) e la temperatura ambiente (TA = 20◦ C). La potenza assorbita dal
congelatore è di P = 120 W. Nel congelatore viene introdotta una massa M = 1.5 kg di acqua a temperatura ambiente.
(Cacqua = 4186 J/(kg · K), Cghiaccio = 2260 J/(kg · K) Lf (ghiaccio) = 333 kJ/kg · K)
Quesito 10 Calcolare quanto calore deve cedere l’acqua per arrivare ad essere in equilibrio con la cella (cioè ad essere
ghiaccio a −18◦ C).
(4,0)
Q[kJ]=
Quesito 11 Calcolare quanto tempo ci mette il congelatore per portare l’acqua alla situazione di equilibrio con la cella.
(4,0)
t[s]=
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 10/6/2009.
Soluzioni Parte A:
Quesito 1 : Ivertendo la relazione x = x0 · 1 − e−t/τ0 ed esplicitando t ricavo:
x
t = −τ0 ln 1 − · = τ0 ln 2 = 45 ms
x0
Quesito 2 : Il corpo si muove con velocità uniforme verso x negative e di moto uniformemete accelerate
verso il basso. Passa in x = 0 per t = 2.5/3.5 s. A questo tempo si ha quindi:
q
|~v | = (−v0 )2 + (−a · 0.714 s)2 = 6.82 m/s
Quesito 3 : La cassa viene fermata con una forza costante F = −µ · M g, il lavoro necessario per
fermare la cassa è:
1
v2
µM gx = M v 2 =⇒ x =
= 0.97 m
2
2gµ
Quesito 4 : Il disco viene frenato con un decelerazione costante pari a α = τ /I = 2.44 rad/s2 . La
velocità della ruota è quindi si annulla quando:
2π · ngiri
2π · ngiri
− α · t rad/s = 0 =⇒ t =
s = 3.64 s
60
60 · α
Quesito 5 : Il pallone subisce la forza peso e una spinta dovuta al principio di Archimede, quindi:
4 3 ρH2 O
4 3
F = ρH2 O πR g − M g = M a ⇒ a = g ·
πR
− 1 = 17.8 g = 175 m/s2
3
3
M
Soluzioni Parte B:
Problema 1:
Quesito 6 Si può considerare come polo per il calcolo dei momenti il punto di contatto tra la ruota ed
il piano, indicato come O. Rispetto
questo
il momento d’inerzia del sistema nell’istante
√ punto
aM
1
5
2
2
2
iniziale vale IO = 2 M R + M R + 2 ( 2R) = 2 M R2 . Tra le forze che agiscono sul sistema
l’unica che ha momento non nullo rispetto al polo è la forza peso della massa in A. Quindi:
τ=
M
1g
gR = IO α =⇒ α =
= 4.91 rad/s2
2
5R
Quesito 7 Dal punto precedente si nota che è conveniente continuare ad usare il polo O per il calcolo
del momento d’inerzia del sistema. L’unica accortezza consiste nel notare come il contributo al
momento d’inerzia della massa A cambia in funzione della sua posizione. Nella configurazione
richiesta, con la massa è in basso, il suo contributo al momento d’inerzia si annulla, si ha quindi
I0 = 32 M R2 . La conservazione dell’energia si imposta con la relazione:
r
1 3
M
2g
M R2 ω 2 =
gR =⇒ ω =
= 4.04 rad/s
2 2
2
3R
1
Problema 2:
F~
M~g
~1
N
Quesito 8
F~A,2
~2
N
F~A,1 O
La reazione vincolare è stata suddivisa sui due spigoli in basso, considerando quindi O come polo
per il calcolo dei momenti. Le equazioni delle forze e dei momenti sono quindi:
F − FA,1 − FA,2 =M ax
N1 + N2 − M g =M ay
L
F L + N1 L − M g =IO α
2
La condizione di equilibrio impone ax = ay = α = 0, dalla terza equazione in particolare la
condizione limite si ha quando N1 = 0, quindi
F =
Mg
= 613 N
2
Quesito 9 La condizione impone accelerazioni trascurabili, uso quindi il valore di F e N1 del punto
precedente. Quando il cubo inizia a sollevarsi il punto di contatto è però solo O, quindi il modulo
della reazione vincolare è:
s
r
2
q
Mg
5
2
2
2
FA,2 + N1 =
+ (M g) = M g
= 1372 N
2
4
Problema 3:
Quesito 10 Per arrivare alla stessa temperatura del frigorifero il raffreddamento dell’acqua ha 3 fasi: un
raffreddamento dell’acqua da TA = 20◦ C a Tf = 0◦ C, il cambio di stato in ghiaccio a temperatura
costante, il raffreddamento del ghiaccio sino a TC = −18◦ C. Il calore totale assorbito dall’acqua
è quindi:
Q = M Cacqua (TA − Tf ) + Lf M + M Cghiaccio (Tf − TC ) = 686 kJ
Quesito 11 La potenza assorbita è pari al lavoro W necessario per far compiere il ciclo nell’unità di
tempo. Il lavoro e la quantità di calore scambiato con la sorgente fredda sono inoltre connesse
dal COP dalla seguente formula: W = QC /COP , dove per un ciclo di Carnot vale la relazione
COP = TC /(TH − TC ). Unendo le relazioni, ed usando le temperature date, il lavoro totale che
deve essere fornito al ciclo è:
TA − TC
= 102.2 kJ
W =Q
TC
il tempo necessario vista la potenza fornita è:
t = W/P = 852 s
2
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
3/7/2009.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: Una piccola sfera di massa m=5kg, appesa ad un punto fisso tramite una cordicella di massa trascurabile e
lunghezza L=1.0m, viene dapprima sollevata finche la stessa cordicella sia orizzontale, e poi lasciata andare. Si consideri
l’angolo θ formato tra la cordicella e la verticale.
Quesito 1 Trovare la velocità della sfera in funzione di θ, e calcolarla numericamente per θ = 0.
v[m/s]=
Quesito 2 Trovare l’accelerazione radiale e tangenziale della sfera in funzione θ e calcolarle numericamente per θ = π/4.
arad [m/s2 ]=
atan [m/s2 ]=
Quesito 3 Trovare l’angolo θ nel momento in cui l’accelerazione della sfera è orizzontale.
θ[rad]=
Problema 2: Nello spazio interstellare una astronave, di massa M = 8.5 tonnellate, viaggia con velocità costante di
modulo v0 = 1.1 km/s, misurata rispetto alle stelle fisse. Ad un certo istante i motori dell’astronave espellono una massa
di gas pari a mG = 450 kg in direzione opposta alla velocità dell’astronave; il gas fuoriesce con velocità vG = 140 m/s
misurata rispetto alle stelle fisse.
Quesito 4 Calcolare la velocità dell’astronave dopo l’espulsione del gas.
v 0 [m/s]=
Quesito 5 Calcolare la variazione di energia meccanica Ef −Ei del sistema astronave + gas, facendo attenzione al segno.
∆E[J]=
Quesito 6 Successivamente, per aggiustare l’assetto, viene emessa una seconda massa di gas m2 = 25 kg in direzione
perpendicolare alla velocità, da degli ugelli che distano d = 7 m dal centro di massa dell’astronave, che inizia
pertanto a ruotare. La velocità della massa di gas è la stessa di prima, vG . Considerando che il momento di inerzia
dell’astronave intorno all’asse di rotazione sia I = 50000 kg · m2 , calcolare quanto tempo impiega l’astronave a
ruotare di 35◦ .
t[s]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
n moli di un gas ideale che si trova a temperatura T0 vengono fatte espandere in modo isotermo reversibile fino a k volte
il volume iniziale. Successivamente il gas viene riscaldato isocoricamente finché la pressione nello stato finale è uguale a
quella dello stato iniziale. Per le valutazioni numeriche si consideri n = 3, T0 = 273 K, k = 5.
Quesito 7 Disegnare la trasformazione nel piano pV e calcolare il calore Q1 scambiato dal gas nella espansione isoterma,
facendo attenzione al segno (positivo significa assorbito dal gas).
Q1 [J]=
Quesito 8 Calcolare la temperatura finale T1 del gas.
T1 [K]=
Quesito 9 Sapendo che il calore totale scambiato dal gas nelle due trasformazioni è pari a Q = 80kJ determinare il
coefficiente adiabatico γ del gas.
γ=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3:
Una sfera di raggio a = 2.3 cm è riempita uniformemente con una carica totale Q=150pC.
Quesito 7 Calcolare il campo elettrico in funzione del raggio r nella regione r < a. Indicarne direzione e verso. Calcolarlo
numericamente sulla superficie della sfera.
|E|[V/m]=
Quesito 8 Calcolare il potenziale elettrico in funzione del raggio r nella regione r < a assumendo che sia nullo per r = 0.
Calcolarlo numericamente sulla superficie della sfera.
V [V]=
Quesito 9 Trovare la legge oraria del moto di un elettrone che al tempo t = 0 si trovi fermo sul bordo della sfera e che si
muova sotto l’azione della sola forza elettrostatica, trascurando ogni altro tipo di forza e calcolando esplicitamente
il periodo delle oscillazioni. Si consideri la massa dell’elettrone me = 9.11 × 10−31 kg e la carica elementare e =
1.60 × 10−19 C.
T [s]=
Cognome
Numero di matricola
Nome
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
24/7/2009.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
D
C
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
A
B
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81B ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg.
Problema 1: Il 20 luglio del 1969 il primo uomo mise piede sulla
luna. Si vuole calcolare quanto tempo impiegó Neil Armstrong per
compiere lo storico salto dall’ultimo gradino della scaletta del LEM.
Si conoscono le masse della terra e della luna: MT = 5.98×1024 kg,
ML = (1/81)MT
T
L
α
D
C
Quesito 1 Supponendo che l’orbita della luna intorno alla terra sia circolare eAconsiderando che il periodoBè T =
27.3 giorni, trovare il raggio dell’orbita della luna.
RO [m]=
B
A
B
◦
Quesito 2 Sapendo che dalla superficie della terra la luna viene vista con angolo α = 0.53 e che il raggio della terra è
RT = 6.37 × 106 m, calcolare il raggio della luna.
RL [m]=
T
Quesito 3 Calcolando l’accelerazione di gravità sulla superficie della luna gL , determinare il tempo impiegato dall’astroα
nauta per cadere dal gradino alto h = 30cm della scaletta, supponendo che sia partito da fermo.
t[s]=
Problema 2: Si considerino due pulegge collegate da una cinghia (da considerare come
una corda instensibile, priva di massa e che non slitta sulle pulegge). Il raggio della
puleggia B (rB ) è 3 volte il raggio della puleggia A (rA ). Inizialmente la puleggia A
ruota con una frequenza di f0 = 99 rpm (giri al minuto).
A
B
Quesito 4 Sapendo che le due pulegge hanno lo stesso momento angolare, trovare il rapporto IA /IB tra i momenti di
inerzia.
IA /IB =
Quesito 5 Trovare il rapporto KA /KB tra le energie cinetiche di rotazione delle due pulegge.
KA /KB =
Quesito 6 Successivamente, la puleggia B viene collegata attraverso una frizione ad una seconda puleggia identica e
coassiale. Calcolare la frequenza di rotazione della puleggia A quando la puleggia addizionale è solidale con B.
f1 [rpm]=
L
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
p
La velocità del suono in un gas è data da v = γp/ρ, dove p è la pressione, ρ è la densità, e γ è il coefficiente adiabatico
del gas. Due tubi della stessa lunghezza L = 1.6 m sono accoppiati alla stessa sorgente sonora, un altoparlante, mentre
all’altra estremità sono aperti alla pressione atmosferica. All’interno dei due tubi è contenuto lo stesso gas biatomico,
N2 con massa molecolare MM = 28 g/mol. Il tubo A è mantenuto a temperatura TA = 300 K, mentre il tubo B è a
TA = 400 K.
Quesito 7 Calcolare la densità del gas nei due tubi.
ρA [kg/m3 ]=
ρB [kg/m3 ]=
Quesito 8 Calcolare la differenza tra i tempi di percorrenza di un’onda sonora nei due tubi.
tA − tB = ∆t[s]=
Quesito 9 Calcolare per quali frequenze del suono le onde giungono all’estremità libera dei tubi in opposizione di fase
per cui l’ampiezza totale si annulla.
fn [Hz]=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 3: Una spira rettangolare di lati AB=15 cm e BC=4.5 cm e resistenza
R = 1.5Ω ruota con velocità angolare ω = 35 rad/s intorno all’asse passante per il
lato AD, in senso antiorario. La spira è immersa in un campo magnetico uniforme
B = 0.65 T perpendicolare all’asse di rotazione. Al tempo t = 0 la spira si trova
nel piano del campo magnetico.
D
C
A
B
B
Quesito 7 Calcolare la forza elettromotrice indotta in funzione del tempo, e determinarla numericamente per t=0.
Vind [V]=
T
L
Quesito 8 Calcolare, in funzione del tempo, il momento della forza esercitato dall’operatore esterno per mantenere in
rotazione la spira a velocità angolare costante e determinarlo numericamente per t=0.
τ [N· m]=
Quesito 9 Calcolare quanta energia viene dissipata nella spira in un periodo di rotazione.
E[J]=
A
B
α
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
Soluzioni del compito del 24/7/2009.
Problema 1:
Quesito 1 Essendo la traiettoria della Luna circolare ed uniforme l’unica forza agente, la forza di
attrazione gravitazionale con la terra, sarà pari alla forza centripeta. In modulo vale quindi la
relazione:
ML MT
G
= ML ω 2 RO
2
RO
[rad/s]. Il valore di G può anche essere ricavato dall’accelerazione di gravità sulla
dove ω = 2π
T
superficie della terra: G = gRT2 /MT [m3 kg−1 s−2 ]. Sostituendo nell’equazione precdente:
r
r
MT
T2
3
3
RO = G 2 = gRT2 2 = 3.83 × 108 m
ω
4π
Quesito 2 Dalla figura si può vedere come si forma un triangolo rettangolo di ipotenusa RO − RT ,
dove ·RL è uno dei cateti. Si ha quindi:
sin(α/2) =
RL
⇒ RL = sin(α/2) · (RO − RT ) = 1.74 · 106 m
RO − RT
si può anche usare l’approssimazione di piccolo angolo per cui:
RL = (RO − RT ) · α/2 = (383 − 6.4) × 106 · (0.53/2) · (π/180) m = 1.74 · 106 m
Quesito 3 L’accelerazione di gravità lunare è data da
gL = GML /RL2 = (1/81)GMT /RL2 = 1/81g (RT /RL )2 = g/6 = 1.6 m/s2
. La caduta è un moto parabolico, con velocità iniziale di caduta nulla,quindi:
s
1 2
2h
gL t = h =⇒ t =
= 0.6 s
2
gL
Problema 2:
Quesito 4 Poiché la cinghia ha la stessa velocità lineare in tutti i punti e non striscia sulle pulegge, vale
la relazione ωA rA = ωB rB . La condizione di uguaglianza tra i momenti angolari implica quindi:
IA ωA = IB ωB ⇒
IA
ωB
rA
1
=
=
=
IB
ωA
rB
3
Quesito 5 Utilizzando le condizioni ricavate che legano le due pulsazioni e i due momenti d’inerzia, si
ricava:
2
KA
(1/2)IA ωA2
rA rB
rB
=
=
=
=3
2
2
KB
(1/2)IB ωB
rB rA
rA
Quesito 6 Il contatto con la frizione è dovuto a forze interne, si conserva quindi il momento angolare
totale del sistema. Il momento di inerzia della puleggia B sarà adesso il doppio di prima
IA ωA + IB ωB = 2IA ωA = IA ωA0 + 2IB ωB0
rimane valido il rapporto tra le pulsazioni: ωB0 = ωA0 rA /rB
2IA ωA = IA ωA0 + 2IA
rB 0 rA
2
ωA
= 3IA ωA0 =⇒ ωA0 = ωA = 66 rpm
rA rB
3
1
Problema 3 per Fisica Generale 1:
Quesito 7 La densità di un gas di massa molecolare MM è data da
M
nMM
nMM
pMM
ρ=
=
=
=
.
V
V
nRT /p
RT
Si ha quindi per i due tubi, tenendo conto di MM = 28 × 10−3 kg/mol:
pMM
3
= ρA = 0.85 kg/m3
RTB
4
p
Quesito 8 p
Le velocità di propagazione dell’onda nei due tubi sono vA =
γp/ρA = 352.7 m/s e
vB = γp/ρB = 408.5 m/s con γ = 7/5 = 1.4 per un gas biatomico. La differenza dei tempi di
propagazione è
1
1
= 0.62 ms
∆t = tA − tB = L
−
vA vB
ρA =
pMM
= 1.14 kg/m3 ,
RTA
ρB =
Quesito 9 La differenza di fase tra le due onde a frequenza f è Φ = 2πf ∆t. Le onde si annullano se
Φ = π + 2nπ, con n = 0, 1, 2, . . . . Questo corrisponde alle frequenze:
1
1
fn =
+n
= 807 + n · 1613 Hz
2∆t
∆t
Problema 3 per Fisica Generale:
Quesito 7 Attraverso spira si ha un flusso del campo magnetico che varia con l’angolo che questa forma
con campo. Prendendo il versore dell’area della spira uscente dal foglio nella posizione inziale,
l’angolo tra la spira ed il campo magnetico in funzione del tempo, vale θ = ωt − π/2. Chiamati
a = AB e b = BC le lunghezze dei due lati della spira, si ha che il flusso vale: Φ = abBcos(θ) =
abBcos(ωt − π/2) La forza elettromotrice indotta è data da:
dΦ
= abωB sin(ωt − pi/2)
dt
= −abωB = −154 mV
Vind = −
Per t = 0 si ha Vind
Quesito 8 La corrente indotta vale Iind (t) = Vind (t)/R = abωB sin(ωt − pi/2)/R. Poiché la spira ruota con velocità angolare costante, l’operatore applica un momento della forza sulla spira
~ =
uguale ed opposto a quello indotto dal campo magnetico, ~τop = −~τind , con ~τind = µ
~ ×B
−Iind (t)abB sin(ωt − pi/2)ẑ, avendo indicato con ẑ il versore diretto verso l’alto lungo l’asse di
rotazione. Si ottiene quindi
(abB)2 ω sin2 (ωt − π/2)
~τop =
ẑ
R
Al tempo t = 0 vale τop = (abB)2 ω/R = 4.5 × 10−4 N · m
Quesito 9 La potenza dissipata in funzione del tempo può essere calcolata in due modi diversi: P =
I 2 R = τ ω. In entrambi i casi si ottiene:
(abB)2 ω 2 sin2 (ωt − π/2)
P (t) =
R
RT
. L’energia è l’integrale della potenza: E = 0 P (t)dt. L’unico termine che dipende dal tempo è
il sin2 (ωt) il cui integrale su un periodo dà:
Z T
Z T
1 − cos(2ωt)
T
π
2
sin (ωt)dt =
dt = =
2
2
ω
0
0
da cui
Z T
(abB)2 ω 2 sin2 (ωt − π/2)
(abB)2 πω
E=
dt =
= 1.4 mJ
R
R
0
2
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Appello del
18/9/2009.
• Tempo a disposizione: 2h30
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Il valore di ciascun quesito è di 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. Fino a 3 punti
di bonus possono essere assegnati per la chiarezza dell’esposizione e le spiegazioni fornite.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.98 × 1024 kg, Rgas = 8.31 J/(K · mol).
Problema 1: Un cilindro uniforme di massa M = 2.5 kg e raggio R = 45 cm ha un filo
avvolto intorno alla sua circonferenza e poggia in orizzontale su un tavolo privo di attrito
(cioè con l’asse del cilindro verticale e perpendicolare al tavolo). L’estremità libera del
filo è collegata attraverso una carrucola ad una massa m = 750 g che cade sotto l’azione
della gravità. Il filo non striscia né sul cilindro né sulla carrucola. Si trascuri la massa della
carrucola. Inizialmente un perno privo di attrito e passante per il suo asse collega il cilindro
al tavolo.
Quesito 1 Qual è l’accelerazione della massa m ?
am [m/s2 ]=
Quesito 2 Quale velocità angolare ha il cilindro dopo che la massa m è caduta di un tratto d = 4.5 cm ?
ω[rad/s]=
Successivamente il perno viene rimosso ed il cilindro è quindi libero di ruotare e scivolare senza attrito sul tavolo.
Quesito 3 Qual è il rapporto tra l’accelerazione del filo e l’accelerazione del centro di massa del cilindro ?
afilo /aCM =
Quesito 4 Qual è l’accelerazione del centro di massa del cilindro ?
a[m/s2 ]=
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 2: Un gas perfetto monoatomico è contenuto in un cilindro di sezione S = 120 cm2 isolato
termicamente con un setto mobile di massa trascurabile. Il setto è collegato ad una molla di costante
elastica k = 3500 N/m e lunghezza a riposo trascurabile. Il sistema è inizialmente a temperatura
T0 = 300 K e la molla è lunga l0 = 25 cm. La pressione all’esterno del cilindro è la pressione atmosferica
(si assuma patm = 105 Pa)
Quesito 5 Calcolare la pressione all’interno del cilindro e quanti moli di gas sono contenute nel cilindro.
p =[Pa]=
n =[mol]=
Sul setto viene depositata molto lentamente una certa massa M di sabbia in modo che il gas sia sempre in condizione di
equilibrio. Alla fine del processo la temperatura del gas è T1 = 380 K
Quesito 6 Qual è la lunghezza finale della molla ?
l1 [m]=
Quesito 7 Qual è la massa M di sabbia depositata ?
M [kg]=
Quesito 8 Rimuovendo parzialmente l’isolamento si fornisce lentamente calore al gas in modo da riportarlo al volume
iniziale. Qual è la temperatura finale T2 ?
T2 [K]=
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 2: Un sbarretta conduttrice di resistenza R = 2.5 kΩ si muove con
velocità costante v = 4.5 m/s scivolando senza attrito su due guide conduttrici
poste a distanza d = 25 cm, ai capi delle quali è collegato un condesatore
di capacità C = 30 µF inizialmente scarico. Tra le due guide è presente un
campo magnetico costante ed uniforme B = 0.85 T diretto in verso entrante
perpendicolarmente al piano delle due guide.
Quesito 5 Calcolare la forza elettromotrice indotta nel circuito, indicando il segno + se il polo positivo è in alto ed il
segno − se è in basso.
Vind [V]=
Quesito 6 Esprimere la carica Q che si deposita sul condensatore in funzione del tempo ed in particolare calcolarla dopo
un tempo t = 150 ms.
Q(t)[C]=
Quesito 7 Esprimere in funzione del tempo la potenza esercitata dall’operatore per mantenere la sbarretta in movimento
e calcolarla numericamente per t = 150 ms.
P (t)[W]=
Quesito 8 Supponendo che la sbarretta continui indefinitamente verso destra, determinare l’energia complessiva che ha
fornito l’operatore per mantenere la sbarretta in movimento.
E[J]=