Liceo classico-scientifico “Ariosto-Spallanzani”
Reggio Emilia
Compito di Matematica
(studio di funzione, problemi di massimo, integrali e geometria)
Classe V G
20 aprile 2010
Nome .............................................
Cognome........................................
Si richiede che risolviate il problema e 5 quesiti tra quelli proposti.
Problema
Il triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa AB = a e l’angolo CAˆ B
3
.
a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l’arco di circonferenza di estremi P
e Q rispettivamente su AB e su BC. Sia poi R l’intersezione
con il cateto CA dell’arco di circonferenza di centro A e raggio
AP. Si specifichino le limitazioni da imporre ad x affinché la
costruzione sia realizzabile.
b) Si esprima in funzione di x l’area S del quadrilatero mistilineo
PQCR e si trovi quale sia il valore minimo e quale il valore
massimo di S(x).
c) Tra i rettangoli con un lato su AB e i vertici del lato opposto su
ciascuno dei due cateti si determini quello di area massima.
d) …………………..
(Adattato dal prob.1 dell’Esame di stato 2008, tradizionale, sessione ordinaria)
Questionario
x 3 6 x 2 5x 1
1) Calcolate
dx .
x 2 6x 5
3
4
Università di Parma-Facoltà di Ingegneria, scritto AnalisiAB del 13-02-2004, quesito 3.
2) Calcolare l’integrale
log x
dx .
x
(Esame di stato 2001, PNI, sessione ordinaria, quesito 5)
3) Una bevanda viene venduta in lattine, ovvero cilindri circolari retti costruiti con fogli di latta. Se la
lattina ha la capacità di 0,4 l , quali devono essere le sue dimensioni in centimetri affinché sia minima la
quantità di materiale necessario per realizzarla?
(Esame di stato 2005, tradizionale, sessione ordinaria, quesito 2)
4) Calcolare x arctgx dx , utilizzando la formula di integrazione per parti.
(prof.Cereda)
5) Calcolare
dx
cos
4
x
, utilizzando la sostituzione tgx y .
(prof.Cereda)
6) Fra le primitive di y 3 cos 3 x trovare quella il cui diagramma passa per P (0,5).
7) Calcolare l’ampiezza dell’angolo formato da due facce consecutive di un ottaedro regolare, espressa in
gradi sessagesimali ed approssimata al “primo”.
(Esame di stato 2006, PNI, sessione suppletiva, quesito 7)
8) Un tetraedro regolare e un cubo hanno superfici equivalenti. Si determini il rapporto dei rispettivi
spigoli.
(Esame di stato 2009, tradizionale, scuole italiane all’estero, Europa, quesito 1)
9) Si dia una definizione di poliedro regolare. Si dimostri che i poliedri regolari sono, a meno di
similitudini, solo 5 e si dica quali sono.
(Esame di stato 2009, tradizionale, scuole italiane all’estero, Americhe, quesito 1)
Tempo: 2 periodi. I voti vanno da 1 a 10 e saranno la somma del punteggio del problema e del questionario.
