ESERCIZIO: DARLINGTON #1 IC1 B C IC IB vπ1 rπ1 ro1 - IC2 B C gm1vπ1 + + gm2vπ2 vπ2 rπ2 IE1 IE ro2 - E E Figura 1 B i1 + v1 E - i2 y21v1 y11 y12v2 + y22 C v2 - E Figura 2 SOLUZIONE Il modello ai piccoli segnali della connessione darlington è mostrato in figura 1, mentre la sua rappresentazione a parametri [y] è riportata in figura 2 ed è caratterizzata dalle seguenti equazioni: i1 = y11 v 1 + y12 v 2 i 2 = y 21 v 1 + y 22 v 2 (1) da cui si ricavano le seguenti definizioni dei parametri [y]: y11 = i1 |v =0 v1 2 (2.a) y12 = i1 |v = 0 v2 1 (2.b) y 21 = i2 |v =0 v1 2 (2.c) y 22 = i2 |v = 0 v2 1 (2.d) Prima di procedere con il loro calcolo, ricaviamo i vincoli imposti dalla particolare connessione in oggetto ai parametri ai piccoli segnali di ciascun transistor. Per quanto riguarda il parametro transconduttanza possiamo scrivere: I B2 = I E1 ≈ I C1 ⇒ I C 2 = β F 2 I B2 ≈ β F 2 I C1 (3.a) da cui, g m2 = I C 2 β F 2 I C1 ≈ = β F 2 g m1 VT VT ⇒ g m 2 ≈ β 02 g m1 (3.b) Di conseguenza, le resistenze di ingresso devono soddisfare la seguente relazione: rπ 2 = β 02 r 1 ≈ = π1 g m 2 g m1 β 01 (4) Per quanto riguarda le resistenze di uscita possiamo scrivere: ro1 = VCE1 + VA VA VA I C 2 ≈ = ≈ β 02 ro 2 I C1 I C1 I C 2 I C1 (5) Per il calcolo dei parametri [y], facciamo riferimento alle figure 3 e 4, nelle quali si è considerato v1 = 0 e v2 = 0 rispettivamente. Le espressione approssimate ricavate in seguito considerano β0 >>1. i2 β01i1 + i1 rπ1 + ro1 io1 vπ1 - gm2vπ2 + vπ2= -vπ1 rπ2 C v2 ro2 - - E Figura 3 i1 B + rπ1 i2 + gm1vπ1 ro1 io1 vπ1 - v1 + E - gm2vπ2 vπ2 rπ2 ro2 - Figura 4 Determinazione di y11: Il parametro y11 rappresenta la conduttanza di ingresso quando viene annullata la tensione di uscita. Il circuito da analizzare è pertanto quello mostrato in figura 4 nel quale si è posto l'uscita in cortocircuito e si è applicato un generatore di tensione v1 in ingresso. Da questo schema si calcola il rapporto i1/v1 come segue: v 1 = rπ1i1 + (ro1 // rπ 2 )(1 + β 01 )i1 (6) 1 1 1 1 ≈ = = rπ1 + (ro1 // rπ 2 )(1 + β 01 ) rπ1 + rπ 2β 01 2rπ1 2 rπ 2β 01 y11 = (7) dove si è fatto uso della (4) e si è considerato ro1 // rπ 2 ≈ rπ 2 dato che rπ 2 ≈ V V V V 1 = T = T A ≈ T ro1 << ro1 g m1 I C1 VA I C1 VA (8) Determinazione di y12: Il parametro y12 rappresenta la transconduttanza inversa con la porta di ingresso cortocircuitata. Il circuito da analizzare è mostrato in figura 3. Da questo schema otteniamo: i1 = − i 01 = rπ 2 (β 01i1 + i 01 ) rπ1 + rπ 2 (9) v 2 − (rπ 2 // rπ1 )(β 01i1 + i 01 ) ⇒ i 01 = r01 v 2 (rπ 2 // rπ1 ) − β 01i1 (r // r ) r r01 1 + π 2 π1 01 r01 1 (10) Sostituendo la (10) equazione nella (9) otteniamo: i1 = − rπ 2 (β 01i1 ) − rπ2 rπ1 + rπ 2 rπ1 + rπ 2 v 2 (rπ 2 // rπ1 ) 1 β 01i1 − r01 r01 1 + (rπ 2 // rπ1 ) r01 (11) Da questa relazione possiamo trovare l'espressione esatta del parametro y12. Tuttavia, per capire se possiamo trascurarlo o meno abbiamo bisogno di una espressione più semplice che possiamo derivare nel seguente modo: Notiamo, innanzitutto, che il termine rπ 2 può essere così semplificato (si faccia uso della (4)): rπ1 + rπ 2 rπ 2 rπ 2 1 = = rπ1 + rπ 2 β 01 rπ 2 + rπ 2 β 01 + 1 (12) e consideriamo, inoltre: rπ 2 // rπ1 ≈ rπ 2 // (β 01rπ 2 ) ≈ rπ 2 (13) Usando tali approssimazioni e considerando la (8), la (11) diventa: v r i1 = − i1 − 2 − π 2 β 01 r01 r01 da cui si ricava: 1 i1 1 + rπ 2 r01 ⇒ 2i1 ≈ − v2 β 01r01 (14) y12 ≈ − 1 2β 01r01 ≈0 (15) Determinazione di y21: Il parametro y21 rappresenta la transconduttanza diretta con l'uscita in cortocircuito. Per la sua determinazione si faccia uso della figura 4. Da questo schema calcoliamo: 1 i 2 = g m1 v π1 + g m 2 v π 2 + i 01 = g m1 v π1 + v π 2 g m 2 − r01 (16) Dalla maglia di ingresso osserviamo che: (r // r ) v 1 = v π1 + v π 2 = v π1 1 + π 2 01 (1 + β 01 ) ≈ 2 v π1 rπ1 ⇒ v π1 ≈ v π 2 (17) per cui sostituendo nella (16) otteniamo (si ricordi la relazione (3.b)): i2 ≈ v1 (g m1 + g m 2 ) ⇒ 2 y 21 ≈ g m2 2 (18) Determinazione di y22: Il parametro y22 rappresenta la conduttanza di uscita quando viene cortocircuitata la porta di ingresso. Il circuito da analizzare rimane quello di figura 3. Calcoliamo, innanzitutto, la resistenza di uscita del primo transistor che coincide con la resistenza di uscita di uno stadio emettitore comune con resistenza di emettitore, cioè: g m1rπ 2 ro′1 = ro1 1 + ≈ 2 ro1 rπ 2 1+ rπ1 (19) La corrente di uscita i2 risulta: i2 = v v2 v v v + g m 2 v π 2 + 2 = 2 + 2 + g m 2 2 (rπ1 // rπ 2 ) ro′1 ro 2 ro′1 ro 2 ro′1 (20) da cui, facendo uso della (5), si ottiene: y 22 ≈ 1 1 (1 + β 02 ) ≈ 1 + 1 = 3 + ro 2 2ro1 ro 2 2 ro 2 2 ro 2 (21) In definitiva, la connessione darlington può essere trattata alla stregua di un singolo transistor avente il seguente modello ai piccoli segnali: B + rπ C gmvπ ro vπ - E Figura 5 in cui i parametri valgono: rπ ≈ 2β 01 rπ 2 (22.a) g m2 2 (22.b) 2 ro ≈ ro 2 3 (22.c) gm ≈