Esame di Stato 19 giugno 2008 Questionario PNI √ 1. Il Volume del cono equilatero√con raggio 1 è V = π 3/3. Il volume della sfera inscritta nel cono equilatero è V = π4 3/27. La probabilità che il punto P sia interno della sfera è data dal rapporto tra i due volumi e vale 49 . Allora la probabilità richiesta è 1 − 49 = 59 . 2. Sia OAB il triangolo individuato dal lato AB del decagono regolare inscritto e dal centro della circonferenza circoscritta al decagono stesso. AB è la sezione aurea del raggio; √ . dunque AB = r 5−1 2 Tracciando l'altezza del triangolo isoscele, l'angolo HOB è π/10 il cui seno HB/OB = √ 5−1 . 4 3. Scelto un opportuno sistema di riferimento, in cui il diametro pressato R 1sta sull'asse delle ascisse e il centro del cerchio in O, il volume del solido è dato da V = 1 S(t)dt dove S(t) è l'area del triangolo equilatero costruito sulla corda che giace sulla retta di equazione x = t. √ 1 − t2 e l'altezza del triangolo Per il primo√Teorema di Euclide, tale corda misura 2 √ 2 Allora: equilatero √ R è 3 1−t . √ V = 3 1 (1 1 − t2 )dt = 4 3/3 4. Sotto determinate ipotesi (generalmente soddisfatte e rinvenibili in qualunque manuale) (x) dai teoremi di De L'Hõpital si deduce la regola per cui limx→P fg(x) (con P nito o innito), qualora presenti la forma d'indecisione 0/0 oppure ∞/∞, può essere calcolato come 0 (x) limx→P fg0 (x) . Abbiamo allora: ∞ 2008 · x2007 x2008 = = lim x→+∞ 2x ∞ x→+∞ ln 22x lim Iterando il procedimento (bisognerebbe farlo 2008 volte . . . !), otteniamo il valore indicato. 5. Tutti i punti (x; y) con x < 0 soddisfano le condizioni richieste. Per x ≥ 0, la disug3 3 uaglianza y 2 − x3 > 0 è invece equivalente a y 2 > x3 ovvero a y < −x 2 e a y > x 2 6. Si può applicare il teorema del coseno. Dai dati del problema, dal calcolo della lunghezza della diagonale del parallelepipedo e da quello delle diagonali delle sue facce, si ottiene che i coseni dei tre angoli richiesti valgono approssimativamente 0, 70588 ; 0, 4705 ; 0, 529. I tre angoli valgono allora rispettivamente (e approssimativamente) 45◦ 60 ; 61◦ 560 ; 5820 . 7. Nella geometria non euclidea viene negata la validità del postulato delle parallele, secondo il quale dati un punto e una retta che non si appartengono, nel loro piano esiste un'unica retta passante per il punto e parallela alla retta data. Un esempio tipico è dato dalla geometria della sfera, nella quale i cerchi massimi si interpretano come rette. Non vale il postulato delle parallele perché non esistono rette parallele. 8. La funzione è denita per ogni x reale. Da f 0 (x) = π x ln π − πxπ−1 e f 00 (x) = π x ln2 π − π(π − 1)xπ−2 si deduce f 0 (π) = π π ln π − ππ π−1 = π π (ln π − 1) > 0 f 00 (π) = π π ln2 π − π(π − 1)π π−2 = π π (ln2 π − 1) + π π−1 > 0 9. Calcoliamo la probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili. I casi possibili sono tutti i modi di scegliere 8 studenti tra 20. Il numero di casi 20 possibili è dunque pari al numero di combinazioni di 20 oggetti di classe 8: 8 . I casi favorevoli sono dati da tutti i modi di scegliere 8 4 studenti fra le femmine e 4 tra i 12 maschi. Il numero di casi favorevoli è perciò 4 4 . La probabilità richiesta è 12 8 4 4 20 8 = 12·11·10·9·8·7·6·5 4·3·2·1·4·3·2·1 20·19·18·17·16·15·14·13 8·7·6·5·4·3·2·1 = 11 · 7 · 5 · 3 1155 = ≈ 0, 2751 19 · 17 · 13 4199 10. L'equazione della curva simmetrica rispetto all'origine è −y = e2x ovvero y = −e2x . La curva simmetrica rispetto alla bisettrice è quella della funzione inversa (di quella data): −2x = ln y ovvero, scambiando il nome delle variabili, y = − ln2x A cura del Centro PRISTEM dell'Università Bocconi