Esame di Stato 19 giugno 2008
Questionario PNI
√
1. Il Volume del cono equilatero√con raggio 1 è V = π 3/3. Il volume della sfera inscritta
nel cono equilatero è V = π4 3/27. La probabilità che il punto P sia interno della sfera
è data dal rapporto tra i due volumi e vale 49 . Allora la probabilità richiesta è 1 − 49 = 59 .
2. Sia OAB il triangolo individuato dal lato AB del decagono regolare inscritto e dal centro
della circonferenza
circoscritta al decagono stesso. AB è la sezione aurea del raggio;
√
.
dunque AB = r 5−1
2
Tracciando
l'altezza del triangolo isoscele, l'angolo HOB è π/10 il cui seno HB/OB =
√
5−1
.
4
3. Scelto un opportuno sistema di riferimento, in cui il diametro pressato
R 1 sta sull'asse delle
ascisse e il centro del cerchio in O, il volume del solido è dato da V = −1 S(t)dt dove S(t)
è l'area del triangolo equilatero costruito sulla corda che giace sulla retta di equazione
x = t.
√
1 − t2 e l'altezza del triangolo
Per il primo√Teorema
di
Euclide,
tale
corda
misura
2
√
2
equilatero
√ R è 3 1 − t . Allora:
√
V =
3
1
(1
−1
− t2 )dt = 4 3/3
4. Sotto determinate ipotesi (generalmente soddisfatte e rinvenibili in qualunque manuale)
(x)
dai teoremi di De L'Hõpital si deduce la regola per cui limx→P fg(x)
(con P nito o innito), qualora presenti la forma d'indecisione 0/0 oppure ∞/∞, può essere calcolato come
0 (x)
limx→P fg0 (x)
. Abbiamo allora:
∞
2008 · x2007
x2008
=
=
lim
x→+∞ 2x
∞ x→+∞ 2x ln 2
lim
Iterando il procedimento (bisognerebbe farlo 2008 volte . . . !), otteniamo il valore indicato.
5. Tutti i punti (x; y) con x < 0 soddisfano le condizioni richieste. Per x ≥ 0, la disug3
3
uaglianza y 2 − x3 > 0 è invece equivalente a y 2 > x3 ovvero a y < −x 2 e a y > x 2
6. Si può applicare il teorema del coseno. Dai dati del problema, dal calcolo della lunghezza
della diagonale del parallelepipedo e da quello delle diagonali delle sue facce, si ottiene
che i coseni dei tre angoli richiesti valgono approssimativamente 0, 70588 ; 0, 4705 ; 0, 529.
I tre angoli valgono allora rispettivamente (e approssimativamente) 45◦ 60 ; 61◦ 560 ; 5820 .
7. Nella geometria non euclidea viene negata la validità del postulato delle parallele, secondo
il quale dati un punto e una retta che non si appartengono, nel loro piano esiste un'unica
retta passante per il punto e parallela alla retta data. Un esempio tipico è dato dalla
geometria della sfera, nella quale i cerchi massimi si interpretano come rette. Non vale il
postulato delle parallele perché non esistono rette parallele.
8. La funzione è denita per ogni x reale non negativo.
Da f 0 (x) = π x ln π − πxπ−1 e f 00 (x) = π x ln2 π − π(π − 1)xπ−2
si deduce f 0 (π) = π π ln π − ππ π−1 = π π (ln π − 1) > 0
f 00 (π) = π π ln2 π − π(π − 1)π π−2 = π π (ln2 π − 1) + π π−1 > 0
9. Calcoliamo la probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e numero di casi
possibili. I casi possibili sono tutti i modi di scegliere 8 studenti tra 20. Il numero
di casi
20
possibili è dunque pari al numero di combinazioni di 20 oggetti di classe 8: 8 .
I casi favorevoli sono dati da tutti i modi di scegliere
8 4 studenti fra le femmine e 4 tra i
12
maschi. Il numero di casi favorevoli è perciò 4 4 . La probabilità richiesta è
12 8
4
4
20
8
=
12·11·10·9·8·7·6·5
4·3·2·1·4·3·2·1
20·19·18·17·16·15·14·13
8·7·6·5·4·3·2·1
=
11 · 7 · 5 · 3
1155
=
≈ 0, 2751
19 · 17 · 13
4199
10. L'equazione della curva simmetrica rispetto all'origine è −y = e2x ovvero y = −e2x .
La curva simmetrica rispetto alla bisettrice è quella della funzione inversa (di quella data):
−2x = ln y ovvero, scambiando il nome delle variabili, y = − ln2x
A cura del Centro PRISTEM dell'Università Bocconi
