algebra - Liceo Pluricomprensivo Renato Cartesio

LICEO CLASSICO SCIENTIFICO STATALE
“RENATO CARTESIO”
Programma di matematica svolto nella classe 1° sez. B
a.s. 2012/2013
prof. SERAFINA PIANESE
ALGEBRA
Teoria degli insiemi
Definizione di insieme e sua rappresentazione. Insiemi uguali, relazione di appartenenza e di
inclusione. Sottoinsiemi . Operazioni tra insiemi: intersezione e unione di insiemi; differenza di
insiemi. Insieme universo e complementare di un insieme rispetto all’insieme universo. Insieme
delle parti di un insieme. Prodotto cartesiano di due insiemi. Rappresentazione delle operazioni tra
insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn.
Relazioni e funzioni
Definizione di relazione tra due insiemi. Rappresentazione di una relazione. Dominio, codominio,
immagine e controimmagine in una relazione; relazione inversa. Proprietà riflessiva, simmetrica,
transitiva, antisimmetrica, antiriflessiva, relazioni di equivalenza, relazioni d'ordine, d'ordine stretto
e d'ordine largo. Funzioni e relative rappresentazioni. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive,
funzione inversa. Funzione proporzionalità diretta, proporzionalità inversa, proporzionalità
quadratica, valore assoluto, funzione lineare e relative rappresentazioni nel piano cartesiano.
I numeri naturali
Definizione delle quattro operazioni tra numeri naturali. Scomposizione di un numero in fattori
primi. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Elevamento a potenza. Proprietà delle
potenze. Espressioni con i numeri naturali e potenze di numeri naturali.
I numeri interi relativi
Definizione di numero intero relativo. Operazioni tra numeri interi relativi: somma algebrica,
moltiplicazione e divisione. Proprietà commutativa ed associativa della somma e della
moltiplicazione nell’insieme dei numeri interi relativi. La regola dei segni. Potenza di un numero
intero relativo. Espressioni con i numeri interi relativi e potenze di numeri interi relativi.
I numeri razionali
Definizione di numero razionale e di frazione. Frazioni proprie, frazioni improprie e apparenti,
frazioni equivalenti. Proprietà invariantiva, riduzione ai minimi termini. Confronto tra frazioni;
rappresentazione di un numero razionale sulla retta orientata. Riduzione di frazioni ad ugual
denominatore. Addizione e sottrazione di frazioni. Moltiplicazione e divisione con frazioni.
Espressioni algebriche con i numeri razionali. Numeri decimali periodici e non periodici; frazioni
generatrici. Potenza di una frazione e relative proprietà; reciproco e antireciproco di un numero
razionale; potenza ad esponente negativo. Espressioni con i numeri razionali con l’applicazione
delle proprietà delle potenze.
Calcolo letterale
MONOMI. Definizione di monomio. Riduzione di un monomio in forma normale. Coefficiente e
parte letterale di un monomio. Grado di un monomio. Monomi simili, monomi uguali ed opposti.
Operazioni tra monomi: somma algebrica, prodotto e divisione. Potenza di un monomio. Massimo
comune divisore e minimo comune multiplo tra monomi. Espressioni con i monomi.
POLINOMI. Definizione di polinomio. Polinomio ridotto in forma normale. Grado di un polinomio
rispetto ad una lettera e rispetto a tutte le lettere. Polinomio omogeneo, ordinato, completo rispetto
ad una lettera. Termine noto di un polinomio. Somma algebrica tra polinomi; moltiplicazione e
divisione di un polinomio per un monomio. Espressioni algebriche con polinomi.
Divisione euclidea tra due polinomi con verifica del risultato. Regola di Ruffini e teorema del resto
nella divisione tra polinomi.
PRODOTTI NOTEVOLI. Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza; sviluppo
del quadrato di un binomio e del quadrato di un trinomio; sviluppo del cubo di un binomio. Cenni
sul triangolo di Tartaglia.
FRAZIONI ALGEBRICHE Scomposizione di un polinomio in fattori con i seguenti metodi:
raccoglimento totale, raccoglimento parziale, differenza di quadrati, differenza o somma di cubi,
quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo di binomio, particolare trinomio di secondo
grado, regola di Ruffini.
Frazioni algebriche. Riduzione di una frazione algebrica ai minimi termini. M.C.D. e m.c.m tra
polinomi. Operazioni tra frazioni algebriche: somma algebrica, moltiplicazione, divisione ed
elevamento a potenza. Espressioni con le frazioni algebriche.
GEOMETRIA
INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA.
Enti primitivi e postulati. Postulati di appartenenza della retta, postulati di appartenenza del piano.
Definizione di retta, semiretta, segmento, piano, semipiano, angolo. Angolo convesso e angolo
concavo, segmenti consecutivi e segmenti adiacenti, angoli consecutivi e angoli adiacenti, angoli
opposti al vertice. Confronto tra segmenti e operazioni tra essi: somma, differenza, multipli e
sottomultipli. Confronto tra angoli. Somma e differenza di angoli. Definizione di punto medio di un
segmento, di bisettrice di un angolo, angoli complementari e angoli supplementari. Il triangolo.
CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Vertici e lati di un triangolo, angoli interni ed angoli esterni. Mediane,bisettrici ed altezze di un
triangolo. I criteri di congruenza dei triangoli con le relative dimostrazioni. Il triangolo isoscele e
sue proprietà; dimostrazione del teorema secondo cui la bisettrice dell’angolo al vertice di un
triangolo isoscele è anche mediana e altezza.
Teorema dell’angolo esterno con relativa dimostrazione. Conseguenze del teorema dell’angolo
esterno.
Problemi con l'applicazione dei criteri di congruenza dei triangoli.
PARALLELISMO TRA RETTE
Rette tagliate da una trasversale. Definizione di angoli alterni interni, alterni esterni, corrispondenti
e coniugati in rette tagliate da una trasversale. Teorema di caratterizzazione del parallelismo tra due
rette tagliate da una trasversale e relativa dimostrazione. Quinto postulato di Euclide. Principali
proprietà delle rette parallele e delle rette perpendicolari. Definizione di semirette parallele e
concordi e semirette parallele e discordi. Distanza di due rette parallele. Secondo teorema
dell’angolo esterno e relativa dimostrazione. Conseguenze del secondo teorema dell'angolo esterno.
Secondo criterio di congruenza generalizzato. Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli.
Problemi sui triangoli, rette parallele e rette perpendicolari.
PARALLELOGRAMMI
Definizione di luogo geometrico. Asse di un segmento e bisettrice di un angolo come luoghi
geometrici. Definizione di parallelogrammo. Proprietà dei parallelogrammi e teoremi che
consentono di stabilire se un quadrilatero è un parallelogrammo. Problemi sui parallelogrammi
Parallelogrammi particolari: definizione di rettangolo, rombo e quadrato. Teorema sulle proprietà
del rettangolo, del rombo e del quadrato. Problemi sui parallelogrammi particolari.
Giugliano, 13 giugno 2013
Gli alunni
Prof. Serafina Pianese
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