Esercizi - mat.uniroma3

IST. MAT. SFP 2015/2016-ESERCIZI
LOGICA
(1) Esprimere la negazione delle seguenti proposizioni:
• Ogni cinese è asiatico
• Esiste un cinese che é biondo
• Nessun europeo è americano
• Tutti i cinesi non sono asiatici
• Nessun cinese non è asiatico
• Ogni vino è bianco o rosso
• Ogni napoletano è allegro e ospitale
• Per ogni numero ne esiste uno minore
• Esiste un numero maggiore di tutti gli altri
• Tutti i numeri interi sono pari
• Almeno tre persone nell’aula sono di Viterbo
(2) Utilizzare i diagrammi di Eulero per verificare se le seguenti inferenze
sono corrette
• Nessun cane vola; Dumbo vola dunque Dumbo non è un cane.
• Ogni ligure è italiano, Ogni italiano è europeo, Marco è ligure
dunque Marco è europeo.
• Ogni ligure è italiano, Ogni italiano è europeo, Esiste un ligure
dunque Esiste un europeo.
• Un numero positivo o negativo ha quadrato positivo, 0 non ha
quadrato positivo, dunque: Vi è un numero nè positivo nè negativo.
• alcuni fiori sono esotici, tutti gli indonesiani sono esotici; dunque
tutti gli indonesiani sono fiori
• Vi è un rettore che è matematico, o fisico, o chimico. Non vi è
alcun rettore che è matematico o fisico. Quindi vi è un rettore
che è chimico.
INSIEMI
(1) Che cosa è una partizione su un insieme X? Produrre degli esempi.
(2) Sia A = {1, 3, 5}; B = {∗, w, mela, casa}, descrivere l’insieme A × B
(3) Costruire un esempio di funzione iniettiva, uno di funzione suriettiva,
uno di funzione nè iniettiva nè suriettiva.
(4) Costruire un esempio di funzione iniettiva ma non suriettiva tra
l’insieme dei numeri dispari e l’insieme dei numeri pari.
(5) Costruire un esempio di funzione suriettiva ma non iniettiva tra
l’insieme dei numeri dispari e l’insieme dei numeri pari.
(6) Costruire un esempio di funzione iniettiva ma non suriettiva tra due
insiemi; modificando il codominio, costruire da questa una seconda
funzione che sia biiettiva.
(7) Scrivere esplicitamente l’insieme delle parti di X = {1, 2, 3}.
1
2
(8) Dato un insieme X di cardinalità finita, definire il suo insieme delle
parti, calcolarne la cardinalità, giustificando il risultato. Esibire un
esempio.
(9) Dato un insieme A di cardinalità finita Card(A) = a, B di cardinalità finita Card(A) = b, calcolare la cardinalità di A × B, giustificare la risposta. Produrre un esempio.
(10) Quando un insieme si dice infinito?
(11) Dimostrare che l’insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali
sono equipotenti.
(12) Dimostrare che l’insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali
sono equipotenti.
(13) Dimostrare che l’insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari
sono equipotenti.
(14) Dimostrare che l’insieme dei numeri interi e quello dei numeri naturali sono equipotenti (suggerimento: contare a zigzag!).
(15) Qual è la cardinalità di N × N? dimostrare la propria affermazione.
RELAZIONI E FUNZIONI
(1) che cosa è il grafico di una funzione?
(2) cosa si intende con relazione (binaria) tra due insiemi? in che cosa
differisce da una funzione tra gli stessi insiemi?
(3) Che cosa è una relazione di equivalenza su un insieme X? Produrre
degli esempi.
(4) Che cosa è una relazione di ordine su un insieme X? Produrre degli
esempi.
(5) disegnare il diagramma relativo all’insieme P (X) delle parti di X =
{1, 2, 3, 4}, rispetto alla relazione di ordine data dall’inclusione.
(6) disegnare il diagramma relativo all’insieme X = {1, 2, ..13}, rispetto
alla relazione di ordine data dalla divibilità:
aRb se b è multiplo intero di a
(notazione: a|b, cioè ”a divide b”).
(7) Verificare che l’ordine alfabetico delle parole è una relazione di ordine, totale o parziale (non totale)?
(8) disegnare il diagramma dell’insieme X dei divisori di 24 secondo
l’ordinamento della divisibilità.
(9) Nei casi che seguono verificare quali delle proprietà riflessive, simmetriche, antisimmetriche, transitive valgono e dedurre se si tratta
di relazioni di equivalenza o di ordine:
• X = N, aRb se e solo se b = a2
• X = N, aRb se e solo se esiste k ∈ N tale che a = b + k 3
• X = N, aRb se e solo se a + b è pari
• X = N, aRb se e solo se a2 ≥ b2
• X = P ({1, 2, 3}), ARB se e solo se A e B sono equipotenti
NUMERI NATURALI
3
(1) Spiegare che cosa significa sistema decimale posizionale di scrittura
dei numeri naturali, e confrontare tale sistema con altri esistenti.
(2) Scrivere 1234 in base 3.
(3) Scrivere il numero 34567 espresso in base 7, come numero in base 10.
(4) Enunciare gli assiomi di Peano.
(5) Dimostrare col principio di induzione che:
• la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è (n − 2)π,
per ogni n > 2;
• in un piano, n rette individuano al piú 2n regioni distinte;
• 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2, per ogni naturale n ≥ 1;
• 1 + 4 + 7 + ... + (3n + 1) = (3n2 + 5n + 2)/2;
• 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2 ; per ogni naturale n ≥ 1;
• 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3 per
ogni naturale n ≥ 1.
• 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6; per ogni naturale
n ≥ 1;
(6) Esporre un enunciato equivalente al principio di induzione.
(7) Illustrare Le proprietà delle operazioni di somma e prodotto sui naturali.
(8) Esistono due modi naturali di confrontare tra loro i numeri naturali,
quali? Illustrarne le caratteristiche.
NUMERI INTERI
(1) Costruire l’insieme dei numeri interi a partire dai numeri naturali.
(2) Secondo quale principio basilare si definisce la operazione di somma
(prodotto) sull’insieme dei numeri interi a partire da quella definita
sui numeri naturali? Cosa significa che la definizione di somma
(prodotto) è ben posta?
(3) Dimostrare che (−1) × (−1) = 1.
(4) Che cosa si intende per divisione euclidea con resto sui numeri naturali? Enunciare e dimostrare il relativo teorema, evidenziando su
quale principio si basa la dimostrazione
(5) Enunciare il teorema della divisione euclidea con resto sui numeri
interi
(6) Calcolare la divisione euclidea di 433389 e 311; 42361 e 334; 45791
e 224; 43261 e 343.
(7) Operare le seguenti divisioni euclidee con resto:
235 : 27;
235 : (−27);
−2463 : 43;
−2543 : (−11)
(8) Dimostrare il teorema di rappresentazione dei numeri interi.
(9) Dimostrare la validità dell’algoritmo euclideo per il calcolo del MCD
di due numeri interi.
(10) Calcolare il MCD delle seguenti coppie di numeri usando l’algoritmo
euclideo:
(345678; 4234); (76542; 3456); (128763; 34599); (141504; 15792);
4
(11) Scrivere i numeri (2748)10 e (324)10 in base 7, calcolarne la somma
e la differenza in base 7.
(12) Scrivere in base 7 i numeri 349; 2184; 276.
(13) Calcolare le seguenti operazioni in base 7: 123+346; 654−223; 12×
35.
(14) Dimostrare la relazione di Bezout per il MCD di due numeri interi.
(15) Fornire al definizione di numero primo, e la sua caratterizzazione
come conseguenza della relazione di Bezout, con dimostrazione
( ”se p divide ab allora divide a oppure b”; infatti, se non divide a,
allora 1 = αa + βp e b = 1 × b = ..).
(16) E’ vero che se a|bc allora a|b oppure a|c? se si, dimostrarlo, altrimenti
esibire un controesempio.
(17) Nei numeri interi, se accade che a|b e b|a cosa si puó concludere su i
numeri a e b?
(18) Dimostrare che i numeri primi sono infiniti.
(19) In che cosa consiste il crivello di Eratostene?
(20) Enunciare (ed illustrare) due teoremi relativi ai numeri primi.
(21) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale dell’aritmetica.
(22) Enunciare due congetture sui numeri primi.
(23) Definire l’insieme delle classi resto modulo 5, con le sue operazioni
di somma e prodotto, (scrivere le tabelle) e annotarne le proprietà
algebriche.
(24) Definire l’insieme delle classi resto modulo 4, con le sue operazioni
di somma e prodotto, e annotarne le proprietà algebriche.
(25) Definire l’insieme delle classi resto modulo 7, con le sue operazioni
di somma e prodotto, e annotarne le proprietà algebriche.
(26) In cosa differiscono l’insieme delle classi resto modulo 5 e quello delle
classi resto modulo 6, considerati con le rispettive operazioni?
(27) Calcolare, se esistono, alcune (o tutte le ) soluzioni intere delle
seguenti equazioni (diofantee):
2x + 3y = 1
21x − 4y = 9
3x + 18y = 7
3x + 18y = 9.
(28)
(29)
(30)
(31)
Dimostrare
Dimostrare
Dimostrare
Dimostrare
il
il
il
il
criterio
criterio
criterio
criterio
di
di
di
di
divisibilità
divisibilità
divisibilità
divisibilità
per
per
per
per
3.
4.
5.
9.
(1) Scegliere la risposta esatta:
• un numero è primo se: a) ogni volta che divide un prodotto
divide uno dei fattori
b) è divisibile per se stesso e per l’unità
5
•
•
•
•
c) ogni volta che divide una somma divide uno dei fattori
d) è diviso da se stesso e dall’unità.
Una equazione diofantea è:
a) una equazione a coefficienti interi
b) una equazione con solo soluzioni intere
c) una equazione lineare
d) una equazione a coefficienti lineari di cui si cercano soluzioni
intere
Una equazione ax + by = c con a, b, c numeri interi ha soluzione
intera
a) sempre
b) mai
c) se c divide a e b
d) se M CD(a, b) divide c
Una relazione di equivalenza sui numeri interi è
a) una congruenza modulo n
b) riflessiva, simmetrica, transitiva
c) un sottoinsieme di Z × Z
d) un sottoinsieme di Z
Una relazione di ordine sui numeri interi è
a) riflessiva, antisimmetrica, transitiva
b) riflessiva, simmetrica, transitiva
c) un sottoinsieme di Z × Z
d) un sottoinsieme di Z
NUMERI RAZIONALI
(1) Mostrare che la relazione tra frazioni equivalenti è una relazione di
equivalenza.
(2) Fornire la costruire l’insieme dei numeri razionali, dando anche la
definizione delle operazioni di somma e prodotto e indicandone le
proprietà algebriche.
(3) Cosa significa che l’insieme dei numeri razionali è denso?
(4) Quale è la cardinalità dell’insieme dei numeri razionali? Giustificare
la risposta
(5) ordinare i seguenti numeri razionali in ordine crescente:
12/3; 45/2; 11/5; 678/432
(6) trasfomare le seguenti frazioni in numeri decimali:
3/4; 45/7; 22/10; 22/11
(7) trasfomare i seguenti numeri decimali in frazioni :
0, 3; 23, 24; 45, 08
(8) In quali casi un numero razionale ha piú di una rappresentazione
decimale?
6
(9) Scrivere il numero razionale 0, 3 in forma ternaria (base 3) con la
virgola.
(10) Come si passa da un numero decimale periodico a un numero frazionario?
giustificare la risposta con riferimento alla opportuna serie numerica.
Fornire anche un esempio.
(11) Come si passa da un numero frazionario a un numero decimale con
la virgola? Fornire un esempio.
(12) in quali casi una frazione, quando trasformata in numero decimale,
ha infinite cifre dopo la virgola (ha cioè una rappresentazione periodica)?
NUMERI REALI
√
Dimostrare che √2 non è razionale.
Dimostrare che 3 non è razionale.
√
Dimostrare che p non è razionale, per p primo.
√
Dimostrare che 3 p non è razionale, per p primo.
Quando un numero si dice algebrico e quando trascendente? Fornire
5 esempi di un tipo e 5 dell’altro.
(6) Che cosa vuol dire che l’insieme dei numeri reali è completo (assioma
di Dedekind )? Dimostrare che card(R) 6= card(N) (sugg: usare il
procedimento diagonale)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
GEOMETRIA EUCLIDEA
(1) Illustrare il significato delle parole ”assioma”, postulato, ”nozione
comune”
(2) Le costruzioni con riga e compasso sono dimostrazioni? commentare
la risposta.
(3) Enunciare i 5 postulati e le nozioni comuni secondo Euclide.
(4) Cosa si intende per geometria assoluta? Come Euclide distingue la
geometria assoluta dalla sua geometria?
(5) Fornire diverse formulazioni equivalenti del V postulato.
(6) La proposizione ”E’ possibile costruire un quadrato su una data linea
retta” ha senso in geometria assoluta? Commentare la risposta.
(7) Qual è il contributo di Hilbert alla geometria Euclidea?
(8) Quali sono i concetti primitivi, le relazioni binarie primitive e i gruppi
di assiomi della geometria di Hilbert?
(9) Quale sono le 3 caratteristiche che deve avere un sistema assiomatico
di una teoria matematica.
(10) Fornire almeno 3 differenze tra la geometria sferica e la geometria
euclidea.
(11) Dimostrare che angoli opposti la vertice in due rette incidenti nel
piano sono uguali, usando la proposizione ”tutti gli angoli piatti
sono uguali”.
(12) Che cosa dice la diseguaglianza triangolare?
(13) Dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è un
angolo piatto.
7
(14) Dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati
è (n − 2)π, senza induzione.
(15) qual è la somma degli angoli interni di un triangolo su un piano o
sulla sfera? Fare un esempio di ”segmento” tra due punti su una
sfera, evidenziando la differenza col caso euclideo.
(16) Dimostrare l’esistenza del triangolo equilatero in geometria euclidea.
(17) Enunciare i 3 criteri di congruenza dei triangoli, e collocare l’esistenza
della bisettrice rispetto ad essi.
(18) Dimostrare che gli angoli alla base di un triagolo isoscele sono uguali.
(19) Dimostrare la formula del quadrato di binomio con metodo geometrico.
(20) Dimostrare il teorema di Pitagora, ed enunciare il teorema di Pitagora
inverso.
(21) Che cosa si intende per algebra geometrica, produrre alcuni esempi
di calcolo algebrico secondo Euclide.
(22) Risolvere geometricamente l’equazione x2 = ab
(23) Calcolare la lunghezza della diagonale del quadrato, dato il lato, e
dell’altezza di un triangolo equilatero, dato il lato.
(24) A partire dalla definizione di area del rettangolo, dimostrare la formula dell’area del triangolo, del parallelogramma, del rombo.
(25) Cosa vuol dire che un sottoinsieme del piano euclideo è convesso? La
definizione si estende in dimensione superiore? Disegnare una figura
piana convessa e una figura non convessa.
(26) Dimostrare la formula di calcolo dell’area di un poligono regolare
di n lati, in particolare illustrando il significato di ”apotema” e di
”numero fisso”.
(27) dato un triangolo, esibire con un disegno e commentare, un insieme
infinito di triangoli ad esso equivalenti
(28) dimostrare che l’equivalenza per aree di figure piane è una relazione
di equivalenza
(29) Sia X l’insieme di tutte le figure piane convesse e senza buchi, sia
R la relazione su X tale che aRb se esolo se a e b hanno lo stesso
perimetro, dimostrare che Rè una relazione di equivalenza
(30) A parità di perimetro e di numero di lati, che forma ha il poligono
di area massima? Illustrare la risposta con esempi grafici.
(31) A parità di perimetro, qual’ è la figura piana di area massima? Giustificare la risposta
(32) dimostrare che la similitudine è una relazione di equivalenza sull’insieme
delle figure piane
(33) Dimostrare il teorema di Talete sulle rette parallele, nella versione
di Euclide, e completare la dimostrazione dell’eunuciato moderno
(34) Dare la definizione di figure piane simili e enunciare e dimostrare i
criteri di similitudine dei triangoli.
(35) Dimostrare il primo e il secondo teorema di Euclide.
8
(36) Mostrare la risoluzione grafica della moltiplicazione di due segmenti
e della divisione di un segmento in parti uguali, applicando Talete.
(37) Descrivere i solidi platonici.
ISOMETRIE
(1) Dare la definizione di trasformazione isometrica del piano, di traslazione,
rotazione, riflessione assiale e centrale, dare un esempio (con un disegno, ed eventualmente dandone le equazioni in coordinate cartesiane).
(2) Fare un esempio di trasformazione del piano che non è una isometria.
(3) Mostrare che, con la composizione di funzioni, l’insieme delle isometrie del piano ha struttura di gruppo
(4) Dimostrare che le traslazioni del piano con l’operazione di composizione costituiscono un gruppo.
(5) Dimostrare che la rotazione del piano per un angolo di π/6 genera
un gruppo, con l’operazione di composizione.
(6) Mostrare come si puó decomporre una traslazione come composizione di simmetrie assiali.
(7) Che cosa è il gruppo di simmetria di una figura piana, quando una
figura piana si dice simmetrica?
(8) descrivere il gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero, di un
triangolo isoscele, di un quadrato.
GEOMETRIA ANALITICA
(1) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, calcolare l’equazione
della retta r per i punti di coordinate P (2, 5), e Q(8, −9), il punto
R(1, −2) appartiene alla retta? Quanto vale il coefficiente angolare
di questa retta?
(2) Scrivere l’equazione parallela alla retta r dell’esercizio precedente e
passante per l’origine.
(3) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, calcolare la distanza
dei punti di coordinate P (2, 5), e Q(8, −9),
(4) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, scrivere l’equazione
del fascio di rette di centro P (4, −5)
(5) Risolvere il sistema lineare in due equazioni e due variabili
7x − 12y = 5
3x + 11y = 4
(6) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, scrivere l’equazione
della circonferenza di centro P (3, 2) e raggio 5. Calcolarne l’area.
(7) Dato un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della traslazione
del piano cartesiano lungo il vettore v(2, −4).
(8) Dato un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della riflessione del piano cartesiano rispetto all’asse x = 0.
(9) Dato un piano cartesiano ortogonale, scrivere le coordinate del punto
P 0 riflesso del punto P (−2, 3) rispetto all’asse x.
9
(10) In un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della trasformazione isometrica del piano data dalla traslazione di un fattore +5
lungo l’asse x.
(11) In un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della trasformazione isometrica del piano data dalla traslazione di un fattore
+5 lungo l’asse x, e −6 lungo l’asse y, calcolare le coordinate del
trasformato del punto P (3, 4).
(12) In un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della omotetia f di rapporto 3, e comporla poi con la traslazione tv definita dal
vettore v = (2, 0). Scrivere anche la composizione tv ◦ f .