CONTENUTO
ENUNCIATI DI ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 1
ENUNCIATI DI ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 1
1.
Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange. Dire se è
applicabile alla funzione
2.
f ( x) = e x ( x − 1 + 1)
nell’intervallo
[0,2] motivando la risposta.
Enunciare il teorema di de l’Hospital. Utilizzandolo calcolare
π
1
lim x arctgx − 2 cos x .
x → +∞
3.
Definizione di integrale generalizzato per una funzione non
1
0
sostituzione).
Data la funzione
2.
Data la funzione
x
[
dx (si
utilizzi il metodo di
3.
f ( x) = ln (2 − x) (1 + x)
2
]calcolare
e
x →0
4.
x
ln 3 x
calcolare
(
f ( x) = e 2 x x 2 − x − 2
) nell’intervallo [-1,2]
motivando la risposta.
Formula di Mac-Laurin e ipotesi di validità. Calcolare
x2
2
lim tg
a) campo di esistenza e comportamento agli estremi,
b) intervalli dove cadono le intersezioni con gli assi,
c) massimi e minimi,
d) disegnare il grafico.
f ( x) =
a) campo di esistenza e comportamento agli estremi,
b) massimi e minimi,
c) punti di flesso,
d) disegnare il grafico
Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle. Dire se è applicabile
alla funzione
1+ x
∫ x+
limitata. Calcolare
4.
1.
2
− cos x
x − tgx 2
utilizzando gli sviluppi di Mac-Laurin.
Definizione di integrale generalizzato per una funzione non
2
limitata. Calcolare
∫
1
x2
4 − x2
dx (si utilizzi il metodo di
sostituzione).
1.
2.
Data la funzione
x2
f ( x) = ln
calcolare
x −1
a) campo di esistenza e comportamento agli estremi,
b) massimi e minimi,
c) eventuali punti di flesso,
d) disegnare il grafico
2.
Enunciare il teorema degli zeri delle funzioni continue.
Applicarlo alla funzione
3.
1.
f (x) = 3 x −1
nell’intervallo [-1,2]
motivando la risposta.
3.
Teorema di De l’Hospital e ipotesi di validità. Calcolare,
e − 1 + log(1 − x)
.
x 2 sen(3x)
x
utilizzandolo,
lim
x→0
Definizione di integrale generalizzato del tipo
Calcolare
1
∫ e +e
x
−x
1
1− x2
calcolare
a) campo di esistenza e comportamento agli estremi,
b) massimi e minimi,
c) eventuali punti di flesso,
d) disegnare il grafico
Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange. Dire se è
applicabile alla funzione f (x) = arcsen(x) nell’intervallo [-1,1]
motivando la risposta.
Formula di Mac-Laurin e ipotesi di validità. Calcolare utilizzando
x2 (x −1) + ex −1
.
lim
x→0 (1− cos x)tan(x)
2
∫
a
∞
f (x) = Arctg
gli sviluppi di Mac-Laurin
∞
4.
Data la funzione
4.
f ( x)dx
Definizione di integrale definito. Calcolare
.
∫
1
utilizzi il metodo per parti).
dx .
0
Prof. Giuseppe Viglialoro
Dipartimento di Matematica e Informatica
E-mail: [email protected]
3
x 2 ln xdx
(si
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ENUNCIATI DI ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 1
1)
Enunciare il teorema di Weierstrass. Verificare che la funzione
f ( x) = 2 − x − x
2
2)
lim
Utilizzandolo calcolare il limite
x + 4 x + x + ln x
x → +∞
3)
3)
2 x 4 + 3x 2 + ln x 2
y = log(1 − x)
Data la funzione
f ( x) =
3
x ∈ 0, .
2
e l’asse delle x con
Definizione di funzione infinitesima e ordine di infinitesimo.
f ( x) = x 2 − 1
per x → 1 .
Definizione di integrale generalizzato per una funzione continua in
un intervallo illimitato [ a, +∞[ . Dire se esiste, ed eventualmente
∞
calcolare, il seguente integrale generalizzato
Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra il grafico
della funzione
4)
3
4
x → x0 .
Calcolare l’ordine di infinitesimo della funzione
Determinare i massimo e minimo assoluti di f(x)in [-2, 3].
Definizione di funzione infinita e confronto tra infiniti.
2
Enunciare e dimostrare il teorema di unicità del limite finito di una
funzione f(x) per
soddisfa le ipotesi del teorema in
[a, b] ⊂ R .
2)
1)
∫ (x
2
2
4)
Data la funzione
a)
b)
c)
d)
x
calcolare
x −1
3
3 −x
f ( x) = x e
x
dx .
+ 1)3
calcolare
campo di esistenza e comportamento agli estremi,
punti di discontinuità (classificarli),
massimi e minimi,
disegnare il grafico.
a) campo di esistenza e comportamento agli estremi,
b) massimi e minimi,
c) eventuali punti di flesso,
d) disegnare il grafico.
1)
Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat. Data la
1)
f ( x) = x − 1 , che ha un minimo assoluto in x=1, dire se soddisfa il
2)
x → +0
3)
x − arctg 2 x
2)
ln(1 − 3x) + x sin x
e dalle rette verticali
a)
b)
c)
d)
f ( x) = e x
2
−1
x →0
x = −1 e x = 2 .
3)
x
Data la funzione
e classificarli.
lim ln(1 + sin x) + cos 2 x − 1
Calcolare l'area della regione piana delimitata dalla funzione
x2
2
F ( x) = ∫
Utilizzando i limiti notevoli calcolare il seguente limite
2
f ( x) = xe
4)
integrale
x(e 3 x − 1)
−
t −1
dt
2
+
1
t
0
x
teorema in [0,2] motivando la risposta.
Illustrare la formula di Mac-Laurin. Utilizzandola calcolare il limite
lim
Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo
integrale. Utilizzandolo determinare i punti critici della funzione
calcolare
Data la funzione
f ( x) =
1+ x
calcolare
1− | x |
a) campo di esistenza e comportamento agli estremi,
b) massimi e minimi,
c) punti di discontinuità e di non derivabilità,
d) disegnare il grafico
campo di esistenza e comportamento agli estremi,
punti di discontinuità (classificarli),
massimi e minimi,
disegnare il grafico.
4 x3 + 5
∫0 2 x + 3 dx
1
4)
Calcolare l’ integrale
Prof. Giuseppe Viglialoro
Dipartimento di Matematica e Informatica
E-mail: [email protected]
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ENUNCIATI DI ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 1
1)
Significato geometrico dell’integrale definito. Calcolare l’area della
regione piana compresa tra la funzione h(x)=
1− x
x2
1.
Data la funzione
e l'asse delle x
a)
1 3
x∈ , .
2 2
2
Data la funzione f ( x ) = log(9 − x )
b)
c)
d)
con
2)
a)
b)
c)
d)
determinare
il campo di esistenza e comportamento agli estremi,
crescenza e decrescenza e calcolare i punti critici,
dire se è applicabile il Teorema di Rolle in [-1,1],
tracciare il grafico.
x
lim sin1cos
xtgx
Calcolare il limite
4)
Definizione di funzione derivabile in un punto e suo significato
geometrico. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di
equazione
1.
g ( x) =
1
cos 2x
.
Definizione di funzione derivabile in un punto e suo
significato geometrico. Calcolare l’equazione della retta tangente
f ( x )=sin ( x 2 π 2 ) in x=π .
Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange.
Successivamente, dire se è applicabile alla funzione
y = x − 1 nell'intervallo [1,5] , e calcolare il valore del punto
4.
π
corrispondente alla tesi del teorema.
Utilizzando il metodo di integrazione per parti, calcolare
∫ (2 x + 1)e
in x= 3
x +1
dx .
Calcolare l'area della regione di piano compresa tra le parabole
di equazione
2.
y = ( x − 1)
2
e
y = 2x − x
2
.
3.
Data la funzione
a)
b)
c)
d)
4.
f ( x) =
x2
ln( x)
2.
a.
campo di esistenza e comportamento agli estremi,
b.
massimi e minimi,
c.
eventuali punti di flesso,
d.
disegnare il grafico
Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra il grafico
.
, calcolare
della funzione
campo di esistenza e comportamento agli estremi,
studiare la continuità e derivabilità,
crescenza e decrescenza,
disegnare il grafico.
e− x
calcolare
x −1
Data la funzione
+∞
Utilizzandolo studiare il carattere della serie
f ( x) =
1.
Enunciare il criterio della radice per le serie numeriche.
x2n
∑ n
n =1 3
1
ln ( x1 )
calcolare il campo di esistenza e il comportamento
della funzione ai suoi estremi.
crescenza e decrescenza,
concavità e convessità,
tracciare il grafico.
al grafico di
3.
3)
x →0+
2.
f ( x )=
y = ln(1 − x)
e l’asse delle x con
1
x ∈ −2, .
2
3.
Definizione di serie numerica convergente. Enunciare e
dimostrare il criterio del confronto per la convergenza di una serie
numerica. Utilizzandolo dimostrare la convergenza della serie
+∞
Enunciare la formula di Mac Laurin e scriverla per la funzione
ln(n)
.
3
+1
∑n
f ( x) = x + 1 fino al terzo ordine.
n =1
4.
Scrivere, illustrando tutti i passaggi, il polinomio di Mac-Laurin di
grado 3 che approssima la funzione
Prof. Giuseppe Viglialoro
Dipartimento di Matematica e Informatica
E-mail: [email protected]
f ( x) = 2 x + 1 .
