METODI DI RISOLUZIONE

METODI DI RISOLUZIONE
Per risolvere le reti elettriche, o, meglio, per calcolare i valori delle correnti e
delle tensioni presenti in una rete, si dispone di vari teoremi, ciascuno dei
quali è particolarmente adatto per alcune delle varie configurazioni circuitali.
°PRINCIPIO DI KIRCHHOFF
In una rete elettrica, la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è
uguale a zero:
=0
Alle correnti entranti viene attribuito un verso positivo arbitrario, mentre a
quelle uscenti, un verso negativo, sempre arbitrario.
Prendendo come esempio questa rete elettrica:
Applicando il  principio di Kirchhoff al nodo A si avrà
1 - 2 - 3 =0
quindi
1 = 2 + 3
Da qui possiamo dedurre che in un nodo, la somma delle correnti entranti è
uguale alla somma delle correnti uscenti.
II° PRINCIPIO DI KIRCHHOFF
In una maglia, la somma algebrica () di tutte le tensioni presenti è uguale a
zero.
 E1 +  R11 +  VI =0
Nell’espressione:
 E1 rappresenta la tensione dei generatori di tensione;
 R11 rappresenta la tensione ai capi delle resistenze;
 VI rappresenta la tensione ai capi del generatore di corrente.
Visto che è una somma algebrica, bisogna attribuire un segno positivo o
negativo ad ogni termine.
Si procede nel seguente modo:
1)si stabilisce un verso arbitrario di percorrenza della maglia;
2)si stabilisce il segno algebrico di ogni tensione inserita nella sommatoria,
(esso sarà positivo se la tensione è concorde con il verso di percorrenza
stabilito e negativo se è discorde).
Avendo come esempio questa rete elettrica:
Volendo applicare il secondo principio di Kirchhoff e scegliendo come verso
di percorrenza della maglia quello orario si avrà:
R11 - R22 - E3 + VI4 =0
Come applicare Kirchoff – METODO DI KIRCHHOFF
Il metodo di Kirchhoff basato su due principi: impostare e risolvere un sistema
di equazioni nel quale sono incognite le correnti nei vari rami.
Nell’applicazione del metodo si procede nel seguente modo:
1)si distribuisce in modo arbitrario il verso alle varie correnti in ogni ramo.
2)si determina il numero N di nodo presenti nel circuito e quindi si impostano
N-1 equazioni ai nodi (eliminando un nodo qualsiasi) tenendo conto dei versi
attribuiti alle correnti (per fare ciò viene utilizzato il primo principio di
kirchhoff).
3)si determina il numero L di correnti incognite del sistema e, mediante il
secondo principio di Kirchhoff, si impostano L-(N-1)equazioni delle tensioni
alle maglie.
si consiglia di non utilizzare maglie aventi un ramo con un generatore di
corrente perché si introdurrebbe un’altra incognita: la tensione ai capi del
generatore.
In questo modo è possibile calcolare tutte le correnti incognite. Le correnti
che risulteranno negative scorrono in senso opposto a quello previsto
METODO DI MAXWELL
Se il numero di incognite diventa elevato, la soluzione del sistema diventa
notevolmente complicata; per questo motivo si sono introdotti altri metodi
molto simili ma aventi un numero ridotto di equazioni e di incognite. Il metodo
di Maxwell o delle correnti cicliche, utilizza solo le equazioni alle maglie, un
sistema formato cioè solo da L-(N-1) equazioni alle maglie con incognite
fittizie in base alla quale si ricavano più semplicemente tutte le correnti reali.
L rappresenta il numero delle incognite, ed N il numero dei nodi.
Si procede nel seguente modo:
1)si assegna ad ogni maglia una corrente ciclica fittizia di maglia. Si avranno
così tante correnti fittizie incognite quante sono le maglie indipendenti.
2)si scrivono le equazioni alle maglie (utilizzando il secondo principio di
Kirchhoff) in funzione delle suddette correnti fittizie; risolvendo il sistema si
ricavano le correnti fittizie incognite. Dove vi è un generatore di corrente, è
opportuno non scrivere un’equazione alla maglia, poiché la corrente di queste
maglie risulterebbe essere quella del generatore stesso, ma anche perché vi
sarebbe un’ulteriore incognita: la tensione ai capi del generatore.
3)infine si calcola la corrente reale in ogni ramo(mediante il primo principio di
Kirchhoff) come somma algebrica delle correnti fittizie su quel ramo.
Si consiglia di attribuire lo stesso verso a tutte le correnti fittizie e di
considerare maglie adiacenti.
Si considera, ad esempio, il seguente circuito:
Chiamiamo le correnti fittizie A e B e gli attribuiamo un verso arbitrario orario,
avremo:
{ -V + R3 (A - B )- R* =0
{ R5 B - R3 (A - B )=0
Risolvendo il sistema otterremo 2 soluzioni( i valori di A e di B). Per ottenere
le singoli correnti occorre valutare attentamente il circuito; in tale modo si
avrà:
I1 =-A
3 =A - B
5 = B
METODO DEL POTENZIALE AI NODI
Il metodo del potenziale ai nodi è basato sui principi di Kirchhoff, utilizzando
N-1 equazioni ai nodi.
In questo caso le incognite sono le tensioni ai nodi, rispetto ad un qualsiasi
nodo preso come punto di riferimento.
Si procede nel seguente modo:
1. Si sceglie un nodo di riferimento e si attribuisce il valore incognito fra
ciascun nodo ed il riferimento;
2. Si sceglie in modo arbitrario il verso delle correnti in ogni ramo;
3. Si esprimono le correnti nei vari rami, in funzione delle tensioni incognite ai
capi del ramo, mediante la legge di Ohm generalizzata;
4. Si imposta un sistema di N-1 equazioni ai nodi, utilizzando le espressioni
di corrente precedentemente ricavate;
5. Risolvendo il sistema si ricavano le singole tensioni ai nodi;
6. Si sostituiscono le tensioni nelle equazioni del punto 3 ricavando le
correnti.
TEOREMA DI THEVENIN
Un circuito qualsiasi, visto da due punti A e B, equivale ad un generatore di
tensione reale avente morsetti in A e B tensione Eth e resistenza interna Rth
posta in serie al generatore.
Il teorema di Thevenin è applicabile su di un circuito lineare complesso. Ci
permette di sostituirlo con un circuito equivalente ad esso, formato da un
generatore equivalente ed una resistenza equivalente in serie ad esso.
Per il calcolo della Rth , si cortocircuitano i generatori di tensione e si aprono
quelli di corrente. Occorre quindi ricavare il valore di VAB, che corrisponde a
quello del generatore equivalente.
Si considera un
circuito relativamente
complesso, collegato
ai due punti A e B
Il circuito equivalente sarà:
TEOREMA DI NORTON
Il teorema di Norton è molto simile a quello di Thevenin. Esso viene
enunciato nel seguente modo:
- un circuito, visto da due punti A e B, equivale ad un generatore di corrente
avente i morsetti in A e B ed una resistenza posta in parallelo al
generatore.
Per il calcolo del generatore di corrente equivalente Ieq, occorre porre in corto
circuito i punti A e B con un conduttore esterno. La corrente I eq coincide con
la corrente che transita in tale conduttore.
Per il calcolo della Req si procede come per il teorema di Thevenin.
METODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
Se si ha un circuito composto da più generatori, la corrente in un ramo o la
tensione tra due punti, può essere calcolata sommando algebricamente le
correnti o le tensioni, per effetto di ogni generatore considerato
separatamente.
Si procede nel seguente modo:
1. Si scompone il circuito in tanti circuiti, aventi ciascuno un solo generatore
(si cortocircuitano i generatori di tensione e si aprono quelli di corrente).
Ogni circuito risulta quindi alimentato da un solo generatore.
2. Si collocano le correnti nei rami di ciascun circuito così ottenuto.
3. Si ricavano le correnti effettive nei rami del circuito, sommando
algebricamente le correnti parziali in ogni ramo di ciascun circuito
componente.
La sovrapposizione si usa, in genere, quando si hanno più generatori su più
rami.
TEOREMA DI MILLMAN
Il teorema di Millman è utilizzato nel caso in cui si ha un circuito con due soli
nodi: si può calcolare rapidamente la tensione fra questi due punti.
E’ necessario dividere la somma algebrica delle correnti nei singoli rami per
la somma dell’inverso delle resistenze (somma aritmetica delle conduttanze).
Per quanto riguarda la somma delle correnti, si considerano i versi positivo o
negativo secondo la disposizione dei generatori.
Esempio- Si fa riferimento al circuito della pagina seguente.
VAB= [(V1/R1)-I2+(V3/R3)] /[(1/R1)+(1/R2)]