ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 – SETTIMANA 11

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 – SETTIMANA 11– SOLUZIONI
(1) (a) Determinate il polinomio di Taylor di ordine 9 centrato nel punto x0 = 0 (o polinomio
di MacLaurin) della funzione f (x) := sin(x + x2 + x3 ) (evitate, se vi è possibile, di
calcolare 9 derivate).
(b) Determinate
√ il polinomio di Taylor di ordine 3 centrato nel punto x0 = 0 della funzione
f (x) := 1 + sin x.
(c) Determinate il polinomio di Taylor di ordine 5 centrato nel punto x0 = 0 della funzione
g(x) := x2 log(1 + sin x).
(2) Verificate che la funzione
f (x) :=
(
12
e− x
0
x 6= 0
x=0
è derivabile infinite volte nel punto x0 = 0. Scrivetene il polinomio di Mac Laurin.
(3) Sapendo che per (per x > −1) la derivata di log(1 + x) è
sviluppi di Mac Laurin
N
N
X
1
xN +1 X k
=
=
xk +
x + o(xN ),
1−x
1−x
k=0
1
e che valgono i seguenti
1+x
k=0
x 6= 1
N
N
X
(−1)N +1 xN +1 X
1
(−1)k xk +
(−1)k xk + o(xN ),
=
=
1+x
1−x
k=0
k=0
x 6= 1,
verificate che per x > −1 lo sviluppo di Mac Laurin di log(1 + x) si può ricavare (ignorando
gli o-piccoli) determinando il polinomio che vale 0 per x = 0 e la cui derivata è il polinomio
1
di Mac Laurin di
.
1+x
Analogamente a quanto fatto sopra, ricavate lo sviluppo di Mac Laurin di arctan x senza
calcolare le derivate successive, ma basandosi solo sulla sua derivata prima.
(4) Scrivete i primi termini del polinomio di Taylor con centro in x0 = 0 delle seguenti funzioni:
(a) f (x) := log(1 + sinh(x)) − x;
(b) f (x) := sin(x2 ) − tan(x2 );
(c) f (x) := sinh(x) − x cosh(x);
(d) f (x) := sin(log(x + 1)) + x log(sin(x)) − x log(x) − x
(e) f (x) := 2 arctan(sin(x)) − sin(2x);
Scrivete esplicitamente nei vari casi la forma del resto secondo Peano.
(5) Calcolate, quando esistono, i seguenti limiti:
log2 (1 + sin x
(a) lim
;
lim
x→0
x→0
√ x tan x
1 − cos x − 3 sin x
;
(b) lim
+
x
x→0
√
x − sin2 x − sin2 x
;
(c) lim
x→0
x2
sin x
x
1/x2
√
;
1 − cos x − 3 sin x
;
x
((1 − x)−1 + ex )2 − 4e2x − 2x2
lim
;
x→0
x3
lim
x→0−
1
(6) (pag 299 Es 18 ) Se dovete calcolare sin 1 oppure cos 1 con h cifre decimali esatte usando la
formula di Mac Laurin per sin x oppure per cos x, quanti termini dovete considerare?
(7) (pag 299 Es 17 ) Calcolate π con 5 cifre decimali esatte utilizzando la formula di Mac Laurin
per arctan x e la seguente identità (di Gauss)
1
1
1
π = 48 arctan
+ 32 arctan
− 20 arctan
.
18
57
239
(8) Provate a calcolare log 48 alla seconda cifra decimale (... solo con carta e penna).
(9) (Difficile? ) Calcolate
lim sin(2πn!e)
n→+∞
(10) Per ciascuna delle seguenti funzioni trovate, se esistono, i punti e i valori di massimo o
minimo assoluto e relativo.
 2x−x2
x < − 21
 2x2 +1
1
4
f (x) :=
−2 ≤ x < 0
−x − 3

3
2
−x + 2x − x + 1
x≥0
2 3
2
0≤x≤3
3 x − 3x + 4x
g(x) :=
3e3−x
3 < x.
(11) Sia f : [a, b] → R una funzione Riemann integrabile. Se g : [a, b] → R coincide con f tranne
che, al più, in un numero finito di punti dimostrate che anche g è Riemann integrabile e che
Z b
Z b
g(x)dx.
f (x)dx =
a
a
(1)
(2)
(3)
Soluzione Supponiamo per ora che g sia diversa da f nel solo punto ȳ ∈ [a, b].
La funzione g è limitata, poichè f lo è per ipotesi. Sia M > 0 tale che per tutti gli x ∈ [a, b]
−M ≤ g(x) ≤ M
e
− M ≤ f (x) ≤ M.
Per dimostrare che g è Riemann integrabile basta dimostrare (vedi Cap 8, par 1.2, Teorema
1.3 ) che per ogni ε > 0 esiste una partizione Dε dell’intervalle [a, b] tale che
S(Dε , g) − s(Dε , g) < ε.
Sia dato ε > 0 e cerchiamo una partizione Dε per la quale (2) valga. Poiché f è Riemann
integrabile esiste una partizione D̃ε = {x0 = a < x1 < · · · < xN = b} per la quale
ε
S(D̃ε , f ) − s(D̃ε , f ) < .
2
Supponiamo che xi−1 ≤ ȳ < xi e sia δ > 0 sufficientemente piccolo in modo che ȳ <
ȳ + δ < xi . Aggiungiamo a D̃ε i due nuovi punti ȳ e ȳ + δ (se ȳ era già un elemento di D̃ε
aggiungiamo solo ȳ + δ)
Dε := D̃ε + {ȳ, ȳ + δ} = {x0 < x1 < · · · < ȳ < ȳ + δ < xi < · · · < xN }.
(4)
Le somme superiori ed inferiori di f e g relative alla partizione Dε differiscono unicamente
per l’addendo associato all’intervallo [ȳ, ȳ + δ). Quindi ricordando (1)
! sup f (x) − sup g(x) δ ≤ 2M δ;
|S(Dε , f ) − S(Dε , g)| ≤ x∈[ȳ,ȳ+δ)
x∈[ȳ,ȳ+δ)
|s(Dε , f ) − s(Dε , g)| ≤ inf f (x) − inf g(x) δ ≤ 2M δ.
x∈[ȳ,ȳ+δ)
2
x∈[ȳ,ȳ+δ)
(5)
Ricordiamo anche (vedi Cap 8, par 1.1, Lemma 1.1 ) che, poiché Dε è più fine di D̃ε vale
S(D̃ε , f ) ≥ S(Dε , f ),
Allora
s(Dε , f ) ≥ s(D̃ε , f ).
S(Dε , g) − s(Dε , g)
≤ S(Dε , f ) − s(Dε , f ) + 4M δ
(usando (4))
≤ S(D̃ε , f ) − s(D̃ε , f ) + 4M δ
ε
≤ + 4M δ
(usando (3))
2
<ε
scegliendo δ < ε/8M .
(usando (5))
Con questo abbiamo dimostrato (2) e quindi g è Riemann integrabile. Inoltre le disuguaglianze in (4) mostrano che la differenza fra le somme superiori e inferiori di f e di g può
essere resa arbitrariamente piccola e quindi si ha
Z b
Z b
g(x)dx.
f (x)dx =
a
a
Infine l’ipotesi che f e g differiscano in un solo punto può essere rimossa per esempio iterando
la procedura precedente e cambiando di volta in volta in un punto solo.
(12) Sia f : [a, b] → R una funzione continua e tale che f (x) ≥ 0 in [a, b]. Dimostrate che se
Rb
a f (x)dx = 0 allora f (x) = 0 per ogni x ∈ [a, b]. Ricordando il problema precedente,
osservate che se f non fosse continua l’enunciato sarebbe falso.
Soluzione: Dimostriamolo per assurdo, cioè proviamo che se esiste (anche un singolo
Rb
punto) x0 ∈ [a, b] tale che f (x0 ) > 0 allora a f (x)dx > 0.
Per il teorema di permanenza del segno per funzioni continue (Cap 5, par 1.3, Teor. 1.3 )
se f (x0 ) > 0 allora esiste δ > 0 tale che f (x) > f (x0 )/2 per tutti gli x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
Allora (Cap 8, par 1.4, Teor 1.8 )
Z b
Z x0 +δ
Z x0 −δ
Z b
f (x)dx
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx =
>
Z
x0 +δ
x0 −δ
a
a
x0 −δ
f (x)dx + 2δ f (x0 )/2 +
a
≥ δ f (x0 )
> 0.
Z
b
f (x)dx
x0 +δ
(perché i due integrali sono non negativi)
(13) Usando
elementari Zcalcolate le seguenti primitive:
Z la tabella delle primitive
Z
2
√
3 − 4x
x
3
√
dx;
dx;
(a)
2x + 1 dx;
5
3
1 Z+ x2
Z
Z 3+x
1 − sin x
2
1
√
(b)
dx;
xe−x dx;
dx;
x
+
cos
x
x
1
−
log
x
Z
Z
Z
√
1
2x
3
(c)
cos x sin x dx;
dx;
dx.
3x2 + 2
cos2 (2x + 3)
3