Trattazione rigorosa della caduta in presenza di attrito viscos

Trattazione rigorosa della caduta in presenza di attrito viscoso
In assenza di attrito viscoso un corpo attratto dalla sola forza di gravità cade
aumentando costantemente la propria velocità.
L’effetto della viscosità dell’aria può essere trascurato nel caso che il processo di
caduta interessi uno spazio di poche decine di metri per cui il corpo non acquista una
velocità tale da rendere rilevante il fenomeno: infatti la forza di attrito viscoso si
oppone al moto e dipende dalla velocità; nel caso che tratteremo, il solo regime
laminare, la dipendenza è legata alla prima potenza di questa. Questo fatto produce un
moto di caduta che si sviluppa con una forza netta sempre minore e quindi una
accelerazione risultante che anch’essa tende a ridursi a zero. Quando la somma della
forza d’attrito viscoso con la spinta di Archimede uguaglieranno la forza peso, il corpo
non sarà più soggetto a forza risultanti nette e proseguirà il proprio moto a velocità
costante, detta velocità di regime o velocità limite.
Nel caso di una sferetta di raggio r in caduta libera in aria si può scrivere:
Forza Peso – Spinta di Archimede – Forza di attrito viscoso = massa x accelerazione
ovvero, in simboli:
 

P  S Archimede  Fattrito _ vis cos o  ma
Si ha poi:
4 3
r  sferettag
3
4
S Archimede  r 3  aria g
3
P
Forza di attrito viscoso
Spinta di Archimede
Fattrito _ vis cos o  6rv
dove si è indicato con
Peso
 : la densità dell’aria o del corpo
 : la viscosità dell’aria
g : l’accelerazione di gravità
v : la velocità del corpo
Sostituendo queste espressioni nella relazione dinamica del moto ed operando alcune
ovvie semplificazioni, si ottiene:
2  sferetta r 2 g  2  aria r 2 g  9v (t )  2  sferetta r 2 a (t )
dove è stato reso esplicito il fatto che la velocità e l’accelerazione sono funzioni del
tempo. Ricordando che l’accelerazione istantanea di un corpo rappresenta la derivata
rispetto al tempo della velocità si riscrive l’espressione precedente come:
2  sferetta r 2 g  2  aria r 2 g  9v (t )  2  sferetta r 2 v(t )
Questa espressione è una equazione differenziale del primo ordine a coefficienti
costanti la cui soluzione esatta, riferendoci alla vasta letteratura in materia, è data
dall’espressione
v(t )  vlim ite (1  e t /  )
dove
v limite 
2 r 2 g (  corpo   aria )
9
e

2 r 2  corpo
9