Trattazione rigorosa della caduta in presenza di attrito viscoso In assenza di attrito viscoso un corpo attratto dalla sola forza di gravità cade aumentando costantemente la propria velocità. L’effetto della viscosità dell’aria può essere trascurato nel caso che il processo di caduta interessi uno spazio di poche decine di metri per cui il corpo non acquista una velocità tale da rendere rilevante il fenomeno: infatti la forza di attrito viscoso si oppone al moto e dipende dalla velocità; nel caso che tratteremo, il solo regime laminare, la dipendenza è legata alla prima potenza di questa. Questo fatto produce un moto di caduta che si sviluppa con una forza netta sempre minore e quindi una accelerazione risultante che anch’essa tende a ridursi a zero. Quando la somma della forza d’attrito viscoso con la spinta di Archimede uguaglieranno la forza peso, il corpo non sarà più soggetto a forza risultanti nette e proseguirà il proprio moto a velocità costante, detta velocità di regime o velocità limite. Nel caso di una sferetta di raggio r in caduta libera in aria si può scrivere: Forza Peso – Spinta di Archimede – Forza di attrito viscoso = massa x accelerazione ovvero, in simboli: P S Archimede Fattrito _ vis cos o ma Si ha poi: 4 3 r sferettag 3 4 S Archimede r 3 aria g 3 P Forza di attrito viscoso Spinta di Archimede Fattrito _ vis cos o 6rv dove si è indicato con Peso : la densità dell’aria o del corpo : la viscosità dell’aria g : l’accelerazione di gravità v : la velocità del corpo Sostituendo queste espressioni nella relazione dinamica del moto ed operando alcune ovvie semplificazioni, si ottiene: 2 sferetta r 2 g 2 aria r 2 g 9v (t ) 2 sferetta r 2 a (t ) dove è stato reso esplicito il fatto che la velocità e l’accelerazione sono funzioni del tempo. Ricordando che l’accelerazione istantanea di un corpo rappresenta la derivata rispetto al tempo della velocità si riscrive l’espressione precedente come: 2 sferetta r 2 g 2 aria r 2 g 9v (t ) 2 sferetta r 2 v(t ) Questa espressione è una equazione differenziale del primo ordine a coefficienti costanti la cui soluzione esatta, riferendoci alla vasta letteratura in materia, è data dall’espressione v(t ) vlim ite (1 e t / ) dove v limite 2 r 2 g ( corpo aria ) 9 e 2 r 2 corpo 9