Serie di potenze

Serie di potenze
(1) Calcolare il raggio di convergenza
(a)
(d)
(f )
∞
X
zn
con α > 0
(n!)α
n=0
∞
X
n=0
∞
X
√
− n n
e
z
(i)
(c)
∞
X
(2n)! n
z
(n!)2
n=0
α
n! e−n z n con α > 1
n=0
z n!
∞
X
(g)
n=0
∞
X
∞
X
(e)
∞
X
nn n
z
n!
n=0
(b)
2
cn z n con c ∈ C
(h)
n=0
(1 + i)3n z 2n
(log n)2 z n
n=1
(j)
n=0
∞
X
∞
X
2n z n
2
∞
X
en
(k)
zn
3
(n!)
n=0
2
n=0
Risp: (a) ∞. (b) 1/e. (c) 1/4. (d) 1. (e) ∞. (f) 1. (j) 1 [08-09/E1]. (k) 0.
(2) Dimostrare che le due serie di potenze
∞
X
an z n
n=0
∞
X
nc an z n con c ∈ R
n=0
hanno lo stesso raggio di convergenza. [Sugg: usare le proprietà del lim sup].
P∞
P∞
(3) Dimostrare che se n=0 |an | < ∞ allora la serie di potenze n=0 an z n converge uniformemente in
|z| ≤ 1. [Sugg: usare il test di Weierstrass per la convergenza uniforme].
P∞
(4) Se n=0 an z n ha raggio di convergenza R, qual è il raggio di convergenza di
(a)
∞
X
an z 2n
(b)
a2n z n
?
n=0
n=0
07-08/S2
∞
X
(5) Per quali valori di z la seguente serie è convergente?
∞
X
enz
n=0
I
(6) Determinare i valori di z per i quali le seguenti serie sono convergenti
(a)
H
n
∞ X
z
1+z
n=0
(b)
∞
X
zn
1 + z 2n
n=0
(7) Dimostrare che se 0 < δ < 1 e (an ) è una
P∞successione decrescente di numeri reali positivi tali che
limn→∞ an = 0 allora la serie di potenze n=0 an z n converge uniformemente in
F := {z ∈ C : |z| ≤ 1, |z − 1| ≥ δ} .
Pn
Pn
Suggerimento: sia fn (z) := k=0 ak z k e sia wn := k=0 zk . Usando la formula della “sommatoria
per parti” si può scrivere
n
X
fn (z) = an wn +
(ak−1 − ak ) wk .
k=1
Poichè an → 0 posso trovare N tale che per ogni n ≥ N si ha 0 < an < ε. A questo punto si
può dimostrare che fn è uniformemente di Cauchy e quindi uniformemente convergente in F . Più
precisamente si può far vedere che, se n, m ≥ N si ha |fn (z) − fm (z)| < 4ε/δ per ogni z ∈ F .