2.9 Moltiplicazione di serie

2.9
Moltiplicazione di serie
A prima vista il problema di moltiplicare fra loro due serie sembra irrilevante.
Fare il prodotto di due serie significa moltiplicare tra loro le successioni delle
rispettive somme parziali; se queste convergono a S1 e S2 , il loro prodotto
convergerà a S1 · S2 . Dov’è il problema?
Il punto è che noi vogliamo ottenere, come risultato del prodotto di due serie,
una nuova serie. Il motivo di questo desiderio è legato alla teoria delle serie
di potenze: due serie di potenze hanno per somma una funzione definita
sul cerchio di convergenza di ciascuna serie; il prodotto di tali funzioni è
una nuova funzione, definita sul più piccolo dei due cerchi di convergenza, e
della quale si vorrebbe conoscere uno sviluppo in serie di potenze che ad essa
converga. Dunque si vuole trovare una serie di potenze che sia il prodotto
delle due serie di potenze date, ed abbia
delle somme.
PilMprodotto
PNper somma
n
n
Scrivendo il prodotto di due polinomi n=0 an z e n=0 bn z (con N ≤ M ) è
naturale raggruppare i termini con la stessa potenza z n : quindi si metteranno
insieme i prodotti a0 bn , a1 bn−1 , . . . , an−1 b1 , an b0 . Il polinomio prodotto sarà
quindi (ponendo an = 0 per n = N + 1, . . . , M )
!
N
n
X
X
ak bn−k z n .
n=0
k=0
Passando dai polinomi alle serie di potenze o, più in generale, parlando di
serie numeriche, siamo indotti alla seguente
P∞
P
Definizione
2.9.1 Date due serie ∞
n=0 bn reali o complesse, la
n=0 an e
P∞
serie n=0 cn , ove
n
X
cn =
ak bn−k
∀n ∈ N,
k=0
si dice prodotto di Cauchy delle due serie.
P∞
P∞
Si potrebbe sperare di dimostrare
che
se
a
e
n
n=0
n=0 bn sono convergenti,
P∞
allora la serie prodotto n=0 cn è convergente, magari con somma uguale al
prodotto delle somme. Ma non è cosı̀, come mostra il seguente esempio: se
(−1)n
an = b n = √
n+1
182
∀n ∈ N,
allora
cn = −
n
X
k=0
1
√
√
k+1 n−k+1
∀n ∈ N,
e quindi
|cn | ≥
n
X
√
k=0
n+1
1
√
=
=1
n+1
n+1 n+1
per cui cn non è infinitesima e
risultato:
P
∀n ∈ N,
cn non può convergere. Si ha però questo
P
P
e ∞
Teorema 2.9.2 (di Cauchy) Se le serie ∞
n=0 bn sono assolutan=0 an P
mente convergenti, allora il loro prodotto di Cauchy ∞
n=0 cn è assolutamente
convergente; inoltre
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
bn .
cn =
an ·
n=0
Dimostrazione Si consideri la serie
illustrata dallo schema che segue:
7→
n=0
n=0
P∞
n=0
dn , la cui legge di formazione è
······
a0 b 0
↓
a0 b 1
−→
a1 b 0
↑
a1 b 1
→
a0 b 2
−→
a1 b 2
−→
a2 b 0
↑
a2 b 1
↑
a2 b 2
→
···
→
···
···
a0 b n
···
···
−→
···
···
a1 b n
···
···
−→
···
···
a2 b n
···
···
−→
······
······
−→
an b 0
↑
an b 1
↑
an b 2
↑
···
↑
an b n
→
···
···
···
···
···
···
······
···
······
······
···
···
···
···
···
···
···
Si ha dunque
∞
X
dn = a0 b0 + a0 b1 + a1 b1 + a1 b0 + a0 b2 + a1 b2 + a2 b2 + a2 b1 + a2 b0 +
n=0
+ . . . + a0 bn + a1 bn + . . . + an bn + an bn−1 + . . . + an b1 + an b0 + . . .
183
e tale serie converge assolutamente, in quanto per ogni n ≥ 2 si ha
! n−1
!
!
!
2 −1
n
nX
n−1
∞
∞
X
X
X
X
X
|dk | ≤
|dk | =
|ak | ·
|bk | ≤
|ak | ·
|bk | < ∞.
k=0
k=0
k=0
k=0
k=0
k=0
P∞
Dunque
k è convergente ad un numero S. D’altra parte, posto
k=0 dP
P∞
PA=
∞
dk di
k=0 ak e B =
k=0 bk , considerando la somma parziale della serie
2
indice n − 1 si ha per n → ∞
!
!
2 −1
nX
n−1
n−1
X
X
dk =
ak ·
bk → A · B.
k=0
k=0
k=0
Ne segue S = AB perché ogni sottosuccessione di una successione convergente deve P
convergere allo stesso limite.
Dalla serie ∞
k=0 dk , riordinando i termini “per diagonali”, si ottiene la serie
a0 b0 + a0 b1 + a1 b0 + a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 + . . . + a0 bn + a1 bn−1 + . . . + an b0 + . . . ,
la quale per il teorema di Dirichlet (teorema 2.8.3) è assolutamente convergente ed ha somma AB. Ma raggruppandone P
opportunamente
P∞ i termini si
a
e
ottiene proprio la serie prodotto di Cauchy di ∞
k=0 bk , la quale
k=0 k
dunque per il teorema 2.8.9 è una serie assolutamente convergente con somma
AB.
P
P
Osservazione 2.9.3 Se le serie an e bn hanno indice iniziale 1, anziché
0, nella definizione di prodotto di Cauchy occorrerà prendere
cn =
n
X
ak bn−k+1
+
∀n ∈ N ,
anziché
cn =
k=1
n
X
ak bn−k
∀n ∈ N.
k=0
Esempi 2.9.4 (1) Moltiplicando per se stessa la serie geometrica
∞
X
1
=
zn,
1−z
n=0
|z| < 1,
si ottiene, sempre per |z| < 1,
n
∞
X
X
1
=
z k z n−k
(1 − z)2
n=0
k=0
184
!
=
∞
X
n=0
(n + 1)z n ;
da qui si ricava anche
∞
X
n
nz =
n=0
∞
X
n
(n + 1)z −
n=0
∞
X
zn =
n=0
z
1
1
=
−
,
2
(1 − z)
1−z
(1 − z)2
|z| < 1.
(2) Come sappiamo si ha, posto z = x + iy,
z
e =e
x+iy
x
= e (cos y + i sin y) =
∞
X
zn
n=0
n!
∀z ∈ C.
Calcoliamo ez ew con la regola della moltiplicazione di serie: il termine
generale della serie prodotto ha la forma
n n
X
1
1 X n k n−k (z + w)n
1
k n−k
z z
=
;
z w
=
k!
(n
−
k)!
n!
k
n!
k=0
k=0
dunque
z w
ee =
∞
X
(z + w)n
n!
n=0
= ez+w
∀z, w ∈ C.
Pertanto l’esponenziale complessa mantiene le proprietà algebriche dell’esponenziale reale. Si noti che ez = ez+2πi per ogni z ∈ C, cioè la funzione
esponenziale è periodica di periodo 2πi; in particolare, ez non è una funzione
iniettiva su C.
Esercizi 2.9
1. P
Provare che se
n
k=0 ak si ha
P∞
n=0
∞
X
an z n = f (z) per |z| < 1, allora posto An =
An z n =
n=0
f (z)
1−z
per |z| < 1.
2. Dimostrare che se |z| < 1 si ha
∞ X
n+k
n=0
k
zn =
1
(1 − z)k+1
[Traccia: utilizzare l’esercizio 1.7.1 (iv).]
185
∀k ∈ N.
3. Verificare che per |z| < 1 si ha
∞
X
n2 z n =
k=0
z2 + z
.
(1 − z)3
4. Poniamo per ogni n ∈ N
δn = a0 bn + . . . an bn + an bn−1 + . . . + an b1 + an b0 .
P
P∞
P∞
Si provi che se ∞
n=0 an = A e
n=0 bn = B, allora
n=0 δn = AB.
5. Per y ∈ R si verifichi la relazione sin 2y = 2 sin y cos y, utilizzando gli
sviluppi in serie di potenze del seno e del coseno.
[Traccia: si verifichi preliminarmente che risulta
2n
2
= (1 + 1)
2n
2n
− (1 − 1)
=
n X
2n + 1
k=0
2k
∀n ∈ N.]
6. Dimostrare, usando le serie di potenze, le relazioni
cos2 x + sin2 x = 1
∀x ∈ R,
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
∀x, y ∈ R.
P (−1)n
per se stessa. La
7. Determinare il prodotto di Cauchy della serie
n+1
serie che cosı̀ si ottiene è convergente?
P∞ −n
P∞ −n
P
): calcolare esplicitamente cn e
2
)
·
(
8. Sia ∞
c
=
(
n
n=0
n=0 3
n=0
provare che
3−n ≤ cn ≤ 2−n
∀n ∈ N.
186