ANALISI MATEMATICA 3
a.a. 2015-2016
Insegnamento: Analisi Matematica 3
Docente: Isabella Ianni
Settore Scientifico Disciplinare: MAT/05
CFU
ORE
8=7L+1E
68=56+12
Obiettivi formativi: Misura secondo Lebesgue, teoria dell’integrale di Lebesgue, spazi di
Banach e spazi L^p. Introduzione all’analisi complessa: funzioni olomorfe, integrali curvilinei,
primitive, formula di Cauchy, successioni e serie di funzioni complesse, serie di potenze, funzioni
analitiche, serie di Laurent, residui.
Propedeuticità: Analisi Matematica 2, Algebra 1, Geometria 1
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e di una prova scritta.
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
-Massimo e minimo limite. Estremi di indeterminazione di una funzione.
Valori di aderenza di una successione di numeri reali. Massimo e minimo limite di
una successione.
- L’integrale e la misura di Lebesgue. Algebre e σ-algebre di insiemi. La σalgebra di Borel. Misura esterna di Lebesgue. Misura esterna di Jordan. Insiemi
misurabili secondo Lebesgue.
Spazi di misura. Spazi misurabili. Misure positive. Funzioni a valori reali misurabili.
Misurabilità delle funzioni continue. Proprietà delle funzioni misurabili.
Integrazione di funzioni non negative. Proprietà dell’integrale di Lebesgue di
funzioni non negative. Assoluta continuità. Teorema di Lebesgue della convergenza
monotona (noto anche come Teorema di Beppo Levi), e sue conseguenze:
integrazione di serie.
Integrazione di funzioni complesse. Funzioni sommabili e loro proprietà. Misure
complete. Proprietà valide quasi ovunque rispetto ad una misura m. Funzioni quasi
ovunque uguali. Gli spazi L1 (m) ed
L1 (m). Teorema di Lebesgue della convergenza dominata. Confronto tra l’integrale
di Riemann e l’integrale di Lebesgue. Teorema di Vitali-Lebesgue. Funzioni
integrabili secondo Riemann ma non sommabili.
Gli spazi Lp (m) (1 ≤ p ≤ ∞). Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianza di
Minkowski. Gli spazi
lp ().
Funzioni convesse. Continuità di funzioni convesse su intervalli aperti di .
Disuguaglianza di Jensen ed alcune sue conseguenze.
- Spazi metrici e spazi funzionali. Spazi metrici e topologia generata dalla
metrica. Limite e sua unicità. Spazi metrici completi. Spazi metrici separabili.
Metriche equivalenti.
Spazi normati. Norme equivalenti. Topologia generata da una norma. Spazi di
Banach.
Struttura vettoriale di Lp (m) ed Lp (m). Gli spazi normati Lp (m) e loro completezza
(1 ≤ p ≤ ∞).
Gli spazi C(X), C0(X) e Cc(X).
Lo spazio C([a,b]). Approssimazione di funzioni continue tramite polinomi nella
metrica || . ||∞. Teorema di Weierstrass.
Esempi di funzioni continue non derivabile in nessun punto (funzioni di
Weierstrass).
Spazi pre-Hilbertiani. Spazi Hilbertiani. Disuguaglianza di Schwartz. Uguaglianza
del parallelogramma. Convessi. Spazi di Banach che non sono Hilbertiani.
Caratterizzazione dei funzionali lineari e continui sugli spazi di Hilbert.
Sistemi ortogonali. Sistemi ortonormali. Ortogonalizzazione. Coefficienti di Fourier.
Sistemi ortonormali completi e loro caratterizzazione.
- Misure prodotto. Misura in 2. Il teorema di Tonelli. Il teorema di Fubini.
- Funzioni della variabile complessa. Limiti, continuità e derivabilità. Regole di
derivazione. Funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. Serie di potenze nel
campo complesso. Misura complessa e sua variazione. L’integrale rispetto a una
misura complessa. Curve e cammini. Integrale lungo cammini. La funzione
logaritmo nel campo complesso e il “brunch cut”. L’indice di un cammino chiuso
rispetto a un punto, sue proprietà ed interpretazione geometrica. Teorema di
Cauchy per domini semplicemente connessi. Formula integrale di Cauchy in un
aperto convesso. Sviluppabilità in serie di potenze delle funzioni olomorfe. Teorema
di Morera. Classificazione delle singolarità. Teorema di Riemann. Disuguaglianze di
Cauchy. Teorema di Liouville.
Teorema dei residui. Teorema del massimo modulo. Gli zeri di una funzione
olomorfa in una regione convessa. Condizione sufficiente affinché due cammini
chiusi abbiano lo stesso indice in 0. Teorema di Rouchè. Teorema fondamentale
dell’algebra. Formule integrali di Cauchy per le derivate. Integrali impropri. Integrali
di Fresnel.
Teorema di Cauchy-Gousart per domini “multiply connected”. Serie di potenze
generalizzate (di Laurent). Teorema di Laurent. Lemma di Jordan. “The Argument
Principle” ed “Analytic continuation”.
