Seminario Storia delle
Discipline Scientifiche
Palermo 21- 22 novembre 2007
Paola Schiano
Dottorato Storia e Didattica delle matematiche, della chimica e della
fisica - A.A. 2006/2007
Che essa non sia!
Ed essa fu!*
*Espressione tratta dal libro Imre Toth “No! Libertà e negazione.”
Viaggio nella storia delle
geometrie non euclidee
EUCLIDE
nato nel 367 a.C. –
morto ad Alessandria 283 a.C.
z Nascita della geometria ritenuta vera e
unica attraverso enti, assiomi, postulati e teoremi
z Nessuna nuova scoperta, ma grandi doti espositive
z Biografia con scarse notizie
z Due aneddoti :
Risposta e Tolomeo:
“ non esiste nessuna strada regia che porti alla geometria “
Risposta ad un allievo: dare una moneta all’allievo
“perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara”
Opera di Euclide
zRiorganizzazione delle scoperte dei
matematici greci periodo classico
zTrattati (ottica, astronomia, musica,
meccanica, sezioni coniche)
z“Gli Elementi” il più antico esempio
di sistema assiomatico (in Italia la
prima traduzione Federigo Enriques
nel 1935)
“GLI ELEMENTI”
manuale introduttivo relativo
a tutta la matematica conosciuta
in quel tempo (300 a.C.)
z23 definizioni
z5 postulati (si applicano solo alla
geometria)
z5 assiomi (verità applicabili a tutte le
scienze)
z48 teoremi (asserti la cui veridicità va
essere provata con dimostrazioni)
La sua opera è stata considerata per oltre
20 secoli un testo esemplare per chiarezza e
rigore espositivo, e può considerarsi il testo
per l'insegnamento della matematica e della
precisione argomentativa di maggior
successo della storia, ovvero il testo più
letto dopo la Bibbia.
Non lasciare indimostrata
nessuna proprietà degli enti
che si stanno analizzando
Ogni asserto riguardante i termini in
questione è sempre vero perché provato
da una dimostrazione rigorosa
ASSIOMI
z
Cose uguali ad una stessa cosa sono
uguali tra loro
z Aggiungendo (quantità) uguali a (quantità)
uguali le somme sono uguali
z Sottraendo (quantità) uguali da (quantità)
uguali i resti sono uguali
z Cose che coincidono con un'altra sono
uguali all'altra
z L'intero è maggiore della parte
POSTULATI
z
z
z
z
z
Tra due segni (punti) qualsiasi è possibile
tracciare una ed una sola retta.
Si può prolungare una retta oltre i due segni
indefinitamente.
Dato un segno e una lunghezza, è possibile
descrivere un cerchio.
Tutti gli angoli retti sono uguali.
Se una retta che taglia due rette determina
dallo stesso lato angoli interni minori di due
angoli retti, prolungando le due rette, esse si
incontreranno dalla parte dove i due angoli
sono minori di due retti.
Il V postulato: risulti postulato che se in un piano una
retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima
parte, angoli interni minori di dueangoli retti, allora queste
due rette indefinitamente prolungate finiscono per
incontrarsi dalla parte detta.
z Coinvolge il concetto ma la versione è
intelligente: le rette si
di infinto
incontrano in un punto
a distanza finita
z Nella sua forma
somiglia più ad un
teorema che ad una
affermazione
Euclide finché ha
potuto evitò di
utilizzarlo (teorema 29)
Non essendo il postulato
verificabile sperimentalmente
e non essendo evidente come
gli altri quattro, viene da
chiedersi se esso sia o meno
indipendente dagli altri
Posidonio
nato nel 135 a.C. ad Apameia, Siria
morto nel 51 a.C. a Rodi
z Cambiò la definizione di rette parallele
per evitare il V postulato:
“Due rette parallele sono due rette che
giacendo sullo stesso piano e venendo prolungate indefinitamente,
mantengono sempre la stessa distanza”
La definizione di Posidonio implica quella
di parallelismo di Euclide, ma non vale il
viceversa (non equivalenti)
Ogni altro tentativo di
sostituzione del V postulato è
fallito, perché basato su
ipotesi che sostituiscono il
postulato stesso ma non sono
più evidenti
Proclo
nato nel 8 febbraio 411
a Costantinopoli (oggi Instabul)
Bisanzio (oggi Turchia)
morto nel 17 aprile 485 a Atene (Grecia)
z Tentativo dimostrazione
Ipotesi 1 la distanza tra due punti presi su rette
che si intersecano può essere resa grande a
piacere prolungando sufficientemente le rette
Ipotesi 2 la distanza tra due rette parallele
rimane costante
D I F F I C O L T A’
Se prendiamo l’insieme dei punti equidistanti
da una retta non si può concludere che sia una
retta (linea retta non può essere utilizzato nelle
dimostrazioni, in quanto termine primitivo)
Jonh Wallis
nato il 23 novembre 1616
ad Ashford, Kent , Inghilterra
morto il 28 ottobre 1703 ad Oxford , Inghilterra
zSostituì il postulato con:
“Dato un segmento è possibile costruire
un triangolo simile ad un triangolo dato”
Jonh Playfair
nato il 10 marzo 1748 a Benvie
(vicino Dundee), Scozia
morto il 20 luglio 1819 a Burntisland,
Fife, Scozia
zElaborò la versione più conosciuta
del V postulato
“ Data una retta ed un punto non appartenente ad
essa, esiste ed è unica una retta passante per il
punto e parallela alla retta data”
Giovanni Gerolamo Saccheri
nato il 5 settembre 1667
a San Remo, Genova (Italia)
morto il 25 ottobre 1733 a Milano (Italia)
zÈ considerato il padre, seppure
inconsapevole, delle geometrie non
euclidee.
zNuova impostazione del problema:
negazione quinto postulato (getta le
basi per una nuova geometria).
zInvece di sostituire il V postulato
con un asserto simile, ipotizzò la
sua negazione, sicuro di pervenire
ad un assurdo.
Saccheri era convinto:
zChe l’enunciato del V postulato era
vero.
zChe esso poteva essere dedotto dai
precedenti e quindi divenire
teorema.
Saccheri adottò la tecnica
dimostrativa a contraris
zSupporre vera la negazione del
V Postulato
zDedurre dal nuovo sistema
(geometria assoluta + negazione
quinto Postulato) tutta una serie di
teoremi
zPervenire ad un assurdo
Giovanni Gerolamo Saccheri
Il suo nome è legato in particolare alle
conseguenze di una sua pubblicazione,
"Euclide ab omni nævo vindicatus"
(Euclide riscattato da ogni difetto) del
1733, in cui cercò, senza riuscirvi, di
dimostrare per assurdo il V postulato delle
rette parallele, di Euclide. Come
conseguenza, invece, ottenne dei risultati
inaspettati, tra cui l'esistenza di triangoli la
cui somma degli angoli interni non è
uguale a 180°, ponendo così le basi per le
geometrie non euclidee. Tuttavia la sua
incrollabile convinzione sulla validità della
geometria euclidea gli impedì di rendersi
conto dei risultati raggiunti.
Punto di partenza
z Quadrilatero
birettangolo
isoscele, ovvero
un quadrilatero
con due lati
opposti
congruenti ed
entrambi
perpendicolari ad
uno solo degli
altri lati.
Saccheri introdusse dunque tre ipotesi sugli
angoli del quadrilatero opposti a quelli
costruiti retti:
z Ipotesi dell'angolo retto: gli angoli sono
entrambi retti; ciò equivale ad accettare
il V postulato.
z Ipotesi dell'angolo ottuso: gli angoli
interni sono entrambi ottusi; in questo
modo viene negato il V postulato.
z Ipotesi dell'angolo acuto: gli angoli
interni sono entrambi acuti; anche in
questo modo si nega il V postulato.
L’idea di Saccheri:
confutare le due ipotesi
dell'angolo acuto e di quello
ottuso, in modo da rendere
possibile solo quella
dell'angolo retto.
Saccheri provò a confutare l'ipotesi
dell'angolo ottuso
znon ha dimostrato incoerenza tra
conseguenze e premesse assunte
in via ipotetica,
zma solo l'incompatibilità tra
l'ipotesi ammessa e le conseguenze
connesse all'ipotesi euclidea.
Saccheri affrontò l'ipotesi
dell'angolo acuto
z Saccheri dimostra l'insostenibilità
dell'ipotesi dell'angolo acuto,
estendendo all'infinito una proprietà che
è valida al finito (per un punto esterno ad
una retta si può tracciare una sola
perpendicolare ad una retta data)
z Ciò rende inaccettabile la confutazione
In definitiva
zSaccheri non se la sentì di accettare
ciò che in realtà aveva messo in luce
con il suo studio:
è possibile costruire una geometria
che sia valida logicamente, anche
senza accettare il V postulato.
Invece
zarrivò a descrivere due geometrie
che non contenevano il V postulato:
una che si avvaleva dell'ipotesi
dell'angolo ottuso e l'altra
dell'ipotesi dell'angolo acuto.
zQuasi un secolo più avanti, queste
geometrie saranno rispettivamente
definite Geometria Ellittica e
Geometria Iperbolica.
Punto di svolta
z per aver inaugurato, involontariamente, la
possibilità scientifica delle Geometrie Non
Euclidee.
z per aver aperto la strada - attraverso la sua
"dimostrazione" per assurdo - alla possibilità di
ipotizzare la non validità del quinto postulato.
z per aver aperto la strada all'idea di fondare la
validità di una geometria sulla sua non
contraddittorietà logica (e non sull'evidenza
intuitiva).
Nascono due nuovi atteggiamenti
nei confronti della Geometria
Euclidea
z alcuni cominciarono a considerare le
Geometrie ideate per assurdo da
Saccheri e approfondirono i risultati
involontariamente ottenuti;
z altri, ragionando sul fallimento dello
scopo di Saccheri di dimostrare il quinto
postulato, ipotizzarono che il postulato
poteva essere indimostrabile.
Johann Heinrich Lambert
Nato il 26 Agosto 1728 a Mülhausen,
Alsazia, Francia
Morto il 25 Settembre 1777 a Berlino,
Prussia (ora Germania)
z Riprese ed elaborò gli studi di Saccheri
z Dedusse alcuni risultati di Geometria
non Euclidea e notò che in questa nuova
geometria la somma degli angoli di un
triangolo aumentano al diminuire della
sua area
z Non pubblicò per paura dell’opinione
pubblica
Dalla seconda metà del XVIII secolo il
problema di dedurre il quinto postulato
divenne noto in tutti gli ambienti
matematici.
L'enciclopedista Jean le Rond
d'Alembert lo definì nel 1759 “ le
scandale des éléments de géométrie", e ci
volle poco tempo perché tale
difficoltà portasse a concludere
che non esisteva alcuna soluzione.
Georg Simon Klugel
Nato il 19 Agosto 1739 ad Amburgo, Germania
Morto il 4 Agosto 1812 ad Halle, Germania
z nella dissertazione del 1763 Conatuum praecipuorum
theoriam parallelarum demonstrandi recensio (Rassegna dei
principali tentativi di dimostrare la teoria delle
parallele) esaminò 28 tentativi di provare il
quinto postulato, compreso quello di Saccheri,
e li trovò tutti inesaurienti;
z il quinto postulato era indimostrabile perchè
era ritenuto vero solo dal giudizio dei sensi.
z Klugel non riuscì mai a provare che il quinto
postulato non poteva essere dimostrato,
tuttavia questa teoria fu presa in
considerazione anche da altri matematici,
rendendo così inevitabile l'elaborazione delle
Geometrie non Euclidee.
Joseph-Louis Lagrange
Nato il 25 Gennaio 1736 a Torino,
Sardegna-Piemonte (ora Italia)
Morto il 10 Aprile 1813 in Parigi, Francia
z intuì la possibilità di ricavare geometrie
"diverse" da quella euclidea;
z vittima del pregiudizio comune, non osò
comunicare i suoi risultati, perché avrebbe
dovuto sostenere pubblicamente che ci sono
più geometrie "vere", il che gli sembrava
scandaloso.
z Mancava la consapevolezza che non esiste una
geometria "vera", ma che ogni geometria è
"vera" se non contraddittoria, nei procedimenti
e nei risultati, con l'ipotesi assunta.
La formulazione di una nuova geometria dovuta
all'improvabilità del quinto postulato fu il risultato della
Geometria Assoluta e della negazione del quinto postulato
ed era "valida" perché coerente.
Nello studio di un qualsiasi
sistema assiomatico è implicita
l'assunzione che i suoi assiomi siano coerenti
Gradatamente si arrivò a
pensare alla geometria come
un sistema assiomatico non
contraddittorio, al di là della
realtà che descriveva
In questo senso l'effettiva possibilità
logica di un sistema assiomatico
richiede soltanto che gli assiomi
siano coerenti
cioè che da questi è impossibile
dedurre una contraddizione, altrimenti
sarebbe violata ogni legge base
della logica e di conseguenza il sistem
assiomatico sarebbe inconsistente.
Implicazioni filosofiche e
fisiche
Hobbes, Locke, Leibnitz sostenevano che
le leggi matematiche – geometria euclidea
compresa – erano necessarie.
Unica eccezione Hume
Nego’ l’esistenza di leggi
necessarie all’universo essendo la
scienza puramente empirica
Tra il XVIII e il XIX secolo dominava
il pensiero filosofico di
Immanuel Kant (1724 – 1804)
zLe nostre menti sono costruite in
modo da obbligarci a vedere il
mondo esterno in unico modo.
zQuesto modo è la descrizione dei
greci – quindi Euclide – perché i
principi e le conseguenze logiche
della geometria euclidea sono
anteriori all’esperienza (giudizi a
priori).
QUINDI
Il mondo fisico deve essere
euclideo
Johann Carl Friedrich Gauss
Nato il 30 Aprile 1777 a Brunswick,
Duchy di Brunswick (ora Germania)
Morto il 23 Febbraio 1855 a Gottingen, Hannover
(ora Germania)
z probabilmente per primo intorno al 1831,
giunse alla concezione chiara di una
geometria indipendente dal postulato
euclideo;
z ne sviluppò molti dettagli e pervenne alla
convinzione della sua non
contradditorietà logica.
z Egli arrivò a questa conclusione dopo
venti anni di sporadici tentativi di
dimostrare il postulato, durante gli anni
successivi condusse delle ricerche sulla
nuova geometria e scoprì un certo
numero di teoremi.
Le Geometrie non euclidee furono scoperte
almeno quattro volte
Vi è del vero in ciò: molte cose hanno un'epoca in
cui sono scoperte allo stesso tempo in luoghi
differenti,
come
viole
a
primavera."
(lettera di Farkas Bolyai al figlio János)
zNel 1818-1819, Gauss ricevette una
nota dal professore di
giurisprudenza Ferdinando
Schweikart
zSchweikart era arrivato, a livello
basilare, alle stesse conclusioni.
Gauss non pubblicò mai niente per paura di
sconvolgere gli ambienti scientifici dell’epoca. Le
uniche fonti sono
z le lettere agli amici, due brevi recensioni apparse sul
"Gottingische gelehrte Anzeigen" del 1816 e del 1822 e alcune
note del 1831 trovate fra le sue carte dopo la morte.
z Gauss era pienamente consapevole dell'importanza degli sforzi
per stabilire il postulato euclideo delle parallele, perché questo
era un fatto comunemente noto a Gottingen, città dove visse e
insegnò per tutta la vita.
z Gauss disse all'amico Schumacher che fin dal 1792 (quando
aveva quindici anni), si era fatto l'idea che fosse possibile
l'esistenza di una geometria logica in cui non fosse valido il
postulato euclideo delle parallele.
z Nel 1831 Gauss ricevette dall'amico e matematico Wolfgang
Farkas Bolyai (1775-1856) una copia di un trattato sulla
Geometria non Euclidea che di lì a poco sarebbe stata
pubblicata dal figlio Jànos Bolyai(1802-1860) come appendice
di un lavoro del padre. Sollevato sul futuro della Geometria non
Euclidea, Gauss interruppe i suoi studi a riguardo.
Gauss in una lettera scritta a
Farkas nel 1832 dopo aver
letto l’articolo di Jànos Bolyai
scrive che
non poteva lodarlo perché così facendo
avrebbe lodato le proprie ricerche
Due giovani matematici che,
all'insaputa uno dell'altro ed in lontani
paesi, giunsero quasi
contemporaneamente ad analoghi
risultati
Le ricerche di Bolyai erano così simili a quelle di
Lobachevsky che quando Bolyai vide per la prima volta
nel 1835 i lavori del russo pensò che li avesse
copiati dalla sua pubblicazione del 1832-33.
Nicolai Ivanovich Lobachevsky
Nato il 1 Dicembre 1792 a
Nizhny Novgorod
(Gorky dal 1932 al 1990), Russia
Morto il 24 Febbraio 1856
a Kazan, Russia
zEspose le sue vedute sui
fondamenti della geometria in un
lavoro letto di fronte al dipartimento
di Matematica e Fisica
dell'Università nel 1826. Il lavoro
non fu mai stampato e andò
perduto. In seguito espose il suo
approccio alla Geometria non
Euclidea in una serie di lavori.
Jànos Bolyai
Nato il 15 Dicembre 1802 a Kolozsvar,
Impero Austriaco (ora Cluj, Romania)
Morto il 27 Gennaio 1860 a Marosvásárhely
Impero Austriaco
(ora Tirgu-Mures, Romania)
z Sulla Geometria non Euclidea, che chiamava
Geometria Assoluta, scrisse un lavoro di
ventisei pagine intitolato La scienza dello spazio
assoluto , che fu pubblicato in appendice al libro
del padre intitolato Tentamen Juventutem Studiosam in
Elementa Matheseos.
z Anche se quest'opera in due volumi apparve
nel 1832-33, e quindi dopo il primo lavoro di
Lobachevsky, sembra che Bolyai abbia
elaborato le sue idee sulla Geometria non
Euclidea prima del 1825 e che entro quel
periodo si fosse convinto che la nuova
geometria non era contraddittoria.
In una lettera al padre datata
23 Novembre 1823 Jànos
scrive
"Ho fatto delle scoperte così
meravigliose che sono io stesso
sconvolto per lo stupore"
IMLICAZIONI FISICHE
z Poiché i Postulati della geometria
vengono da proprietà fondamentali dello
spazio fisico e vaste branche della
matematica e della fisica usano le
proprietà della Geometria Euclidea, i
matematici volevano essere sicuri di
basarsi su delle verità. In altre parole, il
problema del postulato delle parallele
non era soltanto un genuino problema
fisico, ma il più fondamentale dei
problemi fisici possibili.
Georg Friedrich Bernhard
Riemann
Nato il 17 Settembre 1826 a Breselenz,
Hannover (ora Germania) Morto il
20 Luglio 1866 a Selasca, Italia
z Affrontò il problema di determinare quali sono i
fatti concernenti lo spazio fisico intorno ai quali
possiamo essere certi.
z Intendeva dimostrare che i Postulati di Euclide
erano verità empiriche e non, come si era
creduto, verità di per sé evidenti.
z Adottò l'approccio analitico perché nelle
dimostrazioni geometriche si può essere indotti
dalle proprie percezioni ad assumere
erroneamente fatti non riconosciuti
esplicitamente.
z Nel 1854, è tenuto a presentare, presso
l'Università di Gottinga, una dissertazione pubblicata postuma nel 1867 - per ottenere il
titolo di Privatdozent, che gli avrebbe permesso
di dare lezioni private presso l'università.
z Riemann aveva proposto tre temi (argomenti di
cui si occupava il suo maestro Gauss):
- due su elettricità e magnetismo,
- uno sulla geometria.
Gauss, contrariamente a quanto pensava il
giovane Riemann, sceglie il tema più
complesso e filosoficamente più impegnativo e
compromettente: analizzare le più avanzate
ricerche matematiche collegandole con il
problema filosofico dello spazio.
In una lettera al fratello,
Riemann scriveva:
“Con i miei lavori va ora discretamente:
all'inizio di dicembre ho consegnato lo scritto di
abilitazione e insieme a quello dovevo proporre
tre temi per la lezione d'abilitazione, tra i quali
la facoltà ne sceglie uno. I primi due li avevo
pronti e speravo che si sarebbe preso uno di
quelli: Gauss però aveva scelto il terzo, e così
ora sono di nuovo un po' alle strette, poiché
questo devo ancora prepararlo”.
z Riemann deve proseguire le ricerche del
maestro nel campo della geometria differenziale
delle superfici ed esplicitarne le implicazioni
filosofiche.
z La relazione doveva essere presentata a un
pubblico costituito principalmente da filosofi
(l'intero consiglio della facoltà di filosofia);
Riemann deve compiere l’ulteriore sforzo di
semplificare il complesso linguaggio tecnico
della geometria differenziale.
z Il risultato è un capolavoro che ha aperto la
strada a numerosi campi della matematica
(topologia, geometria differenziale, spazi a un
numero qualsiasi di dimensioni, fondamenti
della geometria, geometrie non euclidee) e della
fisica (molti lo considerano il punto di partenza
per la teoria della relatività di Einstein).
Riemann esordisce come segue:
“E' noto che la geometria presuppone, come qualcosa
di dato, sia il concetto di spazio, sia i primi concetti
fondamentali per le costruzioni nello spazio. Di essi
dà soltanto definizioni nominali, mentre le
determinazioni essenziali compaiono sotto forma di
assiomi”.
Nonostante lo sforzo di matematici e filosofi,
continua Riemann, il significato profondo
dei fondamenti della geometria rimane
oscuro.
Non siamo in grado di affermare:
- se, o fino a che punto, le relazioni tra i
concetti elementari della geometria sono
necessarie,
- se sono possibili.
z Lo spazio va studiato non tanto nella sua
globalità quanto nel suo comportamento locale
e quindi nella sua struttura infinitesima. In
sintesi, la geometria ha un suo fondamento
nell'analisi.
z Tutte le proprietà dello spazio sarebbero quindi
state empiriche.
z Le misurazioni empiriche non sono in grado di
determinare con precisione le caratteristiche
geometriche dello spazio fisico.
z Gauss si era occupato di questo stesso
problema, ma delle sue ricerche fu pubblicato
soltanto il saggio sulle superfici curve.
In definitiva
z La ricerca di Riemann di ciò che è a priori lo
condusse a studiare il comportamento locale
dello spazio o, in altre parole, l'approccio
geometrico differenziale in quanto opposto alla
considerazione dello spazio come un tutto,
quale lo si trova in Euclide o nella Geometria
non Euclidea di Gauss, Bolyai e Lobachevsky.
z Guidato in larga misura dalla geometria
intrinseca delle superfici dello spazio euclideo
di Gauss, Riemann sviluppò una geometria
intrinseca per uno spazio qualsiasi; è da notare
che egli preferì trattare la Geometria a n
dimensioni, estendendo così anche in questa
direzione il concetto di "Geometria".
z Concetto
fondamentale
contenuto nel
lavoro di Riemann
del 1854 era – tra
l’altro - la nozione
di curvatura di una
struttura
geometrica,
mediante la quale
cercò di
caratterizzare lo
spazio euclideo
(come la struttura a
"curvatura zero").
Riemann costruì una geometria ipotizzando
una una nozione di spazio, piano, retta ecc.
diversa da quella che era alla base del sistema
euclideo.
z Studiò la possibilità di uno spazio illimitato
e finito, giustificata dal fatto che:
- "illimitatezza" è un concetto relativo all'
"estensione“(di tipo qualitativo),
- "infinità” si riferisce alla misura.
z Quindi si poteva ipotizzare uno spazio che
fosse contemporaneamente "illimitato" e
"finito"; ad esempio una retta illimitata e
finita è una linea chiusa.
z La conferenza di Riemann, accolta con molto
entusiasmo da parte di Gauss, che muore
l'anno seguente, rimane inedita fino alla morte
del suo autore. La stessa indifferenza iniziale
era toccata alle opere di Lobacevski e Bolyai
sulle geometrie non euclidee.
z La pubblicazione della corrispondenza di
Gauss, avvenuta dopo il 1860, rende pubbliche
le convinzioni di Gauss sui fondamenti della
geometria e contribuisce ad accendere il
dibattito su questo complesso problema.
z L'inizio vero e proprio di questo dibattito è
opera di un costante e lungo lavoro di alcuni
matematici minori i quali contribuiscono a
portare alla luce le idee di Gauss, Lobacevski,
Bolyai e Riemann. Il francese J. Houell e
l'italiano G. Battaglini ne traducono nelle
rispettive lingue i più importanti.
SCENARIO ITALIANO
Il problema della posizione da
prendere nei confronti delle nuove
geometrie è, in questo periodo,
particolarmente attuale per la cultura
italiana, perché strettamente correlato a
quello dell'insegnamento della geometria
nelle scuole del nuovo Regno. La riforma di
Cremona prevede che nelle scuole di
indirizzo classico si studi il libro di Euclide.
Battaglini invece mette in discussione la
validità della scelta proprio alla luce
dell'emergere delle geometrie non euclidee.
Si scatena un aspro clima di polemiche, nel
quale le nuove geometrie vengono bollate
come geometrie del soprasensibile o da
manicomio.
Ulteriori sviluppi e applicazioni
z A partire dalla pubblicazione del saggio di Riemann,
vengono intraprese diverse ricerche nel campo della
matematica pura e della fisica matematica che fanno uso
del concetto di varietà. In particolare, si indaga sulla
possibilità di estendere alcune discipline classiche della
fisica matematica agli spazi a curvatura non nulla, nella
speranza di trovare nuove soluzioni ai problemi rimasti
irrisolti.
z La condizione indispensabile per queste ricerche è la
necessità di esprimere le equazioni fondamentali della
fisica matematica in una notazione generale che restasse
valida per ogni tipo di spazio, euclideo e non. Da queste
ricerche nasce la nozione di tensore e di calcolo
tensoriale elaborata da Ricci-Curbastro e Levi-Civita
verso la fine del secolo.
z Intorno al 1912, Einstein si serve degli strumenti
matematici elaborati da Gauss, Riemann, Levi-Civita e
Ricci-Curbastro per elaborare la teoria della relatività
generale.
Nella conferenza di Kyoto del
1922, Einstein afferma:
z “Se tutti i sistemi sono equivalenti allora la geometria euclidea
non può valere in ciascuno di essi. Abbandonare la geometria e
conservare le leggi fisiche è come descrivere i pensieri senza
parole. Bisogna cercare le parole prima di poter esprimere i
pensieri. Che cosa si doveva cercare a questo punto? Tale
problema rimase insolubile per me fino al 1912, quando
all'improvviso mi resi conto che la teoria di Gauss delle superfici
forniva la chiave per svelare questo mistero. Compresi che le
coordinate di una superficie di Gauss avevano un profondo
significato. Non sapevo però a quell'epoca che Riemann aveva
studiato i fondamenti della geometria in maniera ancora più
profonda. [...] Mi resi conto che i fondamenti della geometria
avevano un significato fisico. Quando da Praga tornai a Zurigo,
vi trovai il matematico Grossmann, mio caro amico: da lui
appresi le prime notizie sul lavoro di Ricci e in seguito su quello
di Riemann”.
La geometria iperbolica e la
geometria ellittica
zA livello assiomatico nascono dalla
geometria assoluta e dalla
negazione del V postulato
“ Data una retta ed un punto non appartenente
ad essa, esiste ed è unica una retta passante per
il punto e parallela alla retta data”
La negazione si riferisce a
z Unicità
z N1. Data una retta ed un
punto non appartenente
ad essa, esistono infinite
rette passanti per il punto
e parallele alla retta data.
z Esistenza
z N2. Data una retta ed un
punto non appartenente
ad essa, non esiste
alcuna retta passante per
il punto e parallela alla
retta data.
Oppure, sostituendo il quinto postulato con un altro asserto
“In un triangolo la somma degli angoli interni è di 180°
z N1. In un
triangolo la
somma degli
angoli interni è
minore di 180°
z N2. In un triangolo la
somma degli angoli
interni è maggiore di
180°
Iperbolica
Ellittica
Gauss Boylai Lobachevsky
Riemann
z Se vale N1
esistono infinite parallele ad
una retta passanti per un
punto esterno ad essa e i
triangoli risultano "sgonfiati"
perché la somma dei loro
angoli interni è minore di
180°;
nome dato dal matematico
Felix Klein (1849-1925) nel
1871. In Greco "iperbole"
significa "eccesso" e in tale
geometria il numero delle
rette parallele ad una retta
data e passanti per un
punto fissato è in "eccesso"
rispetto a quello della
Geometria Euclidea.
z se vale N2
non esiste alcuna parallela
ad un retta e passante per
un punto esterno ad essa e
i triangoli sono "gonfiati"
perchè la somma degli
angoli interni è un valore
più grande di 180°;
z Introdotta da Riemann ed a
cui Klein ha dato il nome di
Ellittica, si nega l'esistenza
rette parallele ad una retta
data e passanti per un
punto fissato.
ALCUNI PROBLEMI
zCon la nascita delle Geometrie non
Euclidee si sollevò anche il
problema di provare la loro validità,
cioè la loro coerenza.
zEsse avrebbero potuto rivelarsi
prive di senso se in esse fossero
state scoperte delle contraddizioni.
COERENZA
z La coerenza della Geometria Iperbolica ed
Ellittica fu dimostrata mediante la
costruzione di nuovi modelli.
z L'utilizzo di modelli di queste geometrie
risolse la questione; infatti creando dei
modelli che rappresentano le Geometrie
non Euclidee in quella Euclidea; dando
cioè una corrispondenza fra queste
strutture e altre della Geometria Euclidea,
considerata coerente, allora anche le
geometrie rappresentate da tali modelli
sono coerenti.
z Assiomi e Teoremi della Geometria non
Euclidea sono in realtà asserzioni
intorno a figure e concetti particolari
della Geometria Euclidea.
z Se ci fosse una contraddizione nella
nuova geometria, questa sarebbe una
contraddizione nella Geometria Euclidea.
Perciò se la Geometria Euclide è
coerente, anche la Geometria non
Euclidea presa in considerazione lo è.
In questo modo la coerenza delle
Geometrie non Euclidee è stata
ricondotta alla coerenza della Geometria
Euclidea.
MODELLI
zPrimo modello: pseudosfera
di Eugemnio Beltrami - carente Hilbert nel 1901 dimostrò che non
poteva rappresentare interamente il
piano non euclideo.
zPrimi modelli soddisfacenti : Klein
Poincarè.
Il modello di Klein
modello di Geometria Iperbolica.
Si fissa una conica K irriducibile
(un'ellisse o una circonferenza),
e si danno le seguenti definizioni per gli enti primitivi:
zcon "punto" si intende
un punto interno a K;
quindi i punti appartenenti
al bordo della conica non sono
inclusi in questo modello.
zcon "retta" si intende una corda di
K con estremi esclusi;
zcon "piano" si intende l'insieme dei
punti interni a K.
Il modello di Poincarè
modello di Geometria Iperbolica.
z il piano è la regione delimitata da una
circonferenza, con l'esclusione della
stessa;
z il punto è ogni punto interno alla
circonferenza;
quindi i punti appartenenti al bordo della
circonferenza non sono inclusi in questo
modello
z la retta è ogni diametro della
circonferenza e ogni arco di
circonferenza
Il modello della sfera
In questo caso come piano si considera la
superficie di una sfera:
zI punti sono quelli sulla superficie;
zun segmento, essendo la distanza
minima fra due punti, corrisponde
all'arco minore della circonferenza
che passa per due punti ed ha il
centro nel centro della sfera;
zle rette, quindi, sono tutte e sole le
circonferenze massime;
Indipendenza V postulato
z Il fatto che le Geometrie non Euclidee siano
coerenti, implica che il postulato euclideo delle
parallele sia indipendente dagli altri Postulati.
z Infatti, se ciò non fosse, cioè se il postulato
delle parallele potesse essere derivato dagli
altri Postulati, allora esso sarebbe anche un
Teorema della Geometria non Euclidea in
questione perché, a parte questo, gli altri
Postulati della Geometria Euclidea sono anche
Postulati della Geometria non Euclidea;
z Il teorema derivato dal postulato delle parallele
contraddirrebbe però l'assioma delle parallele
della Geometria non Euclidea, che sarebbe
perciò incoerente.
Dalla scienza dello spazio fisico
alla scienza astratta dello spazio
z Il processo di definizione delle Geometrie non
Euclidee, oltre a sottolineare le posizioni dei
matematici assunte nei secoli, fa capire come è
cambiato il modo stesso di definire le teorie
matematiche.
z Da Euclide che costruisce una geometria
ritenuta vera e unica attraverso enti, assiomi,
postulati e teoremi, questa sintesi storica
termina con uno dei grandi risultati della
rivoluzione non Euclidea, cioè la possibilità di
definire innumerevoli geometrie secondo il
metodo introdotto da Klein.
zIl matematico Felix Klein (18491925)
- diede una definizione di cosa si
potesse intendere per "Geometria",
- sintetizzò un modo generale per
costruire qualsiasi geometria che
consiste nel definire prima gli enti
della geometria in questione e poi
le trasformazioni rispetto a cui gli
enti stessi sono invarianti.
Dalla scienza delle figure
alla scienza dello spazio
z La concezione chiave di Klein sulla geometria
come studio delle proprietà dello spazio che
sono invarianti rispetto a un dato gruppo di
trasformazioni, conosciuta come Programma di
Erlangen, Erlanger Programme (1872), influenzò
profondamente lo sviluppo della matematica.
Questo manifesto matematico fu scritto come
prolusione in occasione della sua nomina a
professore a Erlangen. Il Programma di
Erlangen fornì l'approccio unificato alla
geometria che oggi è accettato come standard.
In questo modo il Programma di Erlangen definì
una geometria che includeva sia la geometria
euclidea che la geometria non euclidea.
zTuttavia le geometrie non euclidee
sono state considerate a lungo pura
curiosità logica e prive di interesse
per il mondo fisico.
zInvece, pur se apparentemente non
hanno riscontro nella vita pratica,
localmente sono queste geometrie
a descrivere l’universo in cui
viviamo.
La teoria della relatività,
cambiò atteggiamento verso
queste nuove teorie.
Esse risultarono di grande utilità,
per la relatività, per l ’ottica e per
teoria propagazione onde
Il problema non è quale
geometria sia vera, ma
Quale è la più comoda - per
semplicità e convenienza - dal
momento che tutte sono
ugualmente coerenti e valide
logicamente.
BIBLIOGRAFIA
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