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Concetti chiave e regole
Le equazioni polinomiali di grado superiore al secondo
Ogni equazione polinomiale del tipo E …x † ˆ 0 di grado n > 2 si puoÁ risolvere solo se il polinomio E …x † eÁ scomponibile in fattori al piuÁ di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di annullamento del
prodotto.
Equazioni particolari
Fra le equazioni di grado superiore al secondo ve ne sono alcune che si risolvono con metodi particolari.
l
Le equazioni binomie sono riconducibili alla forma x n ˆ k
algebrico:

p
p

n
n
se n eÁ pari e k 0
jxj ˆ k ! x ˆ k
se n eÁ pari e k < 0
se n eÁ dispari
l
l
e per risolverle si applica la definizione di radicale
l'equazione eÁ impossibile

p
n
xˆ k
Le equazioni trinomie sono riconducibili alla forma ax 2n ‡ bx n ‡ c ˆ 0
x n ˆ t.
Nel caso in cui n ˆ 2 l'equazione si dice biquadratica.
e per risolverle si opera la sostituzione
Le equazioni reciproche hanno la caratteristica di avere i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi che sono
1
uguali oppure opposti; di esse si puoÁ dire che, se ammettono la soluzione k, ammettono anche la soluzione .
k
Le equazioni di grado dispari e quelle di grado pari in cui manca il termine centrale ammettono sempre la soluzione
1 oppure 1.
Le equazioni di quarto grado complete della forma ax 4 ‡ bx 3 ‡ cx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0 si risolvono in questo modo:
- si dividono entrambi i membri per x 2 : ax 2 ‡ bx ‡ c ‡
b
a
‡ 2 ˆ0
x
x
- si raccoglie a fattor comune fra i termini di uguale coefficiente:
- si operano le sostituzioni:
x2 ‡
1
ˆ t2
x2
2 e x‡
1
a x ‡ 2
x
2
1
‡b x‡
x
‡c ˆ0
1
ˆt
x
- dopo aver risolto l'equazione in t si torna alla variabile x operando la sostituzione inversa.
Disequazioni binomie e trinomie
Sono disequazioni della forma x n > a e x n < a; per risolverle distinguiamo due casi:
p
p
p
l se n e
Á pari e a > 0: x n > a eÁ equivalente a jx j > n a
!
x< na _ x> na
p
p

p
n
!
a<x< na
x n < a eÁ equivalente a jx j < n a
p
l se n e
Á dispari:
x n > a eÁ equivalente a x > n a
p
x n < a eÁ equivalente a x < n a.
> 0 si risolve ponendo x n ˆ t. Trovate le soluzioni in t, si opera la sostiLa disequazione trinomia ax 2n ‡ bx n ‡ c <
tuzione inversa e si risolvono le disequazioni ottenute.
Le equazioni irrazionali
Un'equazione eÁ irrazionale se l'incognita fa parte dell'argomento di un radicale.
Approfondimenti di algebra
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l
Le equazioni della forma
- risolvendo l'equazione
- risolvendo l'equazione
l
Le equazioni della forma
q
A…x † ˆ B…x †
2
A…x † ˆ B…x †
2
A…x † ˆ B…x †
q
3
A…x † ˆ B…x †
Disequazioni irrazionali
l
l
l
La disequazione
q
3
> B…x † eÁ equivalente a
A…x † <
La disequazione
p
A…x † < B…x †
La disequazione
p
A…x † > B…x †
si possono risolvere in due modi:
e procedendo alla verifica delle soluzioni
con la condizione B…x † 0.
sono sempre equivalenti all'equazione
3
A…x † ˆ ‰B…x †Š .
> B…x † 3
A…x † <
eÁ equivalente al sistema
8
>
< A…x † 0
B… x † > 0
>
2
:
A…x † < B…x †
(
eÁ equivalente ai due sistemi
B…x † 0
2
A…x † > B…x †
_
A…x † 0
B…x † < 0
Sistemi non lineari
Un sistema eÁ non lineare se almeno una delle sue equazioni eÁ di grado superiore al primo. In particolare:
l
in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che eÁ di secondo.
Per risolvere un sistema non lineare si applicano i due principi di sostituzione e/o di riduzione; se il sistema eÁ di secondo grado conviene ricavare l'espressione di una variabile da una delle equazioni di primo grado e sostituire in
tutte le altre.
Sistemi simmetrici
Un sistema si dice simmetrico se, scambiando fra loro le incognite, si ottiene ancora il sistema dato; la sua caratteristica eÁ che, se ammette come soluzione la coppia …a, b †, allora ammette anche la coppia …b, a†.
Un sistema simmetrico di secondo grado si puoÁ sempre ricondurre alla forma
x‡y ˆs
xy ˆ p
e per trovare le sue soluzioni si puoÁ risolvere l'equazione di secondo grado t 2 st ‡ p ˆ 0; in questo caso le soluzioni
del sistema sono le coppie …t1 , t2 † _ …t2 , t1 † dove t1 e t2 sono le soluzioni dell'equazione in t.
Per sistemi simmetrici che si presentano in forme diverse eÁ utile ricordare le seguenti relazioni:
2
x 2 ‡ y 2 ˆ …x ‡ y †
2xy
3
x 3 ‡ y 3 ˆ …x ‡ y †
e
Sistemi omogenei
Un sistema si dice omogeneo se si puoÁ scrivere nella forma
variabili x e y.
P …x, y † ˆ h
Q …x, y † ˆ k
In particolare, un sistema omogeneo di quarto grado assume la forma
3xy …x ‡ y †
dove P e Q sono polinomi omogenei nelle
ax 2 ‡ bxy ‡ cy 2 ˆ d
a 0 x 2 ‡ b 0 xy ‡ c 0 y 2 ˆ d 0
Per risolvere questo sistema si opera la sostituzione y ˆ xt in entrambe le equazioni. A seconda del valore di d e d 0 si
seguono poi due procedure diverse.
l
I caso: d 6ˆ 0 _ d 0 6ˆ 0
± Si dividono membro a membro le due equazioni e si risolve l'equazione di secondo grado nella variabile t cosõÁ
ottenuta (siano t1 e t2 le due radici)
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± Si opera la sostituzione inversa e si ricavano le due equazioni y ˆ t1 x _ y ˆ t2 x
y ˆ t1 x
y ˆ t2 x
± Si risolvono i due sistemi
_
ax 2 ‡ bxy ‡ cy 2 ˆ d
ax 2 ‡ bxy ‡ cy 2 ˆ d
(la seconda equazione eÁ una delle due del sistema dato).
l
II caso: d ˆ d 0 ˆ 0
Il sistema ammette sempre come soluzione la coppia …0, 0†; per trovare le altre:
± si raccoglie x 2 a fattor comune in entrambe le equazioni
± si trovano le soluzioni comuni delle due equazioni in t ottenute
± si opera la sostituzione inversa.
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