1
Teorie Relativistiche
21 Il 08
1. In un sistema di riferimento
(Y
~
un piano con densità di carica uniforme
giacente nel piano xz si muove con velocità costante
v nel verso positivo
dell'asse x. Determinare il campo elettromagnetico.
2. Dimostrare che in un urto relativistico la conservazione della quantità
di moto totale implica la conservazione della parte temporale del quadri­
momento totale.
3. Trattare l'effetto Doppler relastivistico.
4. Due corpi di uguale massa a riposo m e uguale velocità v urtano
l'uno contro l'altro per formare un unico corpo in quiete. Determinarne
la massa a riposo.
1
Teorie relativistiche 23 6 2009
1. In un sistema di riferimento E un piano con densità di carica uniforme
(J'
giacente nel piano xz si muove con velocità costante il nel verso positivo
dell'asse x. Determinare il campo elettromagnetico.
2. Dimostrare che in un urto relativistico la conservazione della quantità
di moto totale implica la conservazione della parte temporale del quadri­
momento totale.
3. Due corpi di uguale massa a riposo m e uguale velocità v urtano l'uno
contro l'altro per formare un unico corpo in quiete. Determinare la massa
a riposo dì quest'ultimo.
4. Trattare l'effetto Doppler relastivistico.
5. Scrivere la lagrangiana e l'hamiltoniana relativistica di una carica q
e massa a riposo mo sottoposta all'azione del campo elettromagnetico
generato da una carica Q fissa nell'origine del sistema di riferimento.
a) L'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
b) Se la carica è inizialmante ferma nel punto x
= (x, O, O),
la velocità della particella quando si trova nel punto 2x.
determinare
1
Teorie relativistiche 9 9 2009
1. Un particella di carica q è soggetta all'azione di un campo elettrico­
magnetico uniforme
E
(O, O, E),
13
= (O, B, O), e si muove di moto
v
rettilineo uniforme con velocità (costante)
(vx,O,v z )'
a) Determinare la velocità in funzione del campo elettromagnetico.
b) Determinare il campo elettromagnetico totale nel sistema a riposo
della particella.
2. Usare le proprietà dei quadrivettori per dimostrare che in un urto
relativistico la conservazione della quantità di moto totale implica la con­
servazione della parte temporale del quadri momento totale.
3. Due corpi di uguale massa a riposo m e uguale velocità v urtano l'uno
contro l'altro per formare un unico corpo in quiete. Determinare la massa
a riposo di quest'ultimo.
4. Trattare l'effetto Doppler relastivistico.
5. Una particella puntiforme con carica q e massa a riposo mQ è lenta­
mente accelerata dall'azione del campo elettromagnetico generato da un
filo rettilineo con densità di carica uniforme
À
giacente in quiete sull'asse
z.
a) Dimostrare che il potenziale scalare è q;(t,x,y,z) = 4;eo In(x 2 +y2);
b) Scrivere la lagrangiana e l'hamiltoniana relativistica della particella.
c) L'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
d) Se la carica è inizialmante ferma nel punto x = (x, O, O), determinare
la velocità della particella quando si trova nel punto 2x.
1
Teorie relativistiche 9 1 2009
Un particella di carica q è lentamente accelerata dall'azione di un
campo elettro-magnetico uniforme i!; = (0, E, O), B
(0,0, B). Deter­
minare l'accelerazione della particella all'istante t o se la sua velocità è
1.
a) v(t o) = (Vo, 0,0)
b) veto) = (O, Vo, O)
c) Individuare due sistemi di riferimento inerziali :El e :E z in cui il campo
elettrico e il campo magnetico sono rispettivamente nulli.
d) I sistemi :El e :Ez del quesito (c), esito no sempre?
2. Dimostrare che in un urto relativistico la conservazione della quantità
di moto totale implica la conservazione della parte temporale del quadri­
momento totale.
3. Due corpi di uguale massa a riposo m e uguale velocità v urtano l'uno
contro l'altro per formare un unico corpo in quiete. Determinare la massa
a riposo di quest'ultimo.
4. 'frattare l'effetto Doppler relastivistico.
5. Scrivere la lagrangiana e l'hamiltoniana relativistica di una carica q
e massa a riposo
mD
sottoposta all'azione del campo elettromagnetico
generato da una carica Q fissa nell'origine del sistema di riferimento.
a) L'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
b) Se la carica è inizialmante ferma nel punto x = (x, 0, O), determinare
la velocità della particella quando si trova nel punto 2x.
1
Teorie relativistiche 7 7 2009
1. In un sistema di riferimento 'E un piano con densità di carica uniforme
u giacente nel piano xz si muove con velocità costante v nel verso positivo
dell'asse x. Determinare il campo elettromagnetico.
2. Dimostrare che in un urto relativistico la conservazione della quantità
di moto totale implica la conservazione della parte temporale del quadri­
momento totale.
3. Due corpi di uguale massa a riposo m e uguale velocità v urtano l'uno
contro l'altro per formare un unico corpo in quiete. Determinare la massa
a riposo di quest'ultimo.
4. Trattare l'effetto Doppler relastivistico.
5. Scrivere la lagrangiana e l'hamiltoniana relativistica di una carica q
e massa a riposo mQ sottoposta all'azione del campo elettromagnetico
generato da una carica Q fissa nell'origine del sistema di riferimento.
a) L'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
(x, O, O), determinare
la velocità della particella quando si trova nel punto 2x.
b) Se la carica è inizialmante ferma nel punto x
1
Teorie relativistiche 4 1 2008
1. Un particella di carica q è soggetta all'azione di un campo elettrico­
magnetico uniforme l!;
= (E, O, O), B
(O, B, O), e si muove di moto
rettilineo uniforme con velocità (costante) iJ = (v x , O, v z ).
a) Determinare la velocità in funzione del campo elettromagnetico.
b) Determinare il campo elettromagnetico totale nel sistema a riposo
della particella.
2. Sia C,
= -moc2
j1- ~~ - q<p + q(iJ· A) la Lagrangiana relativistica
di una particella puntiforme lentamente accelerata da un campo elettro­
magnetico.
a) Determinare la Lagrangiana covariante L per cui
S =
l
t2
C,dt =
t1
dove S è l'azione e
T
1'2
L(i(T),iJ(T),t(T),T)dT.
T1
il tempo proprio.
b) Dimostrare che L è invariante
3. Scrivere l'hamiltoniana relativistica di una carica q e massa a riposo
mo sottoposta all'azione di un campo elettromagnetico stazionario con
potenziale scalare 4;( x)
= kx.
a) L'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
(x, O, O), determinare
la velocità della particella quando si trova nel punto 1/2x.
b) Se la carica è inizialmante ferma nel punto x
4. Un corpo in quiete e massa a riposo Mo decade in due componenti:
~
un fotone,
un corpo di energia a riposo moc2 = 105MeV (1 M eV
e velocità v
1000 Km/ s.
a) Determinare il momento relativistico del fotone.
b) Determinare Mo.
1.6· 10- 13 J)
1
Teorie relativistiche 4 9 2008
1. Un particella di carica q e massa a riposo ma è soggetta all'azione
E=
(E,O,O), 13 = (O,B,O).
Determinare la relazione tra E e B se essa si muove di moto rettilineo
di un campo elettrico-magnetico uniforme
uniforme con velocità iJ = (O, va, O).
2. Scrivere l'hamiltoniana relativistica di una carica q e massa a riposo
ma lentamente accelerata dall'azione di un campo elettrico
E=
(Eo, O, O).
a) L'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta)
b) Se ad un certo istante la carica è ferma nel punto (O, O, O), qual'è la
sua velocità nel punto (xo, O, O)?
3. Dimostrare che in un urto relativistico tra due paricelle la conser­
vazione del momento relativistico implica la conservazione della compo­
nente temporale del quadrimomento.
4. 'frattare l'effetto Doppler relativistico.
1
Fisica matematica 1
1. Un'asta rettilinea di dimensioni trascurabili è dotata di densità lineare
di carica
À.
Essa si muove nel piano xy di un sistema di riferimento
inerziale 'E mantenendosi parallela all'asse y, con una velocità costante u
nel verso delle y positive. Supponendo che all'istante iniziale t
O l'asta
occupi l'asse y
(a) determinare il campo elettromagnetico
E(x, t), B(x, t)
nei punti del
piano xy;
(b) determinare il campo elettromagnetico nel piano xy di un sistema di
riferimento 'E' che si muove con velocità v = (-v, O, O) rispetto a 'E.
2.
a) Stabilire la relazione tra tempo proprio dr e tempo coordinato dt.
b) Dimostrare che la derivata di un quadrivettore rispetto al tempo pro­
prio è ancora un quadrivettore.
3. In Relatività si assume che in un urto tra due particelle di massa mI
e
m2
si conserva la quantità di moto relativistica. Fare vedere che allora
anche l'energia Relativistica si deve conservare.
1
Teorie relativistiche 7 4 2008
1. Un particella di carica q è soggetta all'azione di un campo elettrico­
magnetico uniforme
E=
(O, E, O),
B
= (O, O, B), e si muove di moto
rettilineo uniforme con velocità (costante)
v= (vx,v y, O).
a) Determinare la velocità in funzione del campo elettromagnetico.
b) Determinare il campo elettromagnetico totale nel sistema a riposo
della particella.
2. Scrivere l'hamiltoniana relativistica di una carica q e massa a riposo
mo sottoposta all'azione di un campo elettromagnetico stazionario con
potenziale scalare <jJ(x) = kx.
a) L'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
b) Se la carica è inizialmante ferma nel punto x
(x, O, O), determinare
la velocità della particella quando sì trova nel punto (1/2)x.
3.
Dimostrare che il quadri-gradiente di uno scalare invariante è un
quadri-vettore.
4. Un corpo in quiete e massa a riposo Mo decade in due componenti:
-- un fotone,
un corpo di energia a riposo moc2 = 105MeV (1 MeV
e velocità v
1000 Km/s.
a) Determinare il momento relativistico del fotone.
b) Determinare lY!o.
=
1.6 .1O- 13 J)
1
Fisica matematica 1: Prova del 26.11.2002
R1. Un'asta rettilinea di dimensioni trascurabili è dotata di densità lin­
eare di carica).. Essa si muove nel piano xy di un sistema di riferimento
inerziale.E mantenendosi parallela all'asse y, con una velocità costante v
nel verso delle x positive. Supponendo che all'istante iniziale t
occupi l'asse y
(a) determinare il campo elettromagnetico
E(x, t), B(x, t)
= Ol'asta
nei punti del
piano xy;
(b) determinare il campo elettromagnetico in tutti i punti dello spazio.
R2.
(a) Dare la definizione di quadrivettore.
(b) Verificare che [~], dove
v è la velocità di una particella,
quadri vettore.
(c) Perchè
À [:]v è un quadrivettore?
l-~
01. Classificare l'equazione differenziale alle derivate parziali
2 x U xx + 2 (x + y) u xy + 2 y U yy + U x
O,
e ridurla in forma canonica in un intorno del punto Po == (4,1).
non è un
1
Fisica matematica 1: Prova del 1.12.2003
1. Dimostrare che la quadridivergenza di un quadrivettore è uno scalare
invariante.
2. Determinare il campo elettromagnetico prodotto da una carica q si
muove lungo l'asse x con velocità costante.
3. Scrivere l'hamiltoniana relativistica di una carica q e massa a riposo
mQ sottoposta all'azione di un campo elettromagnetico stazionario con
potenziale scalare cP(x) = k 2 x.
a) Uhamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
b) Se la carica è inizialmante ferma nel punto x = (x, 0, O), determinare
la velocità della particella quando si trova nel punto 1/2x.
1
Fisica matematica 1
1.
a) Stabilire la relazione tra tempo proprio dr e tempo coordinato dt.
b) Dimostrare che la derivata di un quadrivettore rispetto al tempo pro­
prio è ancora un quadrivettore.
2. Un filo rettilineo uniformemente carico giace in quiete sulla biset­
trice del piano xy di un sistema di riferimento E. Determinare il campo
elettromagnetico rispetto ad un sistema E' in moto con velocità costante
v
(v, O, O) rispetto a E.
3. Un elettrone inizialmente fermo (massa a riposo mo) viene investito da
un positrone con velocità iniziale Vo; come risultato della collisione viene
prodotto un unico fotone. Determinare
a) la frequenza
1/
e il versare n di propagazione del fotone in funzione di
mo evo·
b) il valore numerico di
h
= 6.626 x
1/,
tenendo presente che mo = 9.11
1O- 34 J. s (costane di Planck), se
Vo
X
= 106 m/s.
10- 31 K g,
l
Fisica matematica 1: Prova del 14.12.2004
1. Sia <jJ(x) una funzione scalare della posizione spazio-temporale x =
(ct,x). Dimostrare che
dove ti
= (t -;}xx)/ ')1 - v2/c 2 e x' = (x-vt)/ ')1 - v2/c 2e <jJ'(X')
<jJ(x).
2. Un particella di carica q è soggetta all'azione di un campo elettrico
uniforme i!; = (Eo, O, O). Determinare l'accelerazione della particella se la
sua velocità è
a) v(to) (vo, O, O)
b) v(to) = (O, va, O).
3. Illustrare l'effetto Doppler relativistico per un'onda elettromagnetica
piana.
1
Fisica matematica 1: Prova del 11 11 2005
1. Dimostrare che il quadrigradiente di uno scalare invarante è un quadri­
vettore.
2. un piano uniformemente carico (densità di carica (J) è a riposo nel piano
xy del sistema di riferimento 'E. Determinare il campo elettromagetico in
un sistema 'E' in moto con velocità costante v = (v, O, O) rispetto a 'E.
3. Descrivere le proprietà dell'urto tra due particelle in relatività.
1
Fisica matematica 1: Prova del 21 12 2005
1. Dimostrare che il quadrigradiente di uno scalare invarante è un quadri­
vettore.
2. Dimostrare che il quadrigradiente di uno scalare Ìnvarante è un quadri­
vettore.
3. Descrivere l'effetto Doppler relativistico.
1
Problemi di Fisica Matematica 1
1. Due particelle di massa identica urtano una contro l'altra lungo una
retta, e posseggono, prima dell'urto, velocità opposte. Dopo l'urto si
allontanano l'una dall'altra lungo una retta diversa, con le stesse velocità.
Verificare che la quantit di moto cla..<;sica non è conservata in relatività.
-moc\/l -
~~ qt.p + q(iJ· A) la Lagrangiana relativistica di
2. Sia L =
una particella puntiforme soggetta a forze elettromagnetiche. Esprimere
l'integrale d'azione S
ft: Ldt rispetto al tempo proprio.
2
(Il problema consiste nel determinare L, dove
3. Dimostrare che L nel problema 2 è invariante (ricordare che il quadripoten­
ziale è un quadrivettore e che il prodotto tra due quadrivettori è un in­
variante (Lagrangiana invariante)).
'2: s Ps v s
4. Detrminare L'Hamiltoniana H
coordinate t, x, X, z e dei momenti Ps
=
-
L come funzione delle
aoe
.
VB
5. Qual è il contenuto d'energia di un elettrone a riposo? Esprimere il
risultato in eVo (m = 9.1094 .10- 31 Kg, leV = 1.602.10- 19 J).
6. Un positrone è una particella identica all'elettrone, ma di carica posi­
tiva. Se un elettrone e un positrone collidono con velocità trascurabile e si
annichilano producendo un fotone, qual'è la lunghezza d'onda del fotone?
(la costante di Planck h vale h
6.626 . 10-34 J s ).
7. Dimostrare che la quadridivergenza di un quadrivettore è un invariante.
8. Dimostrare la formula dell'effetto Doppler relativistico.
1
Fisica matematica 1
1. Una sfera omogenea uniformemente carica di raggio R con densità
di carica p è ferma con il centro nell'origine del sistema di riferimento
inerziale E. Un altro sistema di riferimento si muove rispetto al primo
con una velocità costante v nella direzione dell'asse x.
(a) determinare la densità di carica della sfera rispetto a E';
(b) determinare il campo elettromagnetico
E'(x, t), B'(x, t)
rispetto a E'
nei punti del piano xy;
R2.
(a) Dare la definizione di quadri accelerazione.
(b) Determinare la relazione tra l'accelerazione di un punto e l'accelerazione
nel sistema a riposo.
01. Classificare l'equazione differenziale alle derivate parziali
2 x U xx
+ 2 (x + y) uxy + 2 y U yy + U x = O,
e ridurla in forma canonica in un intorno del punto Po == (4,1).
l
Teorie Relativistiche - 25 luglio 2006
1. Un'asta rettilinea di dimensioni trascurabili è dotata di densità lineare
di carica À. Essa si muove nel piano xy di un sistema di riferimento
inerziale.E mantenendosi parallela all'asse y, con una velocità costante u
nel verso delle y positive. Supponendo che all'istante iniziale t O l'asta
occupi l'asse y
(a) dimostrare che il campo elettromagnetico nei punti del piano xy di .E
è
E(x, t) = (21T;OX'0,0) (campo elettrico), e
B(x, t) (O, O, ~:~) (campo magnetico).
(Sugg.: Se l'asta fosse ferma ci sarebbe solo il campo elettrico E(x, t)
(z1T;OX' 0, O)).
(b) Determinare il campo elettromagnetico nel piano xy di un sistema di
riferimento .El che si muove con velocità v = (-v,O, O) rispetto a .E.
2. Dimostrare che il quadrigradiente di uno scalare invarante è un quadri­
vettore.
3. Descrivere l'effetto Doppler Relativistico.
l
Teorie relativistiche 3 7 2008
1. Un particella di carica q è soggetta all'azione di un campo elettrico­
magnetico uniforme E (E,O, O), B (O, B, O). Determinare l'accelerazione
della particella all'istante t o se la sua velocità è
a.i) iJ(to) = (vo,O,O)
a.ii) iJ(to) (O, vo, O)
a.iii) iJ(to) = (0,0, vo).
b) Individuare due sistemi di riferimento inerziali El e E 2 in cui il campo
elettrico e il campo magnetico sono rispettivamente nulli.
c) Esiste un sistema di riferimento inerziale in cui entrambi i campi sono
nulli? (motivare la risposta).
2. Scrivere l'hamiltoniana relativistica di una carica q e massa a riposo
mo sottoposta all'azione di un campo elettromagnetico. Sotto quali con­
dizioni l'hamiltoniana, è una costante del moto? (motivare la risposta).
3. Dimostrare che in un urto relativistico tra due paricelle la conser­
vazione del momento relativistico implica la conservazione della compo­
nente temporale del quadrimomento.
4. Un corpo di energia a riposo moc2
e velocità v
105MeV (l MeV
1.6 .1O- 13 J)
1000 Km/s assorbe un fotone. Dopo il processo di assorbi­
mento il corpo rimane fermo.
a) Determinare il momento relativistico del fotone. b) Determinare Mo. 1
Teorie Relativistiche - 25 luglio 2006
1. Un'asta rettilinea di dimensioni trascurabili è dotata di densità lineare
di carica
À.
Essa si muove nel piano xy di un sistema di riferimento
inerziale 2:: mantenendosi parallela all'asse y, con una velocità costante u
nel verso delle y positive. Supponendo che all'istante iniziale t
occupi l'asse y
=
°
l'asta
(a) dimostrare che il campo elettromagnetico nei punti del piano xy di 2::
è
B(i, t) =
(211"~X'0,o)
(campo elettrico), e
B(i,t) = (0,0, ;:~o) (campo magnetico).
(Sugg.: Se l'asta fosse ferma ci sarebbe solo il campo elettrico B(i, t)
( 211":ox ' 0, O) ).
(b) Determinare il campo elettromagnetico nel piano xy di un sistema di
riferimento 2::' che si muove con velocità v
= (-v, O, O)
rispetto a 2::.
2. Dimostrare che il quadrigradiente di uno scalare invarante è un quadri­
vettore.
3. Discutere la conservazione del quadri-momento relativistico.
1
Teorie Relativistiche - 4 07 2007
1. Un particella di carica q è soggetta all'azione di un campo elettrico­
magnetico uniforme E = (O, E, O), B (0,0, B). Determinare l'accelerazione
della particella all'istante t o se la sua velocità è
a) v(t o) = (vo,O,O) b) v(t o) = (O, Vo, O) c) Individuare due sistemi di riferimento inerziali ~l e ~2 in cui il campo elettrico e il campo magnetico sono rispettivamente nulli.
d) I sistemi ~l e ~2 del quesito (c), esitono sempre?
2. Dimostrare che il quadrigradiente di uno scalare invarante è un quadri­
vettore.
3. Descrivere l'effetto Doppler relativistico.
l
Teorie Relativistiche
5 09 2007
1. Un particella di carica q è soggetta all'azione di un campo elettrico­
magnetico uniforme
lE
= (O, E, O),
13
= (O, O, B), e si muove di moto
rettilineo uniforme con velocità (costante)
v=
(v x , v y, vz ).
a) Determinare la velocità in funzione del campo elettromagnetico.
b) Determinare il campo elettromagnetico totale nel sistema a riposo
della particella.
2. Discutere il problema della conservazione dell'energia e del momento
in relatività.
3. Verificare che la quadri-divergenmza di un quadri vettore è uno scalare
invariante.
