Manuale di Matematica
per le applicazioni economiche
Algebra lineare
Funzioni di due variabili
Juan Gabriel Brida
Nicoletta Colletti
School of Economics and Manangement
Free University of Bozen - Bolzano
ii
Autoren | Autori | Authors
Juan Gabriel Brida, Nicoletta Colletti
Umschlaggestaltung | Design di copertina | Cover design
DigiPrint, Bozen/Bolzano
Druck | Stampa | Printing
DigiPrint, Bozen/Bolzano
Vertrieb | Distribuzione | Distribution
UNIVERSITÄTSBIBLIOTHEK BOZEN
BIBLIOTECA UNIVERSITARIA BOLZANO
UNIVERSITY LIBRARY OF BOZEN-BOLZANO
WWW.UNIBZ.IT/LIBRARY
© 2008 by Bozen-Bolzano University Press
Bozen/Bolzano
All rights reserved
ISBN 978-88-6046-021-9
Indice
I
Teoria
1
1 Algebra lineare
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sistemi di equazioni lineari . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sistemi lineari 2 2 e m n . . . . . . . .
1.2.2 Metodo di eliminazione di Gauss . . . . . .
1.2.3 Esempio economico: il modello di Leontief .
1.3 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . .
1.3.3 Interpretazione geometrica dei vettori in R2
1.3.4 Indipendenza lineare . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Base di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Operazioni con le matrici . . . . . . . . . .
1.4.3 Esempi economici . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Sistemi lineari e matrici: regola di Cramer .
1.4.5 Matrici invertibili . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . .
1.4.7 Diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
5
7
9
9
9
11
12
13
14
14
15
18
20
23
24
27
2 Funzioni di due variabili
2.1 De…nizioni e concetti generali . . . . . . . .
2.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Funzioni omogenee . . . . . . . . . .
2.1.3 Insiemi di due dimensioni . . . . . .
2.2 Limiti e continuità . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Derivate parziali del primo ordine .
2.3.2 Il gradiente . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Derivate parziali del secondo ordine
2.3.4 La matrice hessiana . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
31
33
35
36
38
38
38
39
40
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
INDICE
iv
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
II
2.3.5 Applicazioni economiche . . . . . . . .
Derivata totale . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Applicazione economica . . . . . . . .
Derivazione implicita . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Applicazione economica . . . . . . . .
Massimi e minimi liberi . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Massimi e minimi relativi . . . . . . .
2.6.2 Classi…cazione dei punti stazionari . .
2.6.3 Applicazione economica . . . . . . . .
2.6.4 Massimi e minimi assoluti . . . . . . .
Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . .
2.7.1 Metodo di esplicitazione . . . . . . . .
2.7.2 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
2.7.3 Applicazione economica . . . . . . . .
2.7.4 Vincolo di disuguaglianza . . . . . . .
Concavità e convessità . . . . . . . . . . . . .
Esercizi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
41
42
42
44
44
44
46
48
49
51
51
52
54
55
58
63
3 Algebra lineare
65
3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Funzioni di due variabili
85
4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Quesiti a risposta multipla
111
5.1 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Bibliogra…a essenziale
153
Prefazione
Questo Manuale, come il precedente Manuale di Matematica per le applicazioni
economiche - Calcolo in una variabile, del quale è il seguito, è …nalizzato alla
acquisizione del metodo matematico come importante strumento di indagine per
le discipline economiche.
Poiché si è voluto porre l’accento sull’uso pratico dei contenuti e delle procedure di calcolo, piuttosto che su una loro eccessiva formalizzazione, gli argomenti
sono trattati in modo elementare, fornendo de…nizioni di concetti, enunciati di
teoremi e relativa interpretazione, evitando le dimostrazioni, e molti esempi.
Il libro è strutturato in due parti. La prima è dedicata alla teoria ed a¤ronta
nel capitolo 1 l’algebra lineare, in particolare le parti relative ai sistemi lineari,
ai vettori ed alle matrici, e nel capitolo 2 le funzioni reali di due variabili reali,
allo scopo di risolvere problemi di massimizzazione e minimizzazione libera e
vincolata. Nella seconda parte vengono proposti numerosi esercizi di diversa
tipologia, quali problemi a risposta aperta e quesiti a risposta multipla, di cui
viene fornita la soluzione per facilitare gli studenti nell’apprendimento delle
tecniche risolutive.
J.G.B. - N.C.
Bolzano, ottobre 2008
vi
INDICE
Parte I
Teoria
Capitolo 1
Algebra lineare
1.1
Introduzione
Le nozioni esposte in questo primo capitolo appartengono a quella parte della
Matematica che va sotto il nome di algebra lineare. Essa ci insegnerà a lavorare
con concetti come quelli di matrice, vettore e determinante, utili nella risoluzione
di sistemi lineari, che sono presenti in moltissimi modelli matematici utilizzati
dagli economisti, ma anche impiegati nei problemi di ottimizzazione di funzioni
a più variabili.
1.2
1.2.1
Sistemi di equazioni lineari
Sistemi lineari 2
2em
n
Un’equazione lineare nelle incognite x ed y è un’equazione di primo grado che
può essere messa nella forma standard:
ax + by = c;
dove a, b e c sono costanti reali. La costante a è detta coe¢ ciente di x, la costante
b è detta coe¢ ciente di y e la costante c è detta termine noto dell’equazione.
Una soluzione dell’equazione lineare ax + by = c è una coppia ordinata di valori
(x0 ; y0 ) per cui si veri…ca l’uguaglianza ax0 + by0 = c. In questo caso si dice che
(x0 ; y0 ) soddisfa l’equazione.
Per esempio, la coppia (1; 2) è una soluzione dell’equazione lineare 3x + 2y =
7.
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni di primo grado con
le medesime incognite. In particolare, un sistema di due equazioni nelle due
incognite x ed y può essere scritto nella forma standard:
ax + by = c
;
dx + ey = f
4
1. ALGEBRA LINEARE
dove a, b, c, d, e ed f sono costanti reali. Una soluzione del sistema è una coppia
ordinata di valori (x0 ; y0 ) che soddisfa simultaneamente entrambe le equazioni
del sistema.
Per esempio, la coppia (1; 2) è una soluzione del sistema:
3x + 2y = 7
:
x 2y = 3
Infatti, essa è soluzione sia di 3x + 2y = 7 che di x 2y = 3. Viceversa,
(3; 1) non è soluzione del sistema poiché non soddisfa la seconda equazione.
Un sistema di m equazioni lineari in n incognite è chiamato sistema m n.
Esso può essere scritto nel seguente modo:
8
+ a1n xn = b1
>
> a11 x1 + a12 x2 +
>
< a21 x1 + a22 x2 +
+ a2n xn = b2
;
..
>
.
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 +
+ amn xn = bm
dove x1 ; x2 ;
; xn sono le incognite, le costanti reali aij ; i = 1;
; m; j =
1;
; n; sono i coe¢ cienti del sistema e i numeri reali b1 ; b2 ;
; bm sono i
termini noti. Se m = n, allora il sistema è detto quadrato. Una soluzione di
un sistema m n è una ennupla ordinata di valori (s1 ; s2 ; :::; sn ) che soddisfa
simultaneamente tutte le m equazioni del sistema.
Un sistema di equazioni lineari è detto omogeneo se tutti i termini noti sono
nulli. Altrimenti, il sistema è detto non omogeneo. Un sistema omogeneo ha
sempre una soluzione, detta banale, che si ottiene attribuendo il valore zero a
tutte le incognite.
Un sistema di equazioni è detto consistente se ha almeno una soluzione, mentre è detto inconsistente se non ammette soluzioni. Poiché un sistema omogeneo
ammette la soluzione banale, esso non può essere inconsistente.
Si può dimostrare che per ogni sistema di equazioni lineari si veri…ca una
delle seguenti situazioni:
1. esso non ammette nessuna soluzione;
2. esso ammette un’unica soluzione;
3. esso ammette un numero in…nito di soluzioni.
I sistemi di equazioni lineari 2 2 possono essere descritti geometricamente
interpretando ogni equazione come una retta nel piano cartesiano. In particolare, il precedente risultato può essere espresso nel modo seguente:
1. il sistema non ha soluzione se le due rette sono parallele;
2. il sistema ha un’unica soluzione se le due rette sono distinte e non parallele,
per cui si intersecano in un punto;
1.2. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
5
3. il sistema ha un numero in…nito di soluzioni se le due rette coincidono.
Esempio 1 Le rette 3x + 2y = 7 e x
2y =
3 si incontrano nel punto (1; 2):
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
1.2.2
Metodo di eliminazione di Gauss
La soluzione di un sistema quadrato di equazioni lineari si può determinare con
un procedimento di eliminazione delle incognite, detto di Gauss, attraverso il
quale il sistema viene ridotto ad una sola equazione ad una incognita.
Considerando un sistema lineare 2 2, l’algoritmo consiste in due parti:
1. moltiplicazione di ogni equazione per una costante, in modo tale che i
coe¢ cienti di una delle incognite (di solito x) siano opposti e somma delle
due equazioni in modo da ottenere una nuova equazione E avente una sola
incognita (di solito y);
2. risoluzione dell’equazione E e, ammesso che essa abbia una soluzione
unica, sostituzione del valore trovato in una delle due equazioni di partenza
per trovare il valore dell’altra incognita.
Esempio 2 Consideriamo il sistema:
6x 5y = 14
:
3x + 7y = 2
Moltiplichiamo la seconda equazione per
2:
6x 5y = 14
6x 14y =
Sommando le due equazioni, si ottiene:
0x
19y = 10:
Risolvendo rispetto ad y; si ha:
y=
10
:
19
4
:
