Definizioni e teoremi per la prova scritta. Fondamenti di Analisi

Definizioni e teoremi per la prova scritta.
Fondamenti di Analisi Matematica I – AA 2014–2015
Prof. Luca Bergamaschi
1. Teorema dei carabinieri per successsioni. Dimostrazione
2. Teorema del rapporto per successioni (PROPRIETÀ 1.10). Dimostrazione.
3. Definizione di estremo superiore ed inferiore e loro caratterizzazione (∀ε · · · )


 0
4. Definizione di limn→∞ an =
L


∞
5. (f · g)0 = · · · . Dimostrazione.
0
f
6.
= · · · . Dimostrazione.
g
n
1
7. 2 ≤ 1 +
< 3. Dimostrazione.
n
8. Esercizio 2.15.
9. f 0 (x) crescente in (a, b)
zione.
n
1
10. 1 +
è crescente.
n
=⇒
f è convessa in (a, b) (Teorema 2.2). Dimostra-
11. Teorema degli zeri di funzioni continue. Dimostrazione.
12. Dimostrare che
n
X
xk
k=0
k!
≤ ex ≤
n
X
xk
k=0
k!
+ ex
xn+1
(n + 1)!
∀x≥0 ∀n∈N
13. [(f ◦ g)(x)]0 = · · · Dimostrazione.
14. Ricavare la derivata della funzione inversa (Teorema 4.2). Usare questo risultato
per ricavare la derivata della funzione f (x) = arctan x a partire dalla derivata
della funzione f (x) = tan x.
15. Definizione di uniforme continuità. Dare un esempio di funzione continua ma non
uniformemente continua.
16. Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è integrabile. Dimostrazione.
17. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Dimostrazione
18. Regola di Barrow-Torricelli. Dimostrazione.
19. Dimostrare che data una funzione f derivabile in (a, b) e x0 ∈ (a, b), se in x0 f
assume valore massimo allora f 0 (x0 ) = 0.
20. Teorema di Weierstrass. Solo enunciato. Mostrare come togliendo una delle
ipotesi il Teorema non è più vero.
21. Teorema della media integrale. Dimostrazione
22. Teorema di Lagrange. Dimostrazione
23. Teorema de l’Hôpital. Dimostrazione
24. Polinomio di Taylor, Definizione. Dimostrazione del Teorema 8.5.
25. Resto di Lagrange della formula di Taylor. (Senza dimostrazione).
26. Ricavare la formula di Taylor per la funzione f (x) = arctan x.
27. Ricavare la formula di Taylor per la funzione f (x) = sin x.