Ottica geometrica
La luce è un’onda, ma questo non si vede in tutti i fenomeni
la direzione di propagazione rettilinea, con delle eccezioni
Per dimensioni degli oggetti e delle fenditure molto più grandi della
lunghezza d’onda, la natura ondulatoria può essere trascurata
per dimensioni inferiori, si ha diffrazione e comportamenti legati
all’ottica ondulatoria
L’ottica geometrica descrive la luce come formata da raggi che si
propagano rettilineamente
Marcello Borromeo
corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Riflessione e rifrazione
Alla superficie di separazione tra due mezzi la luce può essere riflessa
o trasmessa (rifratta)
Le regole per stabilire l’angolo di riflessione e rifrazione si possono
dedurre da principi fisici (di Huygens o di Fermat) oppure dalle
equazioni dell’elettromagnetismo
1 Il raggio incidente, riflesso e trasmesso giacciono sullo stesso piano
2 Il raggio incidente e quello riflesso fanno lo stesso angolo con la
normale
3 Il raggio incidente e quello rifratto fanno, con la normale, angoli θ e
ϕ, legati dalla relazione n1 sin(θ) = n2 sin(ϕ)
Marcello Borromeo
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Dimostrazione dal principio di Fermat
Il principio di Fermat dice che, per andare da un punto all’altro, la
luce sceglie sempre il percorso più veloce (oppure quello più lento)
Fisso due punti attraverso cui passa la luce e vario il punto della
superficie di separazione dei due mezzi dove il raggio attraversa la
superficie
Posso sempre scegliere A e B a distanza h dalla superficie, per cui
L1 cos(θ) = L2 cos(ϕ) = h
Marcello Borromeo
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La componente x della distanza tra A e B è anch’essa costante, e
vale
L1 sin(θ) + L2 sin(ϕ) = costante
Derivando rispetto a θ
L1 cos θ + L2 cos ϕ
dϕ
dϕ
= 0 = h cos2 θ + h cos2 ϕ
dθ
dθ
Il tempo impiegato per andare da A a B è
tA→B =
h
h
L1 L2
+
=
+
v1
v2
v1 cos θ v2 cos ϕ
Voglio che il tempo impiegato per andare da A a B sia minimo; posso
sempre scegliere A e B a distanza h dalla superficie
∂tA→B (θ)
h sin θ
h sin ϕ dϕ
=0=−
−
2
∂θ
v1 cos θ v1 cos2 ϕ dθ
Marcello Borromeo
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Confrontando le due equazioni si trova che
v1 sin ϕ = v2 sin θ ⇒
sin θ
sin ϕ
=
v1
v2
e quindi, definendo indice di rifrazione n = c/v
n1 sin θ = n2 sin ϕ
Marcello Borromeo
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Dispersione
In generale, l’indice di rifrazione dipende leggermente dalla frequenza
della radiazione. A parità di angolo di incidenza quindi, la luce rifratta
sarà deviata ad angoli diversi a seconda della frequenza (colore).
Questa è la dispersione della luce
La dispersione di un materiale si può misurare in base alla differenza
degli indici di rifrazione per luce blu-viola e rossa nviola − nrosso
La deviazione media si misura come ngiallo − 1
Il rapporto tra queste due grandezze da’ il potere dispersivo di uno
strumento ottico
L’arcobaleno è un fenomeno dovuto alla dispersione della luce nelle
goccioline d’acqua
Marcello Borromeo
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Indici di rifrazione tipici
Sostanza
n
Gas
1
Acqua
1.33
Acool etilico
1.36
Diamante
2.47-2.75
Vetro
1.5-1.6
Marcello Borromeo
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Angolo limite
Dalla legge n1 sin θ1 = n2 sin θ2 trovo che per n1 > n2 non è
consentito un angolo θ2 arbitrariamente grande dato che
n1
n1
sin θ2 =
sin θ1 <
n2
n2
Ne segue che per θ2 > arcsin nn21 (angolo limite) non è possibile
trasmettere la luce, che viene interamente riflessa
Nota: cosa vede un pesce che guardi verso l’alto?
Funzionamento della fibra ottica
Marcello Borromeo
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Immagini reali e virtuali
Se ci guardiamo allo specchio, vediamo la nostra immagine in una
posizione dove la luce non può arrivare
L’immagine si dice allora virtuale
Se la luce passa attraverso il luogo dove si forma l’immagine, questa è
reale. Posso mettere uno schermo o una pellicola dove si trova
l’immagine
I nostri occhi formano l’immagine di un oggetto là dove convergono i
raggi di luce provenienti da quell’oggetto
L’immagine di un oggetto che si trova
in un liquido di indice di rifrazione n,
si forma ad una profondità d/n, dove
d è la profondità dell’oggetto
Marcello Borromeo
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Prisma
Se faccio passare la luce attraverso un prisma con un angolo γ tra le
due facce, la luce che emerge non è parallela a quella incidente
La luce viene deviata di un’angolo θ1 − ϕ1 + θ2 − ϕ2
Si trova che quest’angolo ha un’unico minimo, il che implica, per
reversibilità, che ϕ1 = ϕ2 , θ1 = θ2 , γ = 2ϕ
Marcello Borromeo
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Superfici sferiche
Se la superficie di separazione dei mezzi è curva, in generale, i raggi
provenienti da un oggetto non convergeranno in un punto, a meno
che gli angoli in gioco siano piccoli
Posso definire l’asse principale come la retta che passa per in centro
di curvatura ed è perpendicolare alla superficie
Un punto si chiama fuoco principale se tutti i raggi paralleli che
vengono da questo punto vuoto, dopo la rifrazione, sono paralleli
all’asse
Un punto si dice fuoco secondario se tutti i raggi paralleli all’asse,
dopo la rifrazione convergono in questo punto
La distanza tra fuoco e superficie sferica si chiama distanza focale
Marcello Borromeo
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Formazione delle immagini
Il fuoco è il punto dove convergono esattamente i raggi solo se questi
fanno un angolo piccolo con l’asse (raggi parassiali)
In questo caso è possibile vedere come si forma un immagine,
tracciando i raggi che passano per il fuoco (paralleli) e per il centro di
curvatura (perpendicolari alla superficie)
Marcello Borromeo
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Formazione delle immagini
Per capire come si forma l’immagine dispongo una freccia
perpendicolarmente all’asse ottico e vedo dove si formano i punti
immagine di punta e coda della freccia
Dato che ogni punto forma la propria immagine dove i raggi
convergono, è sufficiente avere due raggi per vedere dove questo
avvenga
i due raggi in questione possono essere quello parallelo, che, dopo la
rifrazione, deve passare per il fuoco, e quello che passa per il centro di
curvatura, inalterato
L’ingrandimento dell’immagina è dato da d 0 /d = (i − R)/(o + R)
Marcello Borromeo
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