Proprietà elastiche dei sistemi continui
Se ho un cilindro (filo) di lugnhezza L e sezione A e applico una forza
F di trazione, il filo si allunga di una quantità ∆L sperimentalmente
data da
F
A
= Υ ∆L
L
La forza per unità di area si chiama sforzo e si misura in N/m2 = Pa
(Pascal) o in MPa. Υ si chiama modulo di Young: quanto più esso è
grande tanto più è rigido il materiale
Tipicamente, Υ per l’osso è paragonabile a quello del legno, intorno a
104 MPa, per i vasi sanguigni è un quinto di quello della gomma, circa
0.2 MPa .
Quando la deformazione supera circa lo 0,5% le ossa si rompono
Marcello Borromeo
corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Forze vincolari
Sono generalmente di origine elastica
Nella maggior parte dei casi, si possono considerare però i vincoli rigidi
La forza vincolare è sempre perpendicolare (normale) al vincolo
La forza vincolare può cambiare nel tempo se il corpo si muove o se
cambia qualche condizione esterna, in modo da bilanciare
esattamente le forze che si oppongono al vincolo
Marcello Borromeo
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Attrito - I
Tra un oggetto e il suo supporto (un tavolo, un piano inclinato) si
possono formare legami elettrici e microscopici ostacoli metallici
l’attrito, statico e cinetico, è dovuto a queste cause
Se un corpo si muove, la forza di attrito dinamico tende quindi a
frenarlo, e si trova che questa è proporzionale alla forza normale
Fattrito = µ Fnormale
ferro
legno
metallo
teflon
gomma
pietra
legno
metallo
teflon
asfalto
Statico
0.5-0.8
0.2-0.5
0.15-0.8
0.04
-
Marcello Borromeo
Radente
0.3-0.7
0.2-0.5
0.15-0.8
0.04
-
Volvente
0.005
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Attrito - II
L’attrito radente è molto più grande di quello volvente: Cosa c’entra
con le frenate?
Come varia lo spazio di frenata con la velocità?
L’attrito statico è maggiore o minore di quello radente?
L’attrito può fare lavoro?
Marcello Borromeo
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Risposte
Se l’attrito radente (cinetico) fosse minore di quello volvente,
premendo il pedale del freno l’auto si fermerebbe in un tempo
maggiore, perché il freno blocca le ruote
Se freno compio un moto uniformemente accelerato con accelerazione
negativa. Lo spazio percorso è dato da
vf2 − vi2 = −2a∆x
vf = 0 quando l’auto si ferma, da cui vediamo che lo spazio di frenata
è proporzionale al quadrato della velocità
L’attrito statico è definito da
Fattr ≤ µs FN
Se fosse minore di quello cinetico, appena la forza diventasse
abbastanza grande da muovere il corpo, l’attrito diventerebbe cinetico
e il corpo si fermerebbe nuovamente. Perciò
µ s ≥ µk
Marcello Borromeo
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Piano inclinato
Il moto lungo un piano inclinato senza attrito è aceclerato con
accelerazione a = g sin(θ)
Se c’è attrito la forza normale deve bilanciare la componente del peso
perpendicolare al piano FN = mg cos(θ)
La forza di attrito cinetico vale quindi Fa = µk mg cos(θ)
Il moto è quindi uniformemente accelerato con accelerazione
a = g sin(θ) − µk g cos(θ)
Marcello Borromeo
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Attrito cinetico
Il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione negativa data
dalla forza di attrito Fa = µk m g .
La velocità cambia quindi con la legge
v = v0 − µk gt
il corpo si ferma quando la sua velocità diventa nulla, quindi al tempo
t = v0 /µk g
Il lavoro fatto dalle forze di attrito è
W = Fa · ∆x = −µk m gv0 t
ed è quindi negativo
Marcello Borromeo
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Viscosità
Un oggetto in moto in un fluido è soggetto ad attrito viscoso
Lo stesso vale se si muove il fluido e l’oggetto è fermo
Perché la velocità dei fiumi è maggiore al centro?
La legge dell’attrito viscoso è
~fV = −kη v~R
k dipende dal corpo (6πR per una sfera di raggio R)
η dipende solo dal liquido
L’attrito viscoso non dipende quindi dal rapporto fluido-solido, ma dai
due in modo indipendente.
Marcello Borromeo
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Conservazione dell’energia
applicazioni
1
Trovare la velocità di un oggetto che cade da un altezza h in ogni
istante, prima che tocchi il terreno
2
Trovare la velocità di fuga dalla Terra
3
trovare la velocità di un corpo attaccato a una molla, in funzione delle
cooordinate (e non del tempo)
4
Se una palla perde il 10% della sua energia meccanica rimbalzando,
trovare a che altezza può risalire se inizialmente è partita da h
Marcello Borromeo
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Soluzioni
Problema 1
La forza che agisce in questo problema è quella di gravità, che è
conservativa
La forza si può considerare costante, per cui l’energia potenziale è
mgy
L’energia meccanica è tutta potenziale alla partenza (y0 = h, v0 = 0)
mentre, durante il moto, è sia potenziale che cinetica
applicando la conservazione del’energia:
1
mv (t)2 + mgy = mgh
2
per cui
p
1
mv (t)2 = mg (h − y ) ⇒ v (t) = 2g (h − y )
2
Marcello Borromeo
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Soluzioni
Problema 2
la gravità non può essere considerata costante, perché la sua
accelerazione va da g a zero (all’infinito)
L’energia potenziale che si deve usare è quindi
U(r ) = G
MT m
r
Inizialmente r = RT mentre alla fine r = ∞. La differenza di neenrgia
potenziale è perciò
∆U = G
MT m
MT m
−0=G
RT
RT
La velocità minima vfuga è quella che consente di arrivare all’infinito
con velocità nulla
s
M
m
2GMT
T
2
2
1
mvfuga
+G
= 21 mv∞
= 0 ⇒ vfuga =
≈ 11 km/s
2
RT
RT
Marcello Borromeo
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Soluzioni
Problema 3
So che
x(t) = A cos(ωt + ϕ)
Ottengo la velocità derivando rispetto al tempo
v (t) =
dx(t)
= −ωA sin(ωt + ϕ)
dt
Voglio ora mettere in relazione v (t) con x(t). Per farlo mi ricordo che
sin(x)2 + cos(x)2 = 1
q
q
2
2
2
v (t) = −ω A − A cos (ωt) = −ω A2 − x(t)2
Marcello Borromeo
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Soluzioni
Problema 4
Inizialmente l’energia potenziale è mgh e l’energia cinetica è nulla
Un attimo prima del rimbalzo tutta l’energia è diventata cinetica e,
dato che le forze sono conservative, deve uguagliare l’energia
potenziale iniziale
K = mgh
Subito dopo il rimbalzo l’energia è ancora tutta cinetica, ma è ridotta
del 10%, cioè è il 90 % di quella iniziale
K 0 = 0.90 mgh
Se risalgo al massimo fino ad un’altezza h0 , in questo punto la
velocità deve essere nulla, quindi l’energia potenziale nel punto di
arrivo deve uguagliare quella cinetica subito dopo il rimbalzo
mgh0 = K 0 = 0.90K = 0.90 mgh ⇒ h0 = 0.90 h
Marcello Borromeo
corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
