Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
Unità Didattica N° 38
Calcolo approssimato delle radici dell’equazione f(x) = 0
01) La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0
02) Metodo grafico per la separazione delle radici reali dell’equazione
f ( x) = 0
03) Teorema di esistenza della radici dell’equazione f (x ) = 0
04) Metodo delle tangenti
o
di
Newton-Fourier
05) Metodo delle corde o delle secanti o delle parti proporzionali
06) Metodo di bisezione o metodo dicotomico
Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0
In questa unità didattica analizzeremo i principali metodi per la risoluzione approssimata delle
equazioni algebriche o trascendenti
f (x ) = 0
con
f (x ) funzione reale , algebrica o
trascendente , della variabile reale x .
La risoluzione approssimata dell’equazione f ( x ) = 0 passa attraverso le seguenti fasi :
01) Limitazione delle radici :
occorre determinare un intervallo di numeri
reali [ A , L]
contenente tutte le radici reali dell’equazione proposta
02) Enumerazione delle radici : bisogna stabilire quante sono le radici reali dell’equazione
f ( x ) = 0 appartenenti all’intervallo [ A , L]
03) Separazione delle radici : occorre determinare degli intervalli [a , b] ognuno dei quali
contiene una sola radice dell’equazione proposta
04) Approssimazione delle radici :
approssimare
una radice reale dell’equazione
f ( x ) = 0 significa trovare un numero , con un predeterminato numero di cifre decimali , che
approssima la radice con la precisione richiesta .
Metodo grafico per la separazione delle radici reali
dell’equazione f ( x ) = 0
-1
•
x1
• o
x2
x3
•
x4
La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0
•
1
Pagina 2
Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
Un primo metodo grafico consiste nel tracciare la curva di equazione y = f ( x ) ed annotare gli
intervalli che contengono una sola intersezione della curva con l’asse delle ascisse . Con questo
procedimento otteniamo la limitazione delle radici reali e la separazione delle radici reali .
f (x ) = 64x 4 − 60x 2 − 4 x + 1 = 0 ,
(
)
f ′( x ) = 4 64 x 3 − 30 x − 1
(
)
f ′′( x ) = 24 32 x 2 − 5
,
Abbiamo così limitato e separato le radici reali dell’equazione f (x ) = 64x 4 − 60x 2 − 4 x + 1 = 0
Un secondo metodo grafico è quello di scrivere la funzione f ( x ) come differenza di due funzioni
g( x ) ed h( x ) sicché l’equazione proposta assume la forma
g( x ) − h( x ) = 0
e quindi
g( x ) = h( x ) . Poi si costruiscono le curve σ e γ aventi rispettivamente equazioni y = g( x ) e
y = h( x ) .
⎧⎪ y = g( x ) σ
⎨
⎪⎩ y = h( x ) γ
Le soluzioni dell’equazione f ( x ) = 0 coincidono con le
ascisse dei punti comuni alle curve σ e γ .
f (x ) = 64 x 4 − 60 x − 4x + 1 = 0
2
y = 64 x − 60 x = 4 x −1
4
2
⎧ y = 64 x 4 − 60 x 2
⎨
⎩ y = 4x −1
Dalle intersezioni delle due curve deduciamo che l’equazione proposta ammette 4 radici comprese
tra i numeri − 2 e + 2 ( tra i numeri − 1 e + 1 se notiamo che f ( −1) ⋅ f (1) < 0 ) .
y = 64 x 4 − 60 x 2
•
x1
y = 4x − 1
x2 o x3
•
•
x4
•
Nel caso della nostra equazione é preferibile utilizzare il secondo metodo grafico , in quanto col
primo non siamo in grado di trovare i punti stazionari della funzione .
La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0
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Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
Teorema di esistenza della radici dell’equazione
y
Se f ( x ) è continua nell’ intervallo limitato
f (a) ⋅ f (b) <0
+
-
e chiuso [a , b] e se agli estremi di tale
intervallo assume valori di segno opposto
( f (a ) ⋅ f (b ) < 0
f (x ) = 0
)
,
allora
l’equazione
ammette almeno una radice
f (x ) = 0
f(a)
•
x1
• •
o
a
-
+
•
x2
b
•
x3
•
x
• f(b)
interna all’intervallo [a , b] .
Questo teorema ci assicura l’esistenza di almeno una radice in un dato intervallo , ma non ne
garantisce l’unicità .
Se poi la funzione f ( x ) è strettamente monotona
1
in [a , b] allora
l’equazione f ( x ) = 0 ammette una sola radice interna all’intervallo [a , b] .
Resta così giustificato il seguente :
Primo teorema dell’unicità della soluzione dell’equazione
f (x ) = 0
Se f ( x ) è una funzione continua nell’intervallo limitato e chiuso [a , b] e derivabile nei suoi
punti interni , se risulta f (a ) ⋅ f (b) < 0 e se f ′( x ) ≠ 0 nell’intervallo aperto ]a , b[ , allora
l’equazione f ( x ) = 0 ammette una sola soluzione interna ad [a , b] .
y
f ( a ) ⋅ f (b ) < 0
o
+
-
-
+
a
•
f ′( x ) > 0 ∀x ∈]a, b[
• f(b)
f ′′( x ) > 0 ∀x ∈]a, b[
x1
•
•
b
x
•
f(a)
Secondo teorema dell’unicità della soluzione dell’equazione
f (x ) = 0
Se f ( x ) è una funzione continua nell’intervallo limitato e chiuso [a , b] e derivabile due volte
nei punti interni di tale intervallo , se risulta f (a ) ⋅ f (b) < 0 e se f ′′( x ) è sempre positiva o
sempre negativa nell’intervallo ]a , b[ , allora l’equazione f ( x ) = 0 ammette una sola
soluzione interna ad [a , b] .
1
Strettamente crescente o strettamente decrescente
Teorema di esistenza delle radici dell'equazione f(x) = 0
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Metodo delle tangenti
o
di
Newton-Fourier
Supponiamo di avere separato nell’intervallo [a , b] la radice reale semplice α dell’equazione
f ( x ) = 0 e supponiamo che essa sia unica . Questo significa che le funzioni f ′( x ) ed f ′′( x )
hanno, nell’intervallo [a , b] , segno costante , cioè la funzione f ( x ) è strettamente monotona e
priva di punti di flesso . Si possono presentare i seguenti quattro casi :
f ( a ) ⋅ f ′′( a ) > 0
+
+
y
y
f ( a ) ⋅ f ′′( a ) > 0
-
A
•
b)
a = punto di Fourier
• B
a = punto di Fourier
α
a
o
•
b
a)
y
o
• B
y
α
• b
c)
x
b
b = punto di Fourier
f (b) ⋅ f ′′(b ) > 0
+ +
b = punto di Fourier
a
a •
A•
f (b) ⋅ f ′′(b) > 0
A•
o
α
x
x
o
•
•B
•α
a
x
b
d)
A•
Considerati i punti A[a , f (a )] , B[b, f (b)] diremo estremo di Fourier quello dei due estremi
dell’intervallo [a , b] nel quale f ( x ) ed f ′′( x ) hanno lo stesso segno , cioè :
f (a ) ⋅ f ′′(a ) > 0 ⇒ a è estremo di Fourier
f (b) ⋅ f ′′(b) > 0 ⇒ b è estremo di Fourier
Supponiamo , per fissare le idee , che a sia l ‘estremo di Fourier . Scriviamo l’equazione della
retta tangente al grafico della funzione f ( x ) nel punto A[a , f (a )]
Tale tangente incontra l’asse x nel punto di ascissa
y − f ( a ) = f ′( a ) ⋅ ( x − a )
x = x1 = a −
Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier
f (a )
f ( xo )
= xo −
f ′(a )
f ′( xo )
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Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
Risulta
a < x1 < α < b
con f ( x1 ) ⋅ f ′′( x1 ) > 0 cioè con x1 estremo di Fourier relativo
all’intervallo [ x1 , b] . Applicando lo stesso procedimento all’intervallo [ x1 , b] otteniamo :
x2 = x1 −
f ( x1 )
f ′(x1 )
a < x1 < x2 < α < b
con
Applicando lo stesso procedimento all’intervallo [ x2 ,b] otteniamo :
x3 = x2 −
f ( x2 )
f ′( x2 )
a < x1 < x2 < x3 < α < b
con
Applicando lo stesso procedimento all’intervallo [ x3 ,b] otteniamo :
x 4 = x3 −
f (x 3 )
f ′(x 3 )
con
a < x1 < x2 < x3 < x4 < α < b
Iterando il procedimento n volte otteniamo :
oppure :
⎧a = xo
⎪
f (xn−1 )
⎨
⎪ xn = xn−1 − f ′(x )
n −1
⎩
con
n = 1, 2 , 3 ,"" ed
⎧a = xo
⎪
f ( xn )
⎨
⎪ xn +1 = xn − f ′( x )
n
⎩
con
n = 0 ,1 ,2,3,""
xn − 1 = a
ed
xn = a
Il metodo delle tangenti nel caso in cui a è l’estremo di Fourier fornisce dei valori di xn
approssimati per difetto della radice α .
Se l’estremo di Fourier è b [ f (b) ⋅ f ′′(b) > 0 ] perveniamo alla formula :
⎧b = xo
⎪
f (xn−1 )
⎨
x
x
=
−
n
n
−
1
⎪
f ′(xn−1 )
⎩
con
n = 1, 2 , 3 ,"" ed
Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier
xn − 1 = b
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⎧b = xo
⎪
o , alla sua equivalente , ⎨
f ( xn )
⎪ xn + 1 = xn − f ′(x )
n
⎩
x1 = b −
f (xo )
f (b )
= xo −
f ′(b )
f ′(xo )
,
f (x1 )
f ′(x1 )
x2 = x1 −
n = 0 ,1 ,2,3,"" ed
con
,
x3 = x2 −
ed i valori xn sono valori approssimati per eccesso della radice
f ( x2 )
f ′(x2 )
xn = b
,
x4 = x3 −
f (x3 )
f ′(x3 )
x = α .
La condizione di arresto può essere data sotto la forma xn − xn −1 < ε = 10− m .
Riepilogo delle formule trovate :
⎧ xo = a = estremo di Fourier
⎪
f xn −1
⎨
x
=
x
−
−
1
n
n
⎪
f ′ xn −1
⎩
( )
( )
f (a ) ⋅ f ′′(a ) > 0
n = 1, 2 , 3 ,""
⎧ xo = b = estremo di Fourier
⎪
f xn −1
⎨
x
=
x
−
−
n
n
1
⎪
f ′ xn −1
⎩
( )
( )
f (b) ⋅ f ′′(b) > 0
n = 1, 2 , 3 ,""
f ( x ) = 64 x 2 − 60 x 2 − 4 x + 1
(
)
f ′′( x ) = 24 32 x 2 − 5
x1 = b −
x3 = x2 −
α ∈]0,5;1[
(
)
f ′( x ) = 4 64 x 3 − 30 x − 1
f (1) ⋅ f ′′(1) > 0
xo =b = 1
f ( x1 )
f (b)
f (1)
=1−
= 0,992424 , x2 = x1 −
= 0,9922789
f ′(b)
f ′(1)
f ′( x1 )
f ( x2 )
= 0,99227884
f ′( x2 )
x3 − x2 = 0,00000005 Questo significa che le prime 7
cifre decimali sono sicuramente esatte .
Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier
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Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
Metodo delle corde o delle secanti o delle parti proporzionali
Supponiamo di avere separato nell’intervallo [a , b] la radice reale semplice α dell’equazione
f ( x ) = 0 e supponiamo che essa sia unica . Questo significa che :
01) f (a ) ⋅ f (b ) < 0
02) le funzioni f ′( x ) ed f ′′( x ) hanno , nell’intervallo [a , b] , segno costante , cioè la funzione
f ( x ) è strettamente monotona e priva di punti di flesso .
Sotto queste condizioni , per il grafico γ della funzione f ( x ) relativamente all’intervallo [a , b] ,
può presentarsi soltanto uno dei quattro casi indicati nelle seguenti figure .
f (a ) ⋅ f ′′(a ) > 0
y
f (b) ⋅ f ′′(b) < 0
B1
f ( a ) ⋅ f ′′( a ) > 0
y
b)
A
•
• B
f (b) ⋅ f ′′(b) < 0
•
α
o
a •
x2
x1
x
b
α
o
A•
f (b) ⋅ f ′′(b) > 0
f ( a ) ⋅ f ′′(a ) < 0
o
a
A•
x1
x2
•α
•
• B
f (b) ⋅ f ′′(b) > 0
y
f ( a ) ⋅ f ′′( a ) < 0
A•
•B
A1
•
α
b
d)
x
o
x
b
•
B1
a)
y
x1
• x
2
a
a
x1
c)
x2 • b
x
•
Col metodo delle corde sostituiamo il grafico della funzione f ( x ) con la retta passante per i
punti A[a , f ( a )] , B[b, f (b)] . Il grafico di f ( x ) incontra l’asse delle ascisse nel punto x = α che
è l’unica radice dell’equazione f ( x ) = 0 interna all’intervallo [a , b] . La retta AB incontra l’asse x
nel punto x1 ∈ ]a , b[ che rappresenta un valore approssimato 2 di α .
La retta AB ha equazione
Metodo delle corde o delle secanti
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y − f (a ) =
[1]
f (b) − f (a )
f (b) − f ( a )
⋅ ( x − a ) oppure : y − f (b) =
⋅ ( x − b)
b − a
b − a
x = x1 = a −
b − a
⋅ f (a )
f (b) − f ( a )
x = x1 = b −
oppure
y = 0 ⇒
b − a
⋅ f (b) [2]
f (b) − f (a )
Utilizzeremo la formula [1] nei casi indicati nelle figure c) e d) , utilizzeremo la formula [2] nei casi
indicati nelle figure a) e b) .
Applicando n volte il metodo delle corde o delle secanti otteniamo il seguente schema iterativo :
01) f (b) ⋅ f ′′(b) > 0
⇒ xo = a
⇒ approssimazione per difetto
x1 = xo −
b − xo
b − a
⋅ f (xo ) = a −
⋅ f (a )
f (b ) − f (xo )
f (b ) − f (a )
x2 = x1 −
b − x1
⋅ f ( x1 )
f (b ) − f ( x1 )
x3 = x2 −
b − x2
⋅ f ( x2 )
f (b ) − f ( x2 )
•
•
xo = a x1
•
•
xo = a x1
b − xn−1
⋅ f ( xn−1 )
f (b ) − f ( xn−1 )
xn = xn−1 −
02) f (a ) ⋅ f ′′(a ) > 0
•
•
xo = a x1
⇒ xo = b
n = 1, 2 , 3 ,""
•
a
x1 − a
⋅ f ( x1 )
f (x1 ) − f (a )
•
a
α
x3 = x2 −
x2 − a
⋅ f (x2 )
f ( x2 ) − f (a )
•
a
α
2
xn−1 − a
⋅ f ( xn−1 )
f ( xn−1 ) − f (a )
•
x3
α
•
•
b
•
•
b
α
⇒ approssimazione per eccesso
x2 = x1 −
xn = xn−1 −
•
x2
•
x2
•
b
[1]
xo − a
b − a
⋅ f (xo ) = b −
⋅ f (b )
f (xo ) − f (a )
f (b ) − f (a )
x1 = xo −
•
α
n = 1, 2 , 3 ,""
α•
•
•
•
x3
•
x1
•
b = xo
•
x2
•
x1
•
b = xo
•
x2
•
x1
•
b = xo
[2]
Per eccesso o per difetto
Metodo delle corde o delle secanti
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Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
Individuata la formula da applicare occorre porre termine alle iterazioni fissando la precisione ε
con la quale si vuole approssimare la radice α . Le iterazioni hanno termine quando risulta
xn − xn−1 < ε avendo scelto xn come valore approssimato ( per eccesso o per difetto ) della radice
α . L’errore che si commette è minore di ε . Se risulta ε = 10− n allora le prime n cifre decimali di
xn sono esatte .
L’equazione f ( x ) = x3 + 3 x + 5 = 0 ammette una sola radice α ∈] − 2;−1[ . Calcolare un
valore approssimato di α con la precisione ε = 10−2 ( cioè con due cifre decimali
esatte ) utilizzando il metodo delle corde .
f ( x ) = x 3 + 3x + 5 , f ′( x ) = 3 x 2 + 3 , f ′′( x ) = 6 x , f ′( x ) > 0
f ′′( x )< 0
∀ x∈] − 2;−1[
f (− 2 ) = − 9 , f (− 1) = 1
,
∀ x∈] − 2;−1[
f (− 2 ) ⋅ f (− 1)< 0
f (a ) ⋅ f ′′(a ) = f (− 2 ) ⋅ f ′′(− 2) > 0 , f (b ) ⋅ f ′′(b ) = f (− 1) ⋅ f ′′(− 1)< 0
Per calcolare un valore approssimato di α utilizzeremo la formula [2] .
x1 = a −
b − a
−1 + 2
−1 + 2
⋅ f (a ) = − 1 −
⋅ f (− 1) = − 1 −
⋅1 = − 1,1
f (b ) − f (a )
f (− 2 ) − f (− 1)
1+ 9
f ( x1 ) = f (− 1,1) = 0,369
x2 = x1 −
0,9
− 1,1 + 2
x1 − a
⋅ f ( x1 ) = − 1,1 −
⋅ 0,369 = − 1,1 −
⋅ 0,369 = − 1,1354
0,369 + 9
9,369
f (x1 ) − f (a )
x2 − x1 =1,1354 −1,1= 0,0354 >10−2 = 0,01
x3 = x2 −
− 1,1354 + 2
x2 − a
⋅ f (x2 ) = − 1,1354 −
⋅ 0,1301 = − 1,1354 − 0,023 = − 1,1477
0,1301 + 9
f (x2 ) − f (a )
x3 − x2 =1,1477 −1,1354 = 0,0116 >10−2 = 0,01
x4 = x3 −
f ( x2 ) = f (− 1,1354 ) = 0,1301
f ( x3 ) = f (− 1,1477 ) = 0,0451
x3 − a
− 1,1477 + 2
⋅ f ( x3 ) = − 1,1477 −
⋅ 0,0451 = − 1,1477 − 0,004249 = − 1,1519
f ( x3 ) − f (a )
0,0451+ 9
x4 − x3 =1,1477 −1,1434 = 0,0043 <10−2 = 0,01
α = − 1,15 è un valore approssimato della radice α con due cifre decimali esatte .
α = − 1,154171495 è un valore approssimato di α con 9 cifre decimali esatte .
Metodo delle corde o delle secanti
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Metodo di bisezione o metodo dicotomico
Supponiamo che l’equazione f ( x ) = 0 ammetta la soluzione x =α ∈]a,b[ e che essa sia unica .
Questo significa che risulta f (a ) ⋅ f (b) < 0 e la funzione f ′( x ) ha segno costante in ]a,b[ .
• Per generalizzare il processo di iterazione poniamo :
x1 =
a1 = a , b1 = b e calcoliamo
Calcoliamo f (a1 )= f (a )
,
dell’equazione f ( x ) = 0 è
f ( x1 )
f (b1 )= f (b )
,
α = x1 =
a + b
a + b1
= 1
2
2
f (x1 )= 0 la soluzione
Se risulta
a + b a1 + b1
=
, in caso contrario essa
2
2
appartiene
all’intervallo ]a, x1[ o all’intervallo ]x1,b[ .
f (a ) ⋅ f (x1 )< 0
⇒
f ( x1 ) ⋅ f (b )< 0
α ∈]a,x1[
⇒
α ∈]x1,b[
Se , ad esempio , risulta f ( x1 ) ⋅ f (b )< 0 allora poniamo a2 = x1 , b2 = b e ci calcoliamo x2 =
a2 + b2
e
2
si continua l’iterazione scegliendo dei due sottointervalli ]a2 ,x2 [ o ]x2 ,b2 [ quello nei cui estremi la
funzione assume valori di segno opposto . Si procede con l’iterazione sino ad ottenere
l’approssimazione desiderata . Otteniamo una successione di sottointervalli ognuno contenuto nel
precedente e di ampiezza uguale alla metà .
b2 − a2 =
bn − 1 − an −1
b1 − a1
b −a
b −a
, b3 − a3 = 2 2 , b4 − a4 = 3 3 , ... , bn − an =
2
2
2
2
bn − an =
L’ultimo sottointervallo determinato ha ampiezza :
• Se scegliamo
x = α = xn =
an + bn
2
b − a
2n
come valore approssimato della radice
dell’equazione commettiamo un errore En dato dalla seguente relazione :
En ≤
b − a
2n
Il procedimento di iterazione può essere realizzato attraverso il seguente schema :
Metodo di bisezione o metodo dicotomico
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Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0
iterazioni
an
bn
xn =
an + bn
2
f (an )
f ( xn )
f (bn )
1
a1 = a
b1 = b
x1 =
a1 + b1
2
f (a1 )> 0
f (x1 )< 0
f (b1 )< 0
2
a2 = a1
b2 = x1
x2 =
a2 + b2
2
f (a2 )> 0
f (x2 )< 0
f (b2 )< 0
3
a3 = a2
b3 = x2
x3 =
a3 + b3
2
f (a3 )> 0
f (x3 )> 0
f (b3 )> 0
64 x 4 − 60 x 2 − 4 x +1= 0
f (0,5) ⋅ f (1) < 1
,
an + b2
2
,
f (α ) = 0
,
α ∈ ]0,5 ,1[
f (an )
f ( xn )
f (bn )
f (0,5) < 0
f (0,75) < 0
f (1) > 0
x2 =0,875
f (a2 )<0
f (x2 )<0
f (b2 )>0
b3 =1
x3 =0,9375
f (a3 )<0
f (x3 )<0
f (b3 )>0
a4 = 0,9375
b4 =1
x4 =0,96875
f (a4 )<0
f (x4 )<0
f (b4 )>0
5
a5 =0,96875
b5 =1
x5 =0,984375
f (a5 )<0
f (x5 )<0
f (b5 )>0
6
a6 =0,984375
b6 =1
x6 =0,992187
f (a6 )<0
f (x6 )<0
f (b6 )>0
7
a7 =0,992187
b7 =1
x7 =0,996093
f (a7 )<0
f (x7 )>0
f (b7 )>0
8
a8 =0,992187
b8 =0,996093
x8 =0,994139
f (a8 )<0
f (x8 )>0
f (b8 )<0
9
a9 =0,992187
b9 =0,999439
x9 =0,995115
f (a9 )<0
f (x9 )>0
f (b9 )<0
10
a10 =0,992187 b10 =0,995115
x10 =0,993651
f (a10 )<0
f ( x10 )>0
f (b10 )<0
11
a11 =0,992187
b11 =0,993651
x11 =0,992919
f (a11 )<0
f (x11 )>0
f (b11 )<0
iterazione
an
bn
xn =
1
a1 =a=0,5
b1 =b =1
x1 =
2
a2 = 0,75
b2 =1
3
a3 = 0,875
4
E10 ≤
x11 = 0,992919
0,5+1
=0,75
2
b − a 1− 0,5 0,5
= 11 =
= 0,000244
2n
2
2048
solo le prime tre cifre decimali sono sicuramente esatte
Metodo di bisezione o metodo dicotomico
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