Matematica 2
SINTESI
Unità 11
Similitudini piane e applicazioni
FIGURE SIMILI
Due o più figure si dicono simili se hanno la stessa forma.
POLIGONI SIMILI
Due poligoni si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti proporzionali:
Xl;
W=X
W
W= Y
A
Al;
B
Bl;
CV = C
D =Y
Dl
D
A
C'
D'
C
B
A'
B'
AB
BC
CD
DA
=
=
=
AlBl
BlCl
ClDl
DlAl
In particolare:
Due poligoni regolari, che hanno uno stesso numero di lati, sono simili.
RAPPORTO DI SIMILITUDINE
Il rapporto fra i lati corrispondenti di due poligoni simili presi in un certo ordine è
costante e si dice rapporto di similitudine fra i due poligoni:
D
A
AB
BC
CD
DA
=
=
=
=k
AlBl
BlCl
ClDl
DlAl
C'
D'
C
B
A'
B'
Se il rapporto di similitudine tra la figura trasformata Fl e la figura data F è uguale a k, le lunghezze della
figura trasformata Fl si ottengono moltiplicando per il rapporto k le lunghezze dei segmenti corrispondenti
della figura data F.
La congruenza di due figure è un caso particolare della similitudine: se il rapporto di similitudine è uguale
a 1, le due figure sono congruenti.
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RAPPORTO DI SIMILITUDINE = k
AlBl
=k21
AB
AlBl
=k=1
AB
AlBl
=k11
AB
AlBl 2 AB
Fl è ingrandita rispetto a F
AlBl = AB
Fl è congruente a F
AlBl 1 AB
Fl è ridotta rispetto a F
PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli rispettivamente congruenti:
Xl
V= C
W=X
W= Y
A
Al;
C
B
Bl;
A'
A
B
B'
C
C'
SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono simili se un angolo di uno di essi è congruente a un angolo
dell’altro e se sono proporzionali i lati che li comprendono:
W= Y
AB : AlBl = AC : AlCl
A
Al;
A'
A
B
B'
C
C'
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Matematica 2
TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali:
AB : AlBl = BC : BlCl = CA : ClAl
A'
A
B
B'
C
Il rapporto fra due altezze corrispondenti di due triangoli simili è uguale al rapporto fra due lati corrispondenti qualsiasi, cioè al rapporto di similitudine:
AH : AlHl = BC : BlCl
C'
A
A'
B
H
C
B'
H'
C'
Il rapporto fra i perimetri di due poligoni simili è uguale al rapporto fra due lati corrispondenti, cioè al rapporto di similitudine:
p : pl = AB : AlBl
Il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto fra due lati corrispondenti,
cioè al quadrato del rapporto di similitudine:
A : Al = k2 (essendo k il rapporto di similitudine)
PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
A
In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa:
BC : AB = AB : BH
BC : AC = AC : HC
AB2 = BC # BH
H
C
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Interpretazione geometrica del teorema
B
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente
al rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
AC 2 = BC # HC
SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa:
BH : AH = AH : HC
Interpretazione geometrica del teorema
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:
AH 2 = BH # HC
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Matematica 2
Si dice omotetia di centro O e di rapporto k la corrispondenza biunivoca che fa corrispondere a ogni
punto P di una figura il punto Pl di un’altra figura in modo che i punti P e Pl siano allineati con O e che il
rapporto fra i segmenti OPl e OP sia costante.
Tale rapporto costante
OPl
= k si dice rapporto di omotetia.
OP
OMOTETIA DIRETTA
OMOTETIA INVERSA
C
A
A'
B
O
B'
OAl
OBl
OCl
1
=
=
= k =OA
OB
OC
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TEOREMA DI TALETE
Un fascio di rette parallele intersecate da due trasversali determina su
una trasversale segmenti direttamente proporzionali ai segmenti corrispondenti dell’altra trasversale:
AB : BC = AlBl : BlCl
BC : AD = BlCl : AlDl
AB : DE = AlBl : DlEl
....................................
A
B
a
b
C
c
d
e
D
E
A'
B'
C'
D'
E'
Fascio di rette parallele
OAl
OBl
OCl
1
=
=
=k=
OA
OB
OC
2
A
C'
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sale
sver
Tra
le
C
Trasversa
O
C'
A'
B
B'
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