LA SIMILITUDINE
La similitudine è una trasformazione geometrica non isometrica che fa corrispondere
a una figura F una figura F1 che ha la stessa forma ma non necessariamente le stesse
misure
Sono esempi di figure isometriche due foto di uno stesso soggetto ma con
ingrandimento diverso; due mappe dello stesso luogo ma con scala diversa; due
quadrati con lato diverso, ecc…
Due poligoni simili hanno l’ampiezza degli angoli corrispondenti uguali e il
rapporto tra i lati corrispondenti costante (k) , questo rapporto è detto
rapporto di similtudine.
Nel caso della nostra figura avremo:
Aˆ = Aˆ 1 ; Bˆ = Bˆ 1 ; Cˆ = Cˆ 1 ; Dˆ = Dˆ 1 ; Eˆ = Eˆ 1
A1 B1 B1C 1 C 1 D1 D1 E 1 E 1 A1
1
=
=
=
=
=k =
AB
BC
CD
DE
EA
2
CRITERI DI SIMILITUDINE
I Criteri di similitudini valgono solo per i triangoli e servono a stabile se due
triangoli sono simili confrontando solo tre elementi (non sei).
1° criterio: Due triangoli sono simili se hanno tutti gli angoli corrispondenti
congruenti
2°criterio: Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e l’angolo compreso
congruente
3°criterio. Due triangoli sono simile se hanno i lati corrispondenti in proporzione
CARATTERISTICHE DEI POLIGONI SIMILI
Se due poligoni sono simili il rapporto di similitudine è valido per tutti i loro elementi,
quindi si possono creare proporzioni in cui termini sono i lati corrispondenti con le altezze
o i perimetri o il rapporto di similitudine.
Es : A1B1: AB = B1C1: BC
Oppure A1B1: AB = 1:4.
Oppure : A1B1: AB = 2p1 : 2p Oppure A1B1: AB = h1: h
1
(con k = 4 )
La relazione tra le aree invece è in rapporto con il quadrato del rapporto di
similitudine: A1 : A = 1 : 16 Oppure A1: A = (A1B1)2: (AB)2
B
A
B1
C
A1
C1
TEOREMI DI EUCLIDE
I teoremi di Euclide sono due, utilizzano gli strumenti della similitudine e si applicano sui
triangoli rettangoli:
1° Teorema : Considerando che i triangoli ABC e ACH sono simili secondo il 1° criterio di
similitudine, considerando la corrispondenza dei lati opposti agli angoli corrispondenti
congruenti risulta vera la seguente proporzione:
HC : AC = AC : BC
Quindi un cateto è medio proporzionale tra
l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa
La stessa dimostrazione è valida per il cateto AB, in tal caso la similitudine secondo il
1° criterio è tra il triangolo ABC e ABH, la proporzione sarà:
BH : AB = AB : BC
2° Teorema di Euclide: Poiché i triangoli AHC e HBC sono simili per il 1° criterio di
similitudine è vera la seguente proporzione:
B H : AH = AH : HC
L’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa
I teoremi di Euclide hanno anche una spiegazione geometrica:
Nel caso del 1° teorema si può dimostrare che il quadrato costruito su un cateto è
equivalente a un rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quel
cateto sull’ipotenusa.
Nel caso del 2° teorema si può dimostrare che il quadrato costruito sull’altezza relativa
all’ipotenusa è equivalente a un rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa
SIMILITUDINE E OMOTETIA
Due figure simili sono omotetiche se:
a. F e F1 sono simili
b. Hanno i lati corrispondenti paralleli
c. Le rette che passano per i punti corrispondenti convergono in un unico punto :
centro di omotetia
figura1
figura 2
Nella figura 1 l’omotetia è diretta perché T e T1 sono dalla stessa parte rispetto al centro,
il k>1, è un ingrandimento.
Nella figura 2 l’omotetia è inversa perché T e T1 sono dalla parte opposta rispetto al
centro, il k<1, è una riduzione.
