riassunto - Zanichelli online per la scuola

CAPITOLO
D 4
Le trasformazioni geometriche:
omotetie e similitudini
RIASSUNTO
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TEORIA
ESEMPIO
Le omotetie sono trasformazioni che, fissato un centro di omotetia O e un fattore k diverso da 0, associano a ogni punto del piano P un punto corrispondente
Pl sulla retta OP, in modo che OPl = k $ OP.
P
P'
O
Due figure si dicono simili quando hanno la stessa
forma.
Due poligoni sono simili quando hanno gli angoli
uguali e i lati in proporzione.
C
D
C'
D'
B
A
B'
A'
W =A
Wl
A
CW = CW l
BV = BV l
W=D
Wl
D
AB
BC
CD
DA
=
=
=
Al Bl
Bl C l
C l Dl
Dl Al
Criteri di similitudine dei triangoli
1. Due triangoli sono simili quando hanno gli angoli
corrispondenti congruenti.
C
C'
A
2. Due triangoli sono simili quando hanno un angolo dell’uno congruente a un angolo dell’altro, e in
proporzione i lati che lo delimitano.
A'
B
C
W =A
Wl
A
BV = BV l
CW = CW l
B'
C'
A
A'
B
C
3. Due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione.
W =A
Wl
A
AB
AC
=
Al Bl
Al C l
B'
C'
AB
BC
CA
=
=
Al Bl
Bl C l
C l Al
A
Le altezze corrispondenti di due triangoli simili
stanno fra loro nello stesso rapporto di due lati corrispondenti.
B'
A'
B
C
C'
A
H
B
A' H'
B'
CH
AB
BC
=
=
=f
ClH l
Al Bl
Bl C l
Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è
uguale al rapporto fra le lunghezze di due lati corrispondenti.
Il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale
al quadrato del rapporto fra le lunghezze di due lati
corrispondenti.
p
AB
BC
=
=
=f
pl
Al Bl
Bl C l
D
C
E
A
B
AB
=2
Al Bl
D'
E'
C'
A'
B'
A ABCDE
= 22 = 4
A Al Bl Cl Dl El
segue
1
Copyright © 2011 Zanichelli Editore SpA, Bologna [6435] Questo file è una estensione online del corso
di A.M. Arpinati, M. Musiani MATEMATICA IN AZIONE seconda edizione © Zanichelli 2011
Î
CAPITOLO
D 4
Le trasformazioni geometriche:
omotetie e similitudini
RIASSUNTO
Ð segue
TEORIA
ESEMPIO
I teoremi di Euclide
1. In un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio
proporzionale fra l’ipotenusa e la sua proiezione
sull’ipotenusa.
A
B
H
2. In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
C
A
B
C
A
B
C
D
BC : AC = AC : HC
: ; ;; <
:;;;;;;;;;
;<
BH : AH = AH : HC
: ; ;; <
: ; ; ; ; ; ; ; ; ;; <
H
Il teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina su due rette trasversali segmenti corrispondenti in proporzione.
2
BC : AB = AB : BH
: ; ;; <
: ; ; ; ; ; ; ; ;; <
A'
B'
C'
AB
Al Bl
=
BC
Bl C l
D'
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di A.M. Arpinati, M. Musiani MATEMATICA IN AZIONE seconda edizione © Zanichelli 2011