Tesina di Elettrodinamica classica: E etto Pockels e modulatori

Tesina di Elettrodinamica classica:
Eetto Pockels e modulatori elettrottici
Davide D'Ambrosio
14/06/2012
1
Introduzione
Con il orire delle applicazioni laser sviluppate negli ultimi anni è divenuto un
problema pratico di grande interesse lo sviluppo di strumentazione che permettesse una modulazione del segnale laser controllabile tramite apposite variazioni
di tensione.
Un Modulatore elettro-ottico (EOM) è un dispositivo adatto a
queste esigenze, in quanto capace di modulare un segnale in ingresso mediante il passaggio attraverso un cristallo che presenti eetti Kerr o Pockels. Tali
materiali mostrano apprezzabili variazioni (locali) dell'indice di rifrazione in
funzione del campo elettrico: tramite una dierenza di potenziale applicata a
degli elettrodi posti alle estremità del cristallo si potranno quindi controllare
le proprietà ottiche del mezzo. Sarà quindi possibile modicare lo stato di polarizzazione di un eventuale fascio incidente, o attraverso l'uso di polarizzatori
incrociati ottenere una modulazione in ampiezza.
In questa breve tesina ver-
rà dapprima sviluppato un formalismo adatto a ricavare una forma del tensore
elettrottico lineare che metta in evidenza le variazioni del suddetto in funzione
delle particolari simmetrie del cristallo. Successivamente verrà presentato, come
applicazione del formalismo introdotto, un modulatore elettrottico formato da
un cristallo di KDP.
Tensore Elettromagnetico
In un materiale anisotropo (senza perdite e non otticamente attivo) vale la
relazione:
Di =
X
εij Ej
(1)
j
dove
εji = εij .
Per arrivare a questo risultato basta scrivere la densità di energia
elettrica
U=
1 X
1
D·E =
εij Ei Ej
8π
8π ij
(2)
e calcolarne la derivata temporale:
U̇ =
1 X
εij (Ei Ėj + Ėi Ej )
8π ij
(3)
Questa quantità rappresenta il contributo al usso di potenza dovuto al campo
elettrico. Procediamo quindi scrivendo il usso di potenza per unità di volume
come [2]:
−∇ · (E × H) = E · Ḋ + H · Ḃ
Utilizzando per
D
(4)
la forma 1 ricaviamo
−∇ · (E × H) =
X
Ei εij Ėj + H · Ḃ
(5)
ij
il primo termine del secondo membro dell'equazione precedente può essere riscritto nella forma
2
1X
(εij Ei Ėj + εji Ej Ėi )
2 ij
(6)
da questa equazione è semplice, confrontandola con l'eq. 3, dimostrare che deve
essere
εij = εji
(7)
Avendone dimostrato la simmetria procediamo sfruttando il fatto che il tensore
dielettrico è rappresentabile tramite una matrice reale anch'essa simmetrica, che
ha quindi 6 elementi linearmente indipendenti. Esplicitamente:
εxx
εyx
εzx
εxy
εyy
εzy
εxz
εyz
εzz
(8)
E' possibile tuttavia, per ogni matrice reale e simmetrica, individuare una trasformazione ortogonale che diagonalizzi la matrice stessa. Il nuovo sistema di
coordinate
(X, Y, Z)
individuato da questa trasformazione è detto sistema di
assi principali ed in questo nuovo sistema il tensore dielettrico assume la forma:
εXX
0
0
0
0
0
εY Y
0
εZZ
(9)
Data la densità di energia per unità di volume associata al campo (eq.
2)
osserviamo che (nel sistema degli assi principali) può essere rappresentata nella
forma:
2
2
1 DX
DY2
DZ
U=
+
+
8π εXX
εY Y
εZZ
(10)
dalla quale è evidente che le superci ad energia costante sono degli ellissoidi,
detti per l'appunto
ellissoidi degli indici ,
di equazione
Y2
Z2
X2
+
+
=1
εXX
εY Y
εZZ
(11)
dove è stato posto
X=
1
8πU
12
DX
Y =
1
8πU
21
DY
Z=
1
8πU
12
DZ
Nel caso generico di assi non coincidenti con gli assi principali l'equazione assume
la forma [1]
1
n21
2
x +
1
n22
2
y +
1
n23
2
z +
1
n24
3
yz +
1
n25
xz +
1
n26
xy = 1
(12)
è possibile relazionare i coecienti
1/n2i
ad
(εXX , εY Y , εZZ ) attraverso appro-
priate leggi di trasformazione delle coordinate. Ometteremo questo calcolo, non
necessario ai ni della presente argomentazione. Ora studieremo come l'ellissoide degli indici viene modicato in presenza di un campo elettrico ed introduciamo a questo scopo il tensore di impermeabilità dielettrica
relazione:
Ei =
X
ηij
attraverso la
ηij Dj
(13)
j
Ne segue che la matrice rappresentativa del tensore è l'inversa di
εij
(eq. 1),
per cui è possibile scrivere la densità di energia per unità di volume in termini
di
ηij :
U=
1 X
ηij Di Dj
8π ij
1
(x, y, z)
e se deniamo le coordinate
(14)
come
x = Dx / (8πU ) 2
etc., possiamo
scrivere:
1 = η11 x2 + η22 y 2 + η33 z 2 + 2η12 xy + 2η13 xz + 2η23 yz
(15)
Dal confronto con l'eq 12 è possibile mettere in relazione i coecienti
1
n2i
ηij
ed
come segue
η11 =
1
n21
η32 = η23 =
,
η22 =
1
n24
Se esprimiamo il tensore
,
η31 = η13 =
ηij
1
n22
,
1
n25
η33 =
,
1
n23
η12 = η21 =
,
1
n26
.
in serie di potenze rispetto alle componenti del
campo
(0)
ηij = ηij +
X
rijk Ek +
k
possiamo allora dire che
rijk
ηij
sijkl Ek El + ...
kl
è il tensore che descrive l'eetto elettro-ottico li-
neare (eetto Pockels) mentre
Ricordando che
X
sijkl
descrive l'eetto quadratico (eetto Kerr).
è l'inverso del tensore dielettrico, il quale è simmetrico e
reale, si deduce che anche il tensore di impermeabilità dielettrica è reale e simmetrico. E' necessario dunque imporre la simmetria delle prime due componenti
del tensore elettrottico
rijk
le quali, in quanto uniche due componenti libere dal-
la sommatoria, inuenzano la forma di
ηij .
Introduciamo quindi un nuovo indice
h


1



2


3
h=

4





5



6
i, j = 1
i, j = 2
i, j = 3
ij = 23 , 32
ij = 13 , 31
ij = 12 , 21
4
attraverso il quale si può rappresentare il tensore
una matrice
rhk
con tre colonne e sei righe.
rijk
(di rango 3) attraverso
Utilizzando questa notazione è
possibile scrivere la variazione delle costanti ottiche
∆(1/n2i )
al prim'ordine
come il prodotto matriciale
∆(1/n21 )
∆(1/n22 )
∆(1/n23 )
∆(1/n24 )
∆(1/n25 )
∆(1/n26 )
=
r11
r21
r31
r41
r51
r61
r12
r22
r32
r42
r52
r62
r13
r23
r33
r43
r53
r63
Ex
Ey
Ez
Riportiamo a titolo di esempio i coecienti della matrice
rhk
(16)
per sistemi cri-
stallini tetragonali [1]:
rij = 0
0
0
r41
0
0
0
0
0
0
r41
0
0
0
0
0
0
r63
per questi materiali i coecienti indipendenti si riducono a due.
Modulatori elettrottici
Materiali come quelli presentati nel precedente paragrafo sono spesso utilizzati
per la produzione di modulatori elettrottici. Questi non presentano una naturale birifrangenza, ma se sottoposti ad un campo esterno producono un ritardo
tra le componenti del campo. Uno dei materiali più utilizzati è il potassio diidrogeno fosfato (KDP). Come tutti i cristalli uniassiali l'ellissoide degli indici
segue l'equazione (in assenza del campo elettrico esterno):
X2
Y2
Z2
+ 2 + 2 =1
2
no
no
ne
(17)
tenendo presente il formalismo sviluppato nel precedente paragrafo, la precendente equazione sotto l'eetto di un campo elettrico esterno diventa:
Y2
Z2
X2
+
+
+ 2r41 EX Y Z + 2r41 EY XZ + 2r63 EZ XY = 1
n2o
n2o
n2e
5
(18)
Un caso particolare di notevole interesse è quello in cui il campo elettrico è
diretto lungo l'asse Z, conseguentemente
EY = EX = 0.
Se ora rideniamo il
sistema di coordinate come segue:
x−y
X= √ ,
2
x+y
Y = √ ,
2
Z=z
sostituendo nella eq.18 otteniamo
(
siano ora
1
nx = 1/
q
1
1
z2
2
2
+
r
E
)x
−
r
E
)y
=1
+
(
+
63
z
63
z
n2o
n2o
n2e
( n12 +r63 Ez ) ed
o
ny = 1/
q
( n12 −r63 Ez ). Sviluppando per
o
(19)
r63 Ez otteniamo
1
nx = no − n3o r63 Ez
2
1
ny = no + n3o r63 Ez
2
nel nuovo sistema di assi principali dunque avremo
x2
y2
z2
+ 2 + 2 =1
2
nx
ny
ne
(20)
Supponiamo ora che il cristallo venga attraversato da un fascio diretto lungo
ẑ .
Le componenti
x̂
ed
ŷ
incontrano diversi indici di rifrazione, accumulando
quindi una dierenza di fase pari a
ωL
c
ny ed
Γ = (nx − ny )
sostituendo le espressioni trovate per
potenziale
V
nx
ed
ipotizzando una dierenza di
fornita da due elettrodi posti come in gura 1 (b), tale che
E = V /L
otteniamo:
Γ=
la quantità
n3o r63 ωV
c
(21)
Γ è detta ritardo e dipende quindi in maniera lineare dalla dierenza
di potenziale applicata. Risulta comodo esprimere questa grandezza in funzione
di una quantità detta tensione a mezz'onda
Vλ/2 =
πc
ωn3o r63
6
in gura (a) assi principali di un cristallo di KDP in assenza di campo esterno;
(b) variazione degli assi principali in funzione del campo applicato; (c) intersezione dell'ellissoide degli indici con un piano perpendicolare all'asse Z: in assenza
di campo esterno la curva è una circonferenza, applicando un campo esterno
costante la curva diventa un'ellisse
7
sostituendo nell'eq. 21 si ottiene dunque
Γ=π
In questa forma è evidente che la
ottenere un ritardo
π
Vλ/2
V
Vλ/2
rappresenta la tensione da applicare per
tra le due componenti del fascio in uscita.
In generale
quindi è possibile modicare la polarizzazione del fascio incidente controllando
il ritardo tra le componenti del fascio in uscita.
Ponendo il cristallo tra due
polarizzatori incrociati si ottiene cosi una modulazione d'ampiezza.
Proprio
quest'ultima congurazione ha trovato notevole successo nell'ambito dei laser ad
impulsi giganti, in cui è necessario avere la possibilità di controllare le perdite
all'interno di una cavità laser per aumentare l'inversione di popolazione tra i
livelli energetici coinvolti. L'uso di modulatori elettrottici come celle di Kerr o di
Pockels ha permesso di svincolare questi laser dall'uso di metodi di modulazione
elettromeccanici quali ad esempio specchi rotanti, che richiedevano velocità pari
a circa 30000 giri al minuto [3], velocità alle quali non è facile assicurare la
dovuta precisione.
8
Riferimenti bibliograci
[1] Robert W. Boyd, Nonlinear Optics
[2] A.Yariv, Quantum Electronics
[3] A.Sasso, Appunti del corso Laboratorio di sica della materia
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