Descrizione dei sistemi composti Premessa: Se A e B sono

Descrizione dei sistemi composti
Premessa: Se A e B sono osservabili compatibili possiamo scrivere per ogni ψ ∈ H
X
ψ=
m
cm
ij ψij
ijm
m
dove ψij
sono autostati di A al valore ai e di B al valore bj , ed m tiene conto della eventuale
degenerazione residua.
X
m
cm
ij ψij
m
è un autostato di A al valore to ai e autostato di B al valore bj . Quindi possiamo riscrivere
ψ=
X
cij ψij
ij
dove ψij sono autostati di A e di B relativi a differenti coppie di valori ai , bj .
Ripetendo il ragionamento sulla positività delle probabilità fatti per una osservabile si ha
che
(ij)
ProbAB (ψ) = |cij |2 = |(ψij , ψ)|2
Veniamo ora ai sistemi composti. Come in meccanica classica, molto frequentemente ci si
trova di fronte ad un sistema che è la composizione di due sottosistemi.
Sia il sistema S descritto dallo spazio di Hilbert HS ed il sistema M dallo spazio di Hilbert
HM .
Vogliamo giustificare il seguente assioma: Lo spazio di Hilbert che descrive il sistema composto S + M è dato dallo spazio di Hilbert prodotto tensoriale HS ⊗ HM .
Consideriamo il caso in cui i due sistemi sono preparati indipendentemente. Si ha
(i)
(j)
(ij)
ProbA (ψS )ProbB (ψM ) = ProbAB (ψS ψM ) = |(ψAi , ψS )|2 |(ψBj , ψM )|2
(1)
Il prodotto tensore è definito considerando le coppie di vettori, uno di HS e l’altro di HM
e le loro combinazioni lineari. Si ammette che il prodotto di due vettori sia bilineare nei
1
vettori componenti. Il prodotto scalare di due coppie di vettori è definito come il prodotto
dei due prodotti scalari in HS e HM
(ψS1 ψM 1 , ψS2 ψM 2 ) = (ψS1 , ψS2 )(ψM 1 , ψM 2 )
che viene esteso per lineartà a tutti i vettori. Il prodotto del vettore nullo di HS e di un
qualunque vettore di HM (e viceversa) è definito come il vettore nullo nello spazio prodotto.
Si verifica che questo spazio è uno spazio pre-hilbertiano. Il suo completamento è lo spazio
hilbertiano HS ⊗ HM prodotto tensore di HS e HM
Si può definire l’azione di operatori agenti in HS sul prodotto tensore come segue
A(ψS ψM ) = (AψS )ψM
e lo stesso per gli operatori B che agiscono su HM . Si ha
[A, B] = 0
e quindi due osservabili A e B relative a sottosistemi diversi sono sempre compatibili.
m n
m n
AψAi
ψBj = ai ψAi
ψBj
m n
m n
BψAi
ψBj = bj ψAi
ψBj
m
n
Dato che ψAi
è un insieme completo in HS e ψBj
è un insieme completo in HM abbiamo
che
m n
ψAi
ψBj
è un insieme completo in HS ⊗ HM Possiamo riscrivere il risultato (1) come
(i)
(j)
(ij)
ProbA (ψS )ProbB (ψM ) = ProbAB (ψS ψM )) = |(ψAi ψBj , ψS ψM )|2
Funzioni d’onda.
2
Se qk è un insieme completo di osservabili compatibili in HS e Qk un insieme completo di
osservabili compatibili in HM si ha che ψq ψQ è un insieme completo nell spazio prodotto
tensore e
(ψq ψQ , ψS ψM ) = (ψq , ψS )(ψQ , ψM )
cioè la funzione d’onda di ψS ψM è il prodotto delle funzioni d’onda. Questo però accade solo
per stati fattorizzati. La funzione d’onda di uno stato generico sarà una generica funzione
di q e Q cioè Ψ(q, Q).
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