pendolo composto

PENDOLO COMPOSTO
Corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso
orizzontale a causa della forza peso
O
Z
O traccia dell’ asse di rotazione
h
θ CM
mg
Equazione del moto rotatorio
dL z
dω
d2 θ
Mz =
= Iz
= Iz 2
dt
dt
dt
forze agenti: forza peso, reazione vincolare
esercitata dall’ asse
Se non c’ è attrito, il momento della reazione
vincolare è nullo rispetto al polo O, quindi
2
Mz = −mgh senθ
d θ mgh
+
sen
θ
=
0
Iz
dt 2
equazione del moto equivalente a quella di un
pendolo semplice di lunghezza
Iz
l=
mh
Per piccole oscillazioni
2
senθ ≅ θ
d θ mgh
+
θ=0
2
Iz
dt
θ = θ 0 sen (Ωt + Φ )
legge oraria
mgh
Ω =
IZ
2π
Iz
L
T=
= 2π
= 2π
Ω
mgh
g
l lunghezza ridotta del pendolo composto
2
Il moto del pendolo è armonico semplice
Per il teorema di Steiner:
2
I Z = ICM + mh
ICM momento d’ inerzia rispetto all’asse
passante per CM
2
ICM + mh ICM
l=
=
+ h = h'+h > h
mh
mh O
h
ICM
= h'
dove
CM h′
mh
O′ punto distante h’ da CM
O′
Facciamo oscillare il pendolo attorno ad un asse
parallelo passante per O′
I’ momento d’ inerzia rispetto a tale asse
2
I CM mh'
I'
l' =
=
+
= h + h' = l
mh' mh' mh'
Il pendolo oscilla con lo stesso periodo attorno
agli assi passanti per O e O′
Assi passanti per O e O’= assi reciproci