A.A. 2012-13
Fisica Generale
11-02-14
ESERCIZIO 1
Un corpo 1 si sta muovendo con velocità costante su un piano orizzontale. Un secondo corpo 2 viene
lasciato cadere verticalmente da un’altezza y0.
Quando il corpo 2 inizia a cadere, il corpo 1 si trova a una distanza x0 dalla verticale di caduta.
Quanto deve valere la velocità del corpo 1 affinché venga colpito dal grave?
Soluzione
La soluzione del problema si ha se nel tempo che il corpo 2 impiega a raggiungere il terreno, il corpo 1
percorre la distanza x0. Si ha pertanto, per il corpo 2: 0 = − 1⁄2
, da cui , = ± 2 ⁄ . Si
prenderà ovviamente la soluzione positiva. Per il corpo 1 si avrà, chiamata v0 la velocità iniziale,
⁄2
= ⁄ . Ponendo quindi t1=t3 si ottiene: 2 ⁄ = ⁄ da cui
=
ESERCIZIO 2
Una pallina di massa m=500 g viene lanciata con una velocità iniziale v0=10 m/s lungo un piano
orizzontale liscio. Ad un certo punto inizia un tratto in discesa, il cui profilo è un arco di circonferenza di
raggio r=1 m.
In corrispondenza ad un certo angolo αmax, nel moto lungo la superficie circolare, la pallina si stacca dalla
superficie stessa.
Calcolare αmax.
Soluzione
Rn
L’equazione del moto proiettata lungo l’asse normale è:
⁄ , dove
− + =
=
è la reazione normale
esercitata dal piano e =
cos è la componente della forza
peso lungo il detto asse, nel generico punto sulla superficie
r
ûn
ût
circolare di raggio r, in una posizione identificata dall’angolo
(come in figura). Nello stesso punto la pallina si è abbassata di
una quota ℎ = (1 − cos ). Conservandosi l’energia meccanica, in quanto la superficie è liscia, si ha:
1⁄2 = 1⁄2 +
ℎ, da cui:
=
+ 2 (1 − cos ). Il distacco si ha per
= 0, ovvero,
⁄
[
(
chiamato
l’angolo al quale avviene detto distacco:
cos
=
+2
1 − cos )]. Si ha
quindi: 0 = [ ⁄ + 2 − 3 cos ] e infine:
= 1⁄3 [2 + ⁄ ].
ESERCIZIO 3
Un pendolo fisico è costituito da una sbarretta sottile ed omogenea AB ed un disco
omogeneo complanare, unito su un punto della sua circonferenza all’estremo B della
sbarretta; la sbarretta ha massa M=1.2 kg e lunghezza d=0.6 m, il disco ha la stessa
massa M e raggio R=d/3. Il pendolo può ruotare con attrito trascurabile attorno ad un
asse fisso orizzontale. passante per A, parallelo all’asse del disco. Inizialmente il pendolo
è in quiete nella posizione di equilibrio stabile. Ad un certo istante, un corpo puntiforme
di massa m=M/3 e velocità orizzontale v=2.5 m/s, perpendicolare all’asse di rotazione
urta in modo completamente anelastico la sbarretta nel suo punto B e vi rimane attaccato.
Determinare:
a) Il momento d’inerzia I del pendolo rispetto all’asse di rotazione passante per A;
b) il modulo ω’ della velocità angolare del sistema pendolo + corpo subito dopo l’urto;
c) il modulo RV della reazione vincolare dell’asse nell’istante in cui il sistema pendolo + corpo ritorna
nella sua posizione iniziale.
d) il modulo J dell’impulso esercitato dall’asse nell’urto;
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Soluzione
a) Il momento d’inerzia I del pendolo rispetto all’asse di rotazione passante per A si calcola a partire dal
momento d’inerzia della sbarra rispetto a un asse perpendicolare alla sbarra stessa e passante per un
suo estremo, e dal momento d’inerzia del disco rispetto a un asse passante per il suo centro, e poi
applicando il teorema di Huygens-Steiner:
= 1⁄3
+ [1⁄2
+
( + ) ]=
(1⁄3 + 1⁄18 + 16⁄9) = 13⁄6
= 0.936
b) Il modulo ω’ della velocità angolare del sistema pendolo+corpo subito dopo l’urto si può calcolare
osservando che nell’urto si conserva il momento della quantità di moto. Il nuovo momento d’inerzia,
dopo l’urto, è: = +
= 13⁄6
+ ⁄3
= 5⁄2
. Si ha quindi:
= =
= ′ ′
⁄ ′ = 2 ⁄15 = 0.556
da cui: =
.
c) Il sistema pendolo + corpo ritorna nella sua posizione iniziale con la stessa velocità che aveva
immediatamente dopo l’urto. Il modulo RV della reazione vincolare dell’asse si può allora ottenere
dalla prima equazione cardinale, proiettata lungo un asse verticale orientato verso l’alto:
− (2 + ) = (2 + ) , cioè:
= (2 + )( + ) = 7⁄3 (
+ ) = 27.9 , dove la
posizione del centro di massa si ottiene da:
=
⁄
(
)
=
.
d) Il modulo J dell’impulso esercitato dall’asse nell’urto si calcola dalla variazione della quantità di
moto:
|=|
| = |(7 ⁄3)(2 ⁄15 )(13 ⁄14) −
| = 0.133 .
= |∆ | = |
−
−
ESERCIZIO 4
Un sistema termodinamico costituito da n = 2.5 moli di gas ideale biatomico inizialmente nello stato A
alla pressione pA=1.2⋅105 Pa e volume VA=0.07 m3 , compie un ciclo costituito dalle seguenti
trasformazioni:
espansione libera adiabatica AB fino ad occupare il volume VB=5VA , attendendo che il gas raggiunga
lo stato di equilibrio;
trasformazione isocora reversibile BC, in cui l’energia interna del gas varia di ΔUBC=−4500 J;
compressione isobara CD in cui il gas è posto in contatto con una sorgente di calore alla temperatura
TD ;
compressione adiabatica reversibile DA, con la quale il gas ritorna nello stato iniziale A.
a) Disegnare il ciclo nel piano di Clapeyron.
Determinare:
b) la pressione pC del gas in C;
c) il lavoro WCD effettuato dal gas nella trasformazione isobara;
d) la variazione di entropia dell’universo ΔSUciclo in un ciclo del gas.
Soluzione
a) La rappresentazione del ciclo nel piano di Clapeyron è riportata nella figura a
fianco.
b) In una trasformazione libera adiabatica la temperatura non varia, per cui si ha:
=
= p V ⁄nR = 404.1K. Il volume nello stesso stato B è:
= 5 = 0.35 . Sapendo la variazione di energia interna ∆
si ottiene la
( − ),
temperatura
del
punto
C:
∆
=
da
cui:
⁄
⁄
=
+∆
= +∆
= 317.5 . Il volume è lo stesso di B. Si ha quindi:
⁄ = 1.89 ∙ 10
=
.
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c) Il lavoro effettuato dal gas nella trasformazione isobara è
= ( − ). Il volume dello stato D
si può ottenere dall’equazione dell’adiabatica reversibile:
=
, da cui:
= ( ⁄ ) ⁄ = 0.262 . SI ha quindi:
= −1649 .
d) La variazione di entropia dell’universo ∆
in un ciclo del gas si può calcolare come:
∆
=∆
=∆
=36.8 ⁄ .
+∆
= −∆
⁄
−
=−
⁄
−
(
−
)⁄
=.
ESERCIZIO 5
Si considerino tre cariche puntiformi, tutte di carica positiva q, disposte ai vertici di un triangolo
equilatero di lato l.
Calcolare la forza elettrostatica a cui ogni carica è sottoposta.
Soluzione
Dato che le tre cariche sono uguali in modulo, e sono disposte sui vertici di un
triangolo equilatero, si può studiare la forza su un’unica carica, ad esempio quella
superiore.
Le forze esercitate dalle cariche 2 e 3 vanno come in figura, essendo tutte le
cariche di segno concorde, ed hanno modulo ⃗ = ⃗ = ⁄4
.
La forza totale F sentita dalla carica 1 è data dalla sovrapposizione degli effetti,
ovvero dalla somma vettoriale delle forze esercitate dalle cariche 2 e 3, le quali
sono uguali in modulo dato che esse hanno la stessa carica: ⃗ = ⃗ + ⃗ .
Sia y un asse coincidente con la direzione di ⃗ ; si ha
=
= cos 30. Si
ha quindi:
=2
= 2 ⁄4
cos 30 = √3
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ESERCIZIO 6
Su una forcella metallica a forma di U è appoggiata una sbarretta conduttrice
mobile di massa m=200 g, disposta come in figura. Il sistema presenta una
resistenza R=20, è alimentato da un generatore di f.e.m. E ed è immerso in
un campo magnetico B=0.3 T, perpendicolare al piano del sistema. Fra la
sbarretta e la forcella esiste un attrito caratterizzato da un coefficiente di attrito
k .
Determinare il valore minimo della f.e.m. E che deve circolare affinché la sbarretta possa muoversi sotto
l'azione dell'interazione campo magnetico-corrente
Soluzione
Affinché il filo possa muoversi deve risultare
=
. La forza agente su un filo percorso da
corrente ad opera di un campo magnetico nel quale detto filo sia immerso è
=
, dove la corrente è
data dalla legge di Ohm: i = E/R. Si ha quindi:
=
=
. Da queste relazioni si ha:
⁄
E=
3
