Processi Stocastici – Programma del corso 2010/11 1. Speranza condizionale (14 ore) [14] Introduzione. [07/03] • Descrizione del corso: obiettivi, prerequisiti, propedeuticità. Richiami di probabilità. • Spazi misurabili, applicazioni misurabili. Misura e probabilità, variabili aleatorie. Integrale e valore atteso, spazi Lp , varianza e covarianza. [08/03] • Teoremi di convergenza (monotona, Fatou, dominata). Disuguaglianze (Jensen, Markov, Cauchy-Schwarz, Chebychev, Hölder). Legge di una variabile aleatoria, formula del cambio di variabili. Leggi su Rn assolutamente continue. [09/03] • Indipendenza di σ-algebre, variabili aleatorie, eventi. Indipendenza e scorrelazione. σ-algebra prodotto, misura prodotto, Teorema di Fubini. Lemma di Borel-Cantelli. Speranza condizionale. [14/03] • Definizione di speranza condizionale, esistenza ed unicità. Proprietà elementari: monotonia, linearità, Jensen. [15/03] • Teoremi di convergenza condizionali (monotona, Fatou, dominata). Proprietà di raffinamento, misurabilità, indipendenza. [16/03] • Speranza condizionale rispetto a una variabile aleatoria. Esempi. L’urna di Polya. [21/03] • Nuclei di probabilità. Versione regolare della legge condizionale di una variabile aleatoria data un’altra. Il caso di variabili congiuntamente assolutamente continue. Esempi. Lemma di congelamento E(ϕ(T, X)|X) = E(ϕ(T, x))|x=X per X, T indipendenti. 2. Martingale a tempo discreto (36 ore) [50] Definizioni. [22/03] • Processi stocastici e filtrazioni. Submartingale, supermartingale, martingale e loro interpretazione. Composizione con funzioni convesse. Esempi. [23/03] • Processi prevedibili. Integrale stocastico discreto e sue proprietà. • Tempi d’arresto. (Sub,super)-martingale arrestate restano (sub,super)-martingale. Teorema d’arresto: condizioni sufficienti affinché E(Xτ ) = E(X0 ). [24/03] • Esercizi sulla speranza condizionale. [28/03] • Esempi ed esercizi sulle martingale (ABRACADABRA; martingala esponenziale). [29/03] • Esempi sulle martingale (tempi di primo passaggio per passeggiate aleatorie semplici sugli interi). 1 2 Teoremi di convergenza e disuguaglianze. • Disuguaglianza di upcrossing. Teorema di convergenza per supermartingale limitate in L1 . [30/03] • Integrabilità uniforme. Caratterizzazione della convergenza in L1 . [31/03] • Esempi ed esercizi sulle martingale (rovina del giocatore; Enterprise). [04/04] • Esempi sulle martingale (Enterprise - reprise). Caratterizzazione delle martingale uniformemente integrabili. [05/04] • Teorema di convergenza di Lévy upward. Corollari: legge 0-1 di Kolmogorov, approssimazione di f : [0, 1) → R integrabili con funzioni costanti a tratti. Teorema di convergenza di Lévy downward. Corollario: legge forte dei grandi numeri. [06/04] • Esercizi sulla speranza condizionale. • Disuguaglianza massimale per submartingale. Corollario: disuguaglianza di Kolmogorov per somme di variabili indipendenti. Disuguaglianza di Doob in Lp . [07/04] • Martingale convergenti in Lp per p > 1. Il caso L2 . Esercizi sulle martingale. [11/04] • Esercizi sulle martingale (foglio 1). • Decomposizione di Doob di un processo adattato. [12/04] • Decomposizione di Doob di una submartingala. Variazione quadratica hMi di una martingala M in L2 . Legame tra finitezza di hMi∞ e convergenza di M. [13/04] • σ-algebre associate ai tempi d’arresto e loro proprietà. Teorema d’arresto opzionale per submartingale e tempi d’arresto limitati. Teorema d’arresto opzionale per martingale uniformemente integrabili. [14/04] • Esercizi sulle martingale (foglio 2). Esempi. [18/04] • Dimostrazione di Kolmogorov della legge forte dei grandi numeri. [19/04] • Dimostrazione combinatoria del teorema di De Finetti per l’urna di Polya. • Esercizi sulle martingale (foglio 2). [20/04] • Processi di ramificazione di Galton-Watson. 3. Moto browniano (28 ore) [78] Richiami di probabilità. [21/04] • Convergenza debole di misure di probabilità. Nozioni di convergenza per variabili aleatorie (in legge, in probabilità, quasi certa, in Lp ) e loro relazioni. • Funzioni caratteristiche e loro proprietà. • Leggi normali in Rd e loro proprietà. Il limite in legge di vettori normali è normale. [27/04] • Spazi di probabilità completi (cenni). 3 Processi gaussiani e moto browniano. • Definizione di processo stocastico (no filtrazione). Spazio delle traiettorie, legge del processo, leggi finito-dimensionali. Processi gaussiani. • Moto browniano: motivazione, definizione, leggi finito-dimensionali. [28/04] • Esercizi sulle martingale (foglio 3). [02/05] • Caratterizzazione come processo gaussiano. Proprietà di invarianza. Continuità di tB1/t in t = 0. Legge dei grandi numeri per il moto browniano. [03/05] • Esistenza del moto browniano: costruzione di Paul Lévy. [04/05] • Funzioni a variazione finita e integrale di Riemann-Stieltjes. Variazione quadratica del moto browniano. Variazione infinita delle traiettorie del moto browniano. [05/05] • Esercizi sulle variabili normali e sul moto browniano (foglio 4). • Legge del logaritmo iterato (enunciato) e sue conseguenze (non differenziabilità). [11/05] • Continuità delle traiettorie e misurabilità di funzionali del processo. σ-algebra associata a un processo. Indipendenza di processi; il caso dei processi congiuntamente gaussiani. Filtrazione naturale di un processo. Riformulazione del moto browniano: indipendenza degli incrementi espressa tramite la filtrazione naturale. [12/05] • Nozioni di modificazioni, indistinguibilità, continuità, misurabilità per processi stocastici. Filtrazioni e loro proprietà; ampliamento standard. Processi adattati e progressivamente misurabili. [16/05] • Moto browniano multidimensionale. • Il moto browniano come applicazione a valori in C([0, ∞), Rd ): la misura di Wiener. Il principio di invarianza di Donsker (enunciato). Processi di Lévy e proprietà di Markov. [17/05] • Definizione di processo di Lévy (e di moto browniano) rispetto a una filtrazione. Indipendenza dalla σ-algebra iniziale. Ampliamento della filtrazione. Legge 0-1 di Blumenthal per i processi di Lévy. [18/05] • Tempi d’arresto e loro proprietà. La proprietà di Markov forte per i processi di Lévy. Uguaglianza in legge di processi di Lévy. [19/05] • Esercizi sul moto browniano (foglio 5). [23/05] • Il principio di riflessione per il moto browniano. Martingale associate al moto browniano. Principali risultati per martingale a tempo continuo (enunciati). Esempio: probabilità di uscita del moto browniano da un intervallo. 4. Integrale stocastico (20 ore) [98] [24/05] • Estensione di isometrie densamente definite su spazi pseudometrici. Il caso delle isometrie lineari su spazi seminormati. • Spazi di processi M2 [a, b] e S[a, b]. Lo spazio S[a, b] è contenuto in M2 [a, b]. Integrale stocastico di processi in S[a, b]. 4 [25/05] • S[a, b] è un sottospazio vettoriale denso di M2 [a, b]. L’integrale stocastico di processi in S[a, b] è un operatore a valori in L2 (Ω) lineare e isometrico. Integrale stocastico per processi in M2 [a, b]. Prime proprietà (conseguenze dell’isometria). [26/05] • L’integrale stocastico di processi in M2 [a, b] ha media nulla. Se il processo integrando è deterministico, l’integrale stocastico (integrale di Wiener) è una variabile normale. Esercizi (foglio 6). [30/05] • Additività dell’integrale stocastico rispetto agli estremi di integrazione. L’integrale stocastico di processi in M2 [0, T] è una martingala continua di quadrato integrabile e ammette una modificazione continua. Integrale stocastico e tempi d’arresto (enunciato). [31/05] • Località dell’integrale stocastico. Estensione dell’integrale stocastico a processi in M2loc [0, T]. Proprietà dell’integrale stocastico di processi in M2loc [0, T]: convergenza in probabilità, tempi d’arresto, località (enunciati); approssimazione mediante somme di Riemann. Esercizi (foglio 6). [01/06] • Martingale locali. L’integrale stocastico di un processo in M2loc [0, T] è una martingala locale. Martingale locali dominate (risp. positive) sono martingale. La formula di Ito (prima parte della dimostrazione). [06/06] • Dimostrazione della formula di Ito (seconda parte). Esercizio (foglio 7). Processi di Ito e differenziale stocastico. Formula di Ito generalizzata (enunciato). [07/06] • Esercizio (foglio 7). Moto browniano geometrico. Formula di Ito per il moto browniano multidimensionale (enunciato). [08/06] • Il problema di Dirichlet in domini limitati: lemma preliminare; unicità della soluzione e formula di rappresentazione. • Processo di Poisson come processo di Lévy di conteggio. Gli intertempi sono variabili i.i.d. esponenziali e le distribuzioni marginali del processo sono Poisson. [09/06] • Esercizi (foglio 8).