Processi Stocastici – Programma del corso 2010/11

Processi Stocastici – Programma del corso 2010/11
1. Speranza condizionale (14 ore) [14]
Introduzione.
[07/03]
• Descrizione del corso: obiettivi, prerequisiti, propedeuticità.
Richiami di probabilità.
• Spazi misurabili, applicazioni misurabili. Misura e probabilità, variabili aleatorie.
Integrale e valore atteso, spazi Lp , varianza e covarianza.
[08/03]
• Teoremi di convergenza (monotona, Fatou, dominata). Disuguaglianze (Jensen,
Markov, Cauchy-Schwarz, Chebychev, Hölder). Legge di una variabile aleatoria,
formula del cambio di variabili. Leggi su Rn assolutamente continue.
[09/03]
• Indipendenza di σ-algebre, variabili aleatorie, eventi. Indipendenza e scorrelazione.
σ-algebra prodotto, misura prodotto, Teorema di Fubini. Lemma di Borel-Cantelli.
Speranza condizionale.
[14/03]
• Definizione di speranza condizionale, esistenza ed unicità. Proprietà elementari:
monotonia, linearità, Jensen.
[15/03]
• Teoremi di convergenza condizionali (monotona, Fatou, dominata). Proprietà di
raffinamento, misurabilità, indipendenza.
[16/03]
• Speranza condizionale rispetto a una variabile aleatoria. Esempi. L’urna di Polya.
[21/03]
• Nuclei di probabilità. Versione regolare della legge condizionale di una variabile
aleatoria data un’altra. Il caso di variabili congiuntamente assolutamente continue.
Esempi. Lemma di congelamento E(ϕ(T, X)|X) = E(ϕ(T, x))|x=X per X, T indipendenti.
2. Martingale a tempo discreto (36 ore) [50]
Definizioni.
[22/03]
• Processi stocastici e filtrazioni. Submartingale, supermartingale, martingale e loro
interpretazione. Composizione con funzioni convesse. Esempi.
[23/03]
• Processi prevedibili. Integrale stocastico discreto e sue proprietà.
• Tempi d’arresto. (Sub,super)-martingale arrestate restano (sub,super)-martingale.
Teorema d’arresto: condizioni sufficienti affinché E(Xτ ) = E(X0 ).
[24/03]
• Esercizi sulla speranza condizionale.
[28/03]
• Esempi ed esercizi sulle martingale (ABRACADABRA; martingala esponenziale).
[29/03]
• Esempi sulle martingale (tempi di primo passaggio per passeggiate aleatorie semplici
sugli interi).
1
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Teoremi di convergenza e disuguaglianze.
• Disuguaglianza di upcrossing. Teorema di convergenza per supermartingale limitate
in L1 .
[30/03]
• Integrabilità uniforme. Caratterizzazione della convergenza in L1 .
[31/03]
• Esempi ed esercizi sulle martingale (rovina del giocatore; Enterprise).
[04/04]
• Esempi sulle martingale (Enterprise - reprise). Caratterizzazione delle martingale
uniformemente integrabili.
[05/04]
• Teorema di convergenza di Lévy upward. Corollari: legge 0-1 di Kolmogorov,
approssimazione di f : [0, 1) → R integrabili con funzioni costanti a tratti. Teorema
di convergenza di Lévy downward. Corollario: legge forte dei grandi numeri.
[06/04]
• Esercizi sulla speranza condizionale.
• Disuguaglianza massimale per submartingale. Corollario: disuguaglianza di Kolmogorov per somme di variabili indipendenti. Disuguaglianza di Doob in Lp .
[07/04]
• Martingale convergenti in Lp per p > 1. Il caso L2 . Esercizi sulle martingale.
[11/04]
• Esercizi sulle martingale (foglio 1).
• Decomposizione di Doob di un processo adattato.
[12/04]
• Decomposizione di Doob di una submartingala. Variazione quadratica hMi di una
martingala M in L2 . Legame tra finitezza di hMi∞ e convergenza di M.
[13/04]
• σ-algebre associate ai tempi d’arresto e loro proprietà. Teorema d’arresto opzionale per
submartingale e tempi d’arresto limitati. Teorema d’arresto opzionale per martingale
uniformemente integrabili.
[14/04]
• Esercizi sulle martingale (foglio 2).
Esempi.
[18/04]
• Dimostrazione di Kolmogorov della legge forte dei grandi numeri.
[19/04]
• Dimostrazione combinatoria del teorema di De Finetti per l’urna di Polya.
• Esercizi sulle martingale (foglio 2).
[20/04]
• Processi di ramificazione di Galton-Watson.
3. Moto browniano (28 ore) [78]
Richiami di probabilità.
[21/04]
• Convergenza debole di misure di probabilità. Nozioni di convergenza per variabili
aleatorie (in legge, in probabilità, quasi certa, in Lp ) e loro relazioni.
• Funzioni caratteristiche e loro proprietà.
• Leggi normali in Rd e loro proprietà. Il limite in legge di vettori normali è normale.
[27/04]
• Spazi di probabilità completi (cenni).
3
Processi gaussiani e moto browniano.
• Definizione di processo stocastico (no filtrazione). Spazio delle traiettorie, legge del
processo, leggi finito-dimensionali. Processi gaussiani.
• Moto browniano: motivazione, definizione, leggi finito-dimensionali.
[28/04]
• Esercizi sulle martingale (foglio 3).
[02/05]
• Caratterizzazione come processo gaussiano. Proprietà di invarianza. Continuità di
tB1/t in t = 0. Legge dei grandi numeri per il moto browniano.
[03/05]
• Esistenza del moto browniano: costruzione di Paul Lévy.
[04/05]
• Funzioni a variazione finita e integrale di Riemann-Stieltjes. Variazione quadratica
del moto browniano. Variazione infinita delle traiettorie del moto browniano.
[05/05]
• Esercizi sulle variabili normali e sul moto browniano (foglio 4).
• Legge del logaritmo iterato (enunciato) e sue conseguenze (non differenziabilità).
[11/05]
• Continuità delle traiettorie e misurabilità di funzionali del processo. σ-algebra
associata a un processo. Indipendenza di processi; il caso dei processi congiuntamente
gaussiani. Filtrazione naturale di un processo. Riformulazione del moto browniano:
indipendenza degli incrementi espressa tramite la filtrazione naturale.
[12/05]
• Nozioni di modificazioni, indistinguibilità, continuità, misurabilità per processi stocastici.
Filtrazioni e loro proprietà; ampliamento standard. Processi adattati e progressivamente
misurabili.
[16/05]
• Moto browniano multidimensionale.
• Il moto browniano come applicazione a valori in C([0, ∞), Rd ): la misura di Wiener. Il
principio di invarianza di Donsker (enunciato).
Processi di Lévy e proprietà di Markov.
[17/05]
• Definizione di processo di Lévy (e di moto browniano) rispetto a una filtrazione.
Indipendenza dalla σ-algebra iniziale. Ampliamento della filtrazione. Legge 0-1 di
Blumenthal per i processi di Lévy.
[18/05]
• Tempi d’arresto e loro proprietà. La proprietà di Markov forte per i processi di Lévy.
Uguaglianza in legge di processi di Lévy.
[19/05]
• Esercizi sul moto browniano (foglio 5).
[23/05]
• Il principio di riflessione per il moto browniano. Martingale associate al moto
browniano. Principali risultati per martingale a tempo continuo (enunciati). Esempio:
probabilità di uscita del moto browniano da un intervallo.
4. Integrale stocastico (20 ore) [98]
[24/05]
• Estensione di isometrie densamente definite su spazi pseudometrici. Il caso delle
isometrie lineari su spazi seminormati.
• Spazi di processi M2 [a, b] e S[a, b]. Lo spazio S[a, b] è contenuto in M2 [a, b]. Integrale
stocastico di processi in S[a, b].
4
[25/05]
• S[a, b] è un sottospazio vettoriale denso di M2 [a, b]. L’integrale stocastico di processi
in S[a, b] è un operatore a valori in L2 (Ω) lineare e isometrico. Integrale stocastico per
processi in M2 [a, b]. Prime proprietà (conseguenze dell’isometria).
[26/05]
• L’integrale stocastico di processi in M2 [a, b] ha media nulla. Se il processo integrando
è deterministico, l’integrale stocastico (integrale di Wiener) è una variabile normale.
Esercizi (foglio 6).
[30/05]
• Additività dell’integrale stocastico rispetto agli estremi di integrazione. L’integrale
stocastico di processi in M2 [0, T] è una martingala continua di quadrato integrabile e ammette una modificazione continua. Integrale stocastico e tempi d’arresto
(enunciato).
[31/05]
• Località dell’integrale stocastico. Estensione dell’integrale stocastico a processi in
M2loc [0, T]. Proprietà dell’integrale stocastico di processi in M2loc [0, T]: convergenza in
probabilità, tempi d’arresto, località (enunciati); approssimazione mediante somme
di Riemann. Esercizi (foglio 6).
[01/06]
• Martingale locali. L’integrale stocastico di un processo in M2loc [0, T] è una martingala
locale. Martingale locali dominate (risp. positive) sono martingale. La formula di Ito
(prima parte della dimostrazione).
[06/06]
• Dimostrazione della formula di Ito (seconda parte). Esercizio (foglio 7). Processi di
Ito e differenziale stocastico. Formula di Ito generalizzata (enunciato).
[07/06]
• Esercizio (foglio 7). Moto browniano geometrico. Formula di Ito per il moto browniano
multidimensionale (enunciato).
[08/06]
• Il problema di Dirichlet in domini limitati: lemma preliminare; unicità della soluzione
e formula di rappresentazione.
• Processo di Poisson come processo di Lévy di conteggio. Gli intertempi sono variabili
i.i.d. esponenziali e le distribuzioni marginali del processo sono Poisson.
[09/06]
• Esercizi (foglio 8).