Finanza matematica - Lezione 05
Dimostrazione ii.: sia : ∈ , dotato di limite → . Allora vale che:
| Infatti è -misurabile perché processo adatto alla filtrazione. Inoltre vale che:
∈ Prendendo ∈ , , con martingala, si ha che:
| e questo è vero ∀ ∈ . quindi è vero anche che:
lim →
ma con → si ha:
lim →
Moto browniano
La più famosa tra le martingale che soddisfano le proprietà sopra elencate è il moto browniano. Si consideri un
processo stocastico : ∈ , e sia ∈ una realizzazione, data questa si osserva . Se è piccolo
allora diventa una funzione e quindi può considerarsi come funzione solo del tempo, → , funzione detta
sentiero.
Relativamente al moto browniano valgono le seguenti proprietà:
1) continuità: i sentieri di sono continui quasi certamente;
2) incrementi indipendenti: l’incremento ! e l’incremento ! " , per # $, sono indipendenti. In
particolare vale che gli incrementi sono indipendenti dall’informazione iniziale, ! % ! ;
!
#
3) incrementi stazionari: l’incremento ! è distribuito come una normale &0, #.
&0, #
0
Da quanto detto discende che è possibile determinare la distribuzione congiunta finito dimensionale di:
)*+ ∈ ,- . ∩ … ∩ *1 ∈ ," .2,3 ⊂ È possibile vedere questa probabilità come una misura su uno spazio generato come prodotto cartesiano dei ,3 :
5+,…,1 ,- 6 … 6 ," distribuzione congiunta del processo alle date - , … , " sugli insiemi ,- , … , ," .
Ci si chiede ora se la probabilità congiunta e la distribuzione congiunta siano equivalenti, ovvero se una probabilità
congiunta rappresenti effettivamente la distribuzione congiunta di un moto browniano. Grazie a Kolmogorov è
possibile rispondere affermativamente a questa domanda nel caso in cui la probabilità congiunta soddisfi le seguenti
proprietà:
1) scambiare gli indici degli eventi e delle date non si hanno differenze:
57
+
,…,71
8,9+ , … , ,91 : 5+,…,1 ,- , … , ," 2) se aumenta il numero di istanti temporali e per questi l’insieme di riferimento è tutto non si hanno
differenze:
5+,…,1 ,- 6 … 6 ," 5+,…,1,1;+,…,1;< ,- 6 … 6 ," 6 6 … 6 La distribuzione congiunta di un moto browniano è definita come segue:
=
5+>,…,1 ,-
6 … 6 ," ?
G+ 6…6G1
1
A2C-
D
E
= E= F+ + >
6
1
A2CF
- D
E
= E= F
E+ +
6 … HI- HIF … HI"
Con $ 1 si nota che questa è una distribuzione normale unidimensionale. J IJ rappresenta il punto iniziale del
processo, e identifica il moto browniano di punto iniziale IJ .
La varianza del moto browniano è esattamente :
,F ? I F KL IHI Da ciò si può indagare sul fatto che:
sup‖, ‖
Q ∞
Ciò in genere non è vero in quanto non è limitato, è vero invece che:
sup‖, ‖
√V
ST
Analizzando dunque un intervallo W0, VX è possibile dunque caratterizzarne tutti gli aspetti rilevanti.
Il moto browniano è una martingala. Infatti, si consideri #, allora:
, |! ,
,! |! Y ,!
essendo ,! ,! |! . Da questa consegue che:
,
,! |! Y ,! ,
,! Y ,! ,!
essendo per il moto browniano , ,! indipendente da ! , per la proprietà di incrementi indipendenti, ed essendo
, ,! a media 0. È possibile dimostrare tra l’altro che tutte le martingale con traiettoria continua possono essere
viste come trasformazioni di moti browniani.
Si è detto che se , è una martingala allora ,F è una sub-martingala. Vale inoltre che ,F depurato dalla varianza,
ovvero ,F , è ancora una martingala:
,F
|! ,F
,!F |! Y ,!F
Infatti considerato ∈ ! si ha che:
) ,F
ma essendo:
,! F Y 2) ,! ,
,!F 2
,! , ,! , |! ,!F si conclude che:
dunque:
,!F 2 ,
) ,F
,F
|! ,F
,!F 2 ,
,!F |! Y ,!F
# Y ,!F
,! F ,F
,!F
,!F Y ,!F
#
Il processo che porta da una sub-martingala ad una martingala è detto processo di compensazione. Tale processo,
reso possibile dal teorema di Doob-Mayer, prevede che nei processi ad incrementi indipendenti sia possibile tale
trasformazione eliminando un trend deterministico, in questo caso .
Integrali stocastici
Si vuole calcolare l’integrale della funzione Z, rispetto al processo stocastico ,, :
? Z, H,, Ciò interessa in quanto il moto browniano ha a che fare con i prezzi dei titoli.
