COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA PRIMA ALLA SECONDA MONOMI ) 2 2 2 # 4 &, 2
3
6
2 4 3 3
3 2 4
M1) +−x + x y : % − y (. : ( −2x ) + ( −2a b x ) : ( −2a) ⋅ (b x ) $ 3 '3
*
[
]
€
2
)
# 1 &2 ,
3
2
2
2
3 2
2 3
M2) +−0,2a : % − a( . ⋅ ( −b) + −o,1b ⋅ ( −5a ) : ( −5a ) ⋅ ( −5) b $ 3 ' *
€
2
3* # 1 &2
# 1 &2
2
4
5
3
2
M3) + −% − a( ⋅ −4a( −b) : ( −b ) . : ( −2a) + 2% − a ( ⋅ (2a) $ 2 '
, $ 2 '
/
[
]
[
]
2
€
M4) 14 x
M5) −
3
: (2 x )
2
2 2 ⎫
⎧⎡
4 ⎤
⎪
⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎪ ⎡⎛ 3 3 ⎞
+ ⎨⎢− 2 x⎜ − y ⎟ ⎥ ⎬ : ⎢⎜ − x ⎟ ⋅ − y 2 ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎣⎝ 8 ⎠
⎦
⎪⎩⎣⎢
⎭
(
)
5
⎛ 1
⎞ 1
x 2 n ⋅ ⎜ − x n y ⎟ + x n ⋅ − 4 x 2 n y − x 2 n y ⋅ − 1,2 x n
6
⎝ 2
⎠ 8
(
2n −1 2
3+n 2
(a ) ⋅ ( a )
M6) (a ) : a
n 2
: a n −2
)
n −3 n −2
(a )
+
(a ) ⋅ a
n n −5
n −5
(
4
−
)
a n +4
a 2+n
n ∈ N n ∈ N ∧ n > 5 €
PRODOTTI NOTEVOLI: PN1) (a
2
3
)
(
2
− 2a + a 2a + 3a
2
)
2
1 ⎞
⎛
− 2a ⎜ 2a − ⎟ − a 4 (a + 2 )(a − 12 ) 2 ⎠
⎝
3
2
2
⎡⎛
1 ⎞⎛
1 ⎞ 10 2 ⎤
PN2) ⎢⎜ x − a ⎟⎜ x + a ⎟ +
a ⎥ − 4 a 2 + 1 x 2 − 1 − a 2 − x 2 + 2 3 ⎠⎝
3 ⎠ 9 ⎦
⎣⎝
(
PN3) ) (
)
(a + 1 + 3b )2 − 2(a + 1 − 3b )(a + 1 + 3b ) + (a − 3b + 1)2 ⎡
PN4) ⎢
⎣
PN5) )(
(2 x
2
1 ⎞⎛
1 ⎞⎤
1
⎛
− x + xy ⋅ 2 x 2 + x − xy : − 2 x 2 + 2⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟⎥ : (− y ) + y 2 ⎠⎝
2 ⎠⎦
2
⎝
)(
)(
)
(2a + 3b − x )(2a − 3b + x ) − 4(a + 2b )2 + 2(x − 2b )2 − (x − b )2 2
2
⎡⎛ 1
1 ⎞
65 4
⎞⎛ 1
⎞⎤
⎛ 2
2
2
2
2
PN6) ⎢⎜ − a + 2b ⎟⎜ − a − 2b ⎟⎥ + ⎜ 2a − b + ⎟ − b 17b − 6a − 1 −
a 2 ⎠
16
⎠⎝ 2
⎠⎦
⎝
⎣⎝ 2
PN7) (a + 1)3 + 3(a + 1)2 (a − 1) + 3(a + 1)(a − 1)2 + (a − 1)3 (
)
2
2
2
⎧⎪⎡⎛
1 ⎞
1 ⎤⎛ 2 2 ⎞ ⎡⎛
1 ⎞
1 ⎤ ⎛ 2 2 ⎞ a 2 ⎫⎪
4
4
PN8) ⎨⎢⎜ a − ⎟ − ⎥⎜ a + a ⎟ + ⎢⎜ a + ⎟ − ⎥ ⋅ ⎜ a − a ⎟ −
⎬ : a − 4a 3 ⎠
9 ⎥⎦⎝
3 ⎠ ⎢⎣⎝
3 ⎠
9 ⎥⎦ ⎝
3 ⎠ 9 ⎪⎭
⎪⎩⎢⎣⎝
⎡
PN9) ⎢4 x
2
⎣⎢
⎡⎛
⎣⎢⎝
PN10) ⎢⎜ x
3
3
⎛ 2 y 2 ⎞⎛ 2 y 2 ⎞ ⎛ 1 2
⎞ ⎛ 1
⎞ ⎤
⎜⎜ 2 x −
⎟⎟⎜⎜ 2 x +
⎟⎟ + ⎜ y − 2 x 2 ⎟ − ⎜ y 2 + 2 x 2 ⎟ ⎥ : x 2 y 4 + 2 3 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 3
⎠ ⎝ 3
⎠ ⎥⎦
⎝
2
3
3
1 ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎤⎛
3 ⎞
− ⎟ + ⎜ x 2 + ⎟ ⎥⎜ 2 x 6 − x 2 ⎟ − 4 x 12 2 ⎠ ⎝
2 ⎠ ⎦⎥⎝
2 ⎠
⎡⎛
⎣⎝
PN11) ⎢⎜ a − 3b −
12
PN12) a
1 ⎞⎛
1 ⎞ 1 ⎤
2
2
2 2
⎟⎜ − a + 3b − ⎟ − ⎥(a + 3b ) + a − 9b 2 ⎠⎝
2 ⎠ 4 ⎦
(
[
3
3
3
)
] 12
− a 2 ( a 4 − 3b 4 )⋅ ( a − b) ( a + b) + ( a 2 + b 2 ) ⋅
€
SEMPLIFICA LE SEGUENTI ESPRESSIONI: 1.
2
3
4
19 − x
−
− 2
+ 3
=
2
x + 2x − 3 6 − x − x
x − 3 x + 2 x − 7 x + 6 2
⎡
2by − b
1 ⎞
y ⎤ 2 y 2 + y + 1
⎛ 1
2. ⎢ 2
:
−
= ⎟ +
⎥ :
2
2
2 ⎜
a
+
b
a
−
b
y
+
1
2
y
+
1
2
a
y
+
a
−
2
b
y
−
b
⎝
⎠
⎣
⎦
⎛ 1
1
4 ⎞⎛ a + y
a − y ⎞ ⎛ a y ⎞
⎜⎜ 2 + 2 − 2
⎟⎜
⎟.⎜ − ⎟ =
+ 2
2 ⎟⎜ 2
3. ⎝ a
y
a + y ⎠⎝ a − ay a + ay ⎟⎠ ⎜⎝ y a ⎟⎠ ⎡ y 3 − 1 ( y + 1)2 − y
1 − y ⎤ ⎛
1 ⎞
4. ⎢ 3
⎟⎟ = :
− 2
⎥ : ⎜⎜ y −
2
2
−
y
y
−
8
y
−
4
y
+
4
(
)
y
+
2
−
2
y
⎝
⎠
⎣
⎦
(a + b )2 − 2(a + b ) + 1 .⎡a + b − 1 + 4(a + b ) ⎤ = 5.
⎢⎣
a + b − 1⎥⎦
(a + b )2 − 1
x 2 − x 3x 2 − 8 x + 4 ⎛
x2
x
2 ⎞
⎜
⎟ = 6.
.
:
− 2
−
2
2
3
⎜
x − 2 x 2 − 2 x + 1 ⎝ 1 − 3x + 3x − x
x − 2 x + 1 1 − x ⎟⎠
(
)
⎡⎛ 1
1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞ ⎤
a2
7. ⎢⎜⎜ 3
⎟⎟ : ⎜⎜ 3
⎟⎟ + 1⎥.
− 3
+ 3
= 2
a
y
+
y
a
y
−
y
a
y
+
y
a
y
−
y
(
)
a
+
1
−
a
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
4
3
2
3
a −a
a +a +a
b
8.
: 2 2
:
= 3
2
2
2
a − 3a + 3a − 1 a b − 2ab + b a − 1
2
2
3
⎛ a 3 − 8 ⎞ ⎛
⎞ ⎛ a ⎞ a 2 − 4a + 4
a3
⎟⎟ .⎜⎜ 2
⎟⎟ .⎜ 2
9. ⎜⎜
= ⎟ .
a4
⎝ a ⎠ ⎝ a + 2a + 4 ⎠ ⎝ a − 2a ⎠
⎡⎛
y ⎞ ⎛
1 ⎞
6( y + 1) ⎤ ⎡ 3 y 2 + 6 y + 6 2 + y
y ⎤
10. ⎢⎜⎜ 2 −
⎟⎟ : ⎜⎜1 +
⎟⎟ − 2
+
−
⎥.⎢
⎥ = 2
y
+
2
y
+
3
3
y
+
3
y
−
1
y
+
4
y
+
4
3
y
−
1
⎠ ⎝
⎠
⎦
⎣⎝
⎦ ⎣
(
)
⎡⎛
⎤ ⎧ 2 x 3
3x ⎞⎛
2 x ⎞
11. ⎢⎜ x − 2 −
⎟⎜ x + 6 −
⎟ + 13⎥ : ⎨
2
x + 2 ⎠⎝
x + 1 ⎠
⎣⎝
⎦ ⎩1 − x
3
⎡⎛ 1 + x ⎞⎛
1 ⎞⎤ ⎫
1
: ⎢⎜
− 1⎟⎜1 −
= ⎟⎥ ⎬ − 3
⎣⎝ 1 − x ⎠⎝ 1 + x ⎠⎦ ⎭ x (x + 1)
⎧⎡
1 ⎤ 8b 2 − 8b
b 2 − 2b ⎞
2 ⎫ ⎛
12. ⎨⎢(2b − 1)3 −
⎜
⎟⎟ = :
−
b
.
1
−
⎬ ⎜
2
2b − 1⎥⎦ 2b − 1
⎩⎣
⎭ ⎝ b − 2b + 1 ⎠
−1
⎡
⎤ ⎧⎛ x
2 xy
y ⎞ ⎛ x
y ⎞ ⎫
13) ⎢ 2
⎜
⎟
⎜
⎟⎟ + 1⎬ = −
1
.
−
2
+
:
+
2
+
⎨
⎥
2
⎜ y
⎟ ⎜ y
x
x
x
+
y
+
2
xy
⎠ ⎝
⎠ ⎭
⎣
⎦ ⎩⎝
⎡⎛ a 2a ⎞ −2 ⎛ a 2a ⎞ −1 ⎤ ⎛ b
1 ⎞
14) ⎢⎜ − 2 ⎟ : ⎜ − 2 ⎟ ⎥ : ⎜ . 2
⎟ = ⎢⎣⎝ 2 b ⎠ ⎝ 2 b ⎠ ⎥⎦ ⎝ a b − 4 ⎠
2
a
4 ⎞ ⎡⎛ 2
⎛
⎞
15) ⎜ a +
⎢
+
.
−
1
+
a
⎟ ⎜
⎟
a + 3 a + 3 ⎠ ⎢⎝ a + 1
⎝
⎠
⎣
16) ⎛ 2 + 3a + a 2 ⎞
⎟⎟
: ⎜⎜ 2
⎝ a + 2a − 3 ⎠
2
2
⎤ ⎛ 2
⎞
⎥ : ⎜
+ a − 1⎟ = ⎠
⎥⎦ ⎝ a + 1
2b
1
1
+
+
= 2
y +b−2 y −b−2
y − 4y + 4 − b
2
⎛ x 2 + 2 x − 3 x 2 + x − 2 ⎞ x 2 − x − 6
⎟.
17) ⎜⎜
:
= 2
2 x 2 − 6 x ⎟⎠ x 2 − 2 x
⎝ x − 9
⎡⎛ 1
1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞ ⎤
a2
18) ⎢⎜⎜ 3
⎟⎟ : ⎜⎜ 3
⎟⎟ + 1⎥.
− 3
+ 3
= 2
a
y
+
y
a
y
−
y
a
y
+
y
a
y
−
y
(
)
a
+
1
−
a
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
EQUAZIONI E1) (
)
(
)
2(x − 1) x 2 + x + 1
x 2 − x + 1 (x + 1) x 3 − 11
= 3 − 2x +
+
5
3
15
1 ⎡ x − 1 ⎛ 1
⎞ 1 − 2 x ⎤
⎛ 1
E2) ⎢−
÷ 3 = 2⎜ −
⎜ − 2 ⎟ +
⎥
2 ⎣
3 ⎝ 2
6 ⎦
⎠
⎝ 6
x ⎞ 1 ⎛
1 ⎞
41
x ⎟ + ⎜ 5 x − ⎟ + x −
3 ⎠ 6 ⎝
6 ⎠
36
E3) 2(1 − x )(− 1 − x ) + (2 − x )3 + 12 x = 2(2 x − 1)(1 + 2 x ) − x 3 + 8 3
1 ⎞ ⎛ 2
1
1
⎛
⎞
⎛ 2
⎞
E4) ⎜ x − ⎟ − ⎜ x − 1⎟(2 − x ) − x⎜ x + 3 ⎟ = x 2 (x − 1) − (2 − x ) − 3 ⎠ ⎝ 5
3
27
⎝
⎠
⎝ 5
⎠
EQUAZIONI FRATTE E5) 2x
5
6x
2
− =
+ x − 3 x 3x − 9 3x
3x + 2 4 x 2 + 5 x + 1 x + 17 3x + 2
E6) 2
+
=
+
x−3
x−2
x − 4 x 2 − 5x + 6
2x 2 + 4x + 7
x + 10 3x 2 + 16 x + 8
E7) 2
+ 3x + 6 =
+
x+2
x+3
x + 5x + 6
7 x + 2 5 x + 4 34 x 2 + 43 x − 2
10 − x
E8)
+
=
+ 2
2
x
2x − 3
4x − 9
2 x − 3x
EQUAZIONI LETTERALI L1) x −1 2x −1
2
−
= 2 a −1 a +1 a −1
&
4 )
('a = −1∨ a = 1l'eq. perde signif; a = 3, imp; a ≠ ±1∧ a ≠ 3,x = 3 - a +* €
L2) €
L3) x
x
2
− 2
= 2 a − a a + a a −1
€
2
x
2x −1
x
+
2 =
k −1 1 − k
k +1
€
[a = 0 ∨ a = ±1 l'eq. perde signif; a ≠ ±1∧ a ≠ 0,x = a] €
[k = −1∨ k = 1l'eq. perde signif; k ≠ ±1 impossibile] L4) 2(x −1) 2 + x
x(a + 2) 1 − ax
+
+ 2a −1 =
+ 2 a
a
a
a
€
$
1- 2a '
&a = 0l'eq. perde signif; a = 2, imp; a ≠ 0 ∧ a ≠ 2,x =
) a(2 - a) (
%
L5) x +1 x −1
2(b −1)
+
= 2
b −1 b − 2 b − 4b + 4
€
%
3
3
b (
'&b = 2 ∨ b = 1l'eq. perde signif; b = 2 , ind; b ≠ 1∧ b ≠ 2 ∧ b ≠ 2 ,x = b - 2 *) €
€
bx +1 bx −1
2b + 5
+
= 2
b −1 b + 2 b + b − 2
€
&
2)
('b = 1∨ b = −2l'eq. perde signif; b = 0, imposs; b ≠ 0 ∧ b ≠ 1∧ b ≠ −2,x = b +* L6) €
L7) x −3
x
2
−
2 =
a − 8a +16 5a − 4 − a
a−4
€
%
(
5
5
'&a = 1∨ a = 4l'eq. perde signif; a = 2 , ind; a ≠ 1∧ a ≠ 4 ∧ a ≠ 2 ,x = a -1*) L8) x +1 − a 2 − x
x −2
+
= 2
2
a
a −a
€
€
€
2
[a = 0 ∨ a = 1 l'eq. perde signif; a = 3,indet;a ≠ 0 ∧ a ≠ 1∧ a ≠ 3,x = a +1] x−5
x +1
6
− 2
= 2
b − 6b + 9 b + 6b + 9 b − 9
€
[b = 3∨ b = −3l'eq. perde signif; b = 0, indet; b ≠ 3∧ b ≠ -3∧ b ≠ 0,x = b + 2] L9) 2
L10) €
%
(
5
5
'&a = 2 ∨ a = 3l'eq. perde signif; a = 2 , ind; a ≠ 2 ∧ a ≠ 3∧ a ≠ 2 ,x = -2 *) €
L12) €
x −1 #
3b & x +1 #
2 &
10b
%1+
(−
%1 −
(= 2
2 $ 2 − 3b '
3 $ 2 − 3b ' 9b −12b + 4
€
%
2
2
2 + 3b (
'&b = 3 l'eq. perde signif; b = -1, ind; b ≠ −1∧ b ≠ 3 ,x = 2 - 3b *) L13) ( x −1)
a +1
a −1 2( a + 2)
+ ( x +1)
=
a −1
a
a +1
€
&
1
1
a +1 )
('a = 0 ∨ a = −1l'eq. perde signif; a = - 2 , ind;a = 1 , imposs; a ≠ 0 ∧ a ≠ ±1∧ a ≠ − 2 ,x = a -1 +* L14) €
€
a+ x
1
3+ x
+ 2
= 0 2 −
4 − 4a + a
a − 3 a − 5a + 6
€
%
m (
'm = 0 ∨ m = 2l'eq. perde signif; m = 3, indet;m = 1, imposs; m ≠ 0 ∧ m ≠ 3∧ m ≠ 1∧ m ≠ 2,x =
*
4(m -1) )
&
L11) €
(2x − 3)(€
1 − m) m −1 8 − 5m 6x(m −1) +1
+
=
−
m −2
m
2−m
m
x −4
x −1
2
+ 2
=
a − 4a + 4 a − a − 2 a − 2
2
&
)
1
1
('a = −1∨ a = 2l'eq. perde signif; a = 2 , ind; a ≠ −1∧ a ≠ 2 ∧ a ≠ 2 ,x = a - 2 +* ax 2 + a 2 x€+ 2a 2 ax − a 2 a( x + a)
L15) +
=
2x 2 − 2ax
2x
x −a
€
L16) €
−4a 2
2a
2a
=
2
2 +
a −x
x −a x+a
€
'
a + 2*
)a = 0 ∨ a = 1∨ a = -2 S = ∅ ; a ≠ 0 ∧ a ≠ 1∧ a ≠ −2,x =
, 3 +
(
(a 2 − a)x
a
6
L17)
=
⋅
2
x −4
x +2 x −2
1
a
1
=
−
2 2
1− a x
1 + ax 1 − ax
L19)
a −1
a
3a 2 + 3a +1
−
= 2
2x + 3 2 − x 2x − x − 6
L20)
a
a −5 a +5
−
=
x − 25 x + 5 x − 5
L21)
a (x − a )
b + 2 b(b + 2a − x )
b2
4
+
=
+
+
(2 − b)(b + 4) b + 4 (2 − b)(b + 4) (b − 2)(b + 4) (2 − b)(b + 4)
€
[ℜ - {±a}] €
L18)
€
2
Problemi di primo grado
P1) La base di un triangolo rettangolo è doppia dell’altezza e la loro differenza misura 14 cm.
Calcola le due lunghezze
P2) Il perimetro di un rettangolo misura 1m e la base misura
3
dell’ altezza. Calcola i due lati
2
P3) La diagonale di un rombo è uguale ai quattro terzi dell’altra diagonale e la somma di un mezzo
della prima più il doppio della seconda vale 40 cm. Quanto misurano le due diagonali?
€
P4) Il perimetro di un trapezio isoscele misura 260cm; la base maggiore è cinque mezzi della
minore e il lato obliquo è i tre mezzi della base minore . Calcola i lati del trapezio
P5) Un trapezio rettangolo AECD è formato da un quadrato ABCD e da un triangolo rettangolo
BEC i cui angoli acuti C ed E sono l’uno i 13/5 dell’altro. Determina gli angoli del trapezio
[90°, 90°, 25°, 155°]
P6) La base minore di un trapezio rettangolo ABCD è uguale all’altezza. Il rapporto tra il lato
obliquo e l’altezza è 17/15. Il perimetro del trapezio è 385 cm. Calcola l’area. [8621,25 cm2]
P7) In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale AC è perpendicolare al lato obliquo CB. La
differenza delle basi è 18 cm e la base maggiore è 25/16 della base minore. Determina la diagonale
AC ed il perimetro del trapezio. [40cm; 136 cm]
P8) Il numeratore ed il denominatore di una frazione sono due numeri dispari consecutivi e la
differenza fra il quadrato del denominatore e il quadrato del numeratore è 82. Qual è la frazione.
[15/17]
P9) Trova la frazione equivalente alla frazione ¾ tale che la differenza tra denominatore e
numeratore sia 6. [18/24]
P10) Determina un numero di due cifre sapendo che la cifra delle decine supera di 3 quelle delle
unità. Sottraendogli il numero 47 si ottiene un altro numero avente la cifra delle decine uguale a 3 e
la cifra delle unità uguale a quella delle decine del numero da trovare. [85]
P11) Un numero è formato da tre cifre che sono numeri consecutivi. La somma del numero dato e
di quello che si ottiene invertendo l’ordine delle cifre è un numero con tre cifre uguali a 8; qual è il
numero? [345; o 543]
Dimostrazioni di geometria
1) Sia P un punto qualsiasi della base AB del triangolo isoscele ABC; sia R il punto di AC tale
che AR = PB e sia S il punto di BC tale che SB = AP. Si dimostri che i triangoli APR e BSP
sono congruenti. Si congiunga R con S e si dimostri che PRS = PSR.
2) Si consideri un angolo di vertice O e sia OM la sua bisettrice, sui lati dell’angolo si
prendano i due segmenti OA=OB. Dimostrare che le congiungenti i punti A e B con un
punto qualunque C della bisettrice OM sono congruenti.
3) Dato il triangolo ABC isoscele sulla base AB, si consideri un punto D di AC e sia E il punto
di BC tale che CE=DC. Indicato con M il punto medio di AB, si dimostri che DEM è un
triangolo isoscele.
4) Dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e
la mediana relativa ad uno di essi.
5) Dato il triangolo equilatero ABC, siano D il punto simmetrico di B rispetto a C, E il
simmetrico di C rispetto ad A, F il simmetrico di A rispetto a B. Dimostrare che: a) i
triangoli EAB, DCA, FBC sono congruenti; b) DE=DF e che DE=EF. Come risulta il
triangolo DEF.
6) Si consideri un triangolo isoscele ABC, di vertice C. Si prolunghi AC, dalla parte di C; di un
segmento CE minore del lato del triangolo isoscele e si prolunghi BC, dalla parte di C, di un
segmento CD=CE. Sia T il punto di intersezione delle rette AD ed EB: Dimostrare che il
triangolo ABT è isoscele.
7) E’ dato il triangolo isoscele ABC, si prolunghino oltre il vertice A i due lati congruenti BA e
CA di due segmenti AE=AD e si unisca B con D e C con E e sia O il punto dove si
incontrano le rette BD e CE. Dimostrare che BD=CE; OD=OE; ilpunto O è sulla bisettrice
dell’angolo in A.
8) Siano XOY e YOZ due angoli consecutivi congruenti e siano OM e ON le loro rispettive
bisettrici; sulle semirette OX, OM, OY, ON, OZ si prendano successivamente i segmenti
congruenti OA, OB,OC,OD,O E. Dimostrare che AB=BC=CD=DE; AD=BE.
9) Sia ABC un triangolo qualsiasi e AM la bisettrice dell’angolo A; si prendano su questa
bisettrice AE=AB e AF=AC. Dimostrare che BF=CE.
10) Per un punto M della bisettrice AM di un angolo A si conducano due rette formanti angoli
congruenti con AM; una di queste rette taglia i lati dell’angolo A rispettivamente in B e in
C, l’altra taglia i medesimi i lati rispettivamente in D e in E. Dimostrare che ME=MB;
MC=MD; ED = BC.
11) Su un segmento BC come base comune si costruiscono, da una stessa parte di BC due
triangolo congruenti qualunque BAC, BA’C, tale che sia BA>CA e CA’>BA’; BA e CA’ si
tagliano nel punto O. Dimostrare che il triangolo BOC è isoscele e che i due triangoli A’OB
e AOC sono congruenti.
12) Dato il triangolo ABC isoscele di base AB, sia M il punto medio della base AB. Sui lati CA
e BC si costruiscano i due triangoli equilateri ACE e BFC e si congiunga E con M ed F con
M. Dimostrare che i triangoli AME e MBF sono congruenti.
13) Nel triangolo ABC, isoscele su AB, siano E ed F rispettivamente i punti medi di CA e BC.
Si prolunghi la base AB di due segmenti AH e BK congruenti e si dimostri che:a) i segmenti
HF e KE sono congruenti; b) detto O il punto di intersezione di HF con EK, il triangolo
HKO è isoscele; c) la semiretta CO biseca l’angolo BCA.
Teoremi sulle rette parallele
14) Dimostrare che la bisettrice dell’angolo esterno adiacente all’angolo al vertice di un triangolo
isoscele è parallelo alla base.
15)Sulla trasversale AB di due rette parallele a, b si prenda, fra A e B un qualsiasi punto C; su a e
su b, dalla stessa parte rispetto ad AB, si prendano due segmenti AD e BE rispettivamente
congruenti a CA ed a CB. Dimostrare che l’angolo DCE è retto.
16)Nel triangolo ABC si prolunghi AB di un segmento AD = AC e si congiunga D con C.
Dimostrare che la bisettrice dell’angolo BAC è parallela a CD.
17)Sulla bisettrice dell’angolo acuto XOY prendi un punto A. L’asse di OA interseca OX in M e
OY in N. Dimostra che: a) OM è parallela ad NA; b) ON è parallela a MA.
18) Siano r e s due rette parallele tagliate dalla trasversale t. Siano R ed S rispettivamente i punti di
intersezione di r e s con t. Siano A e B due punti di r e s situati dalla stessa parte rispetto alla retta t
tali che RA=SB. Dimostra che AB è parallela a t.
19)Sia CD la bisettrice dell’angolo C del triangolo ABC. Conduci da B la parallela a CD che
incontra la retta del lato AC in F. Dimostra che CF=CB.
