progmatgen09-10lz - Università degli studi di Pavia

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MATEMATICA GENERALE – Corso L/Z –
PROGRAMMA DEL CORSO
Si rammenta che gli argomenti svolti nel Precorso di Matematica (si veda la Guida dello Studente) sono
propedeutici al presente corso. Di conseguenza, gli studenti che intendono sostenere l’esame di
Matematica Generale sono tenuti a conoscere gli argomenti impartiti nel Precorso di Matematica.
SPAZI REALI A N DIMENSIONI.
L’insieme Rn . Vettori in Rn. Distanza euclidea, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti
interni, esterni, di frontiera. Insiemi chiusi e aperti. Insiemi limitati e illimitati di numeri reali. Estremo
superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Massimo e minimo di un insieme di numeri reali.
Intervalli. Intorni in R (intorno completo, destro, sinistro, di +infinito, -infinito, infinito).
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE.
Funzioni limitate e illimitate. Estremo superiore e inferiore. Massimo e minimo e punti di massimo e
minimo (relativo e assoluto, debole e stretto). Successioni numeriche. Progressioni aritmetiche e
geometriche. Definizione di limite. Limite destro e sinistro. Limiti per le successioni numeriche.
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Il numero “e” di Eulero. Teoremi sui limiti: unicità
del limite, teorema della permanenza del segno, teorema del limite del prodotto tra una funzione che
tende a zero ed una funzione localmente limitata, teorema del confronto. Teoremi sui limiti delle funzioni
monotone. Limiti fondamentali (limite per x che tende a zero di senx/x con dimostrazione). Scrittura fuori
dal segno di limite. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Funzioni continue. Teoremi relativi alle
funzioni continue (di Weierstrass, di Darboux, degli zeri). Continuità della funzione composta, continuità
della funzione inversa. Punti di discontinuità. Infinitesimi e infiniti: definizione, confronto, infinitesimo
principale, ordine di infinitesimo, principio di eliminazione degli infinitesimi (degli infiniti).
VETTORI REALI
Somma di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Sottospazi lineari (o vettoriali) di Rn.
Vettori fondamentali di Rn. Combinazione lineare di vettori . Vettori linearmente dipendenti e linearmente
indipendenti. Teoremi relativi. Insieme di generatori (o sostegno) di un sottospazio lineare di Rn.
Dimensione e base di un sottospazio lineare di Rn. Base naturale di Rn. Prodotto scalare tra due vettori di
Rn. Vettori ortogonali e teorema relativo.
MATRICI
Generalità e tipologia. Matrici diagonali, scalari, triangolari, simmetriche. Operazioni con le matrici:
somma, moltiplicazione per uno scalare, prodotto tra matrici (definizione e proprietà).
DETERMINANTI
Calcolo dei determinanti. Minori di ordine t. Minori complementari e complementi algebrici. Primo e
secondo teorema di Laplace. Rango di una matrice.
SISTEMI LINEARI
Generalità. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi crameriani. Sistemi normali e non normali. Sistemi
omogenei. calcolo delle soluzioni di un sistema lineare. Interpretazione geometrica dei sistemi lineari di
due equazioni e due incognite.
MATRICE INVERSA
Definizione. Proprietà. Matrice aggiunta. Calcolo della matrice inversa tramite l’aggiunta. Applicazione
ai sistemi crameriani.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
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Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Derivata e suo significato geometrico. Suo
significato dinamico. Retta tangente in un punto al grafico di una funzione. Punti angolosi e cuspidi.
Teorema sulla continuità e derivabilità (con dimostrazione). Derivate delle funzioni elementari (derivata
di y=xn, n intero positivo, con dimostrazione). Regole di derivazione della somma, differenza, prodotto e
quoziente di funzioni. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivate successive.
Funzioni crescenti e decrescenti in un punto e relazioni con il segno della derivata prima in tale punto
(con dimostrazione). Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con dimostrazione) e sua
interpretazione geometrica. Teorema di Lagrange (con dimostrazione) e sua interpretazione geometrica.
Corollari del teorema di Lagrange. Regola I per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativo interni
di funzioni derivabili. Differenziale e suo significato geometrico. Teorema di De l’Hospital sulle forme
indeterminate. Applicazione ai vari casi di indeterminazione. Formula di Taylor con il resto secondo
Peano e secondo Lagrange. Funzioni convesse e concave, strettamente convesse, strettamente concave.
Punti di flesso. Concavità e convessità per funzioni derivabili. Ricerca dei punti di massimo, minimo,
flesso di funzioni derivabili (Regola I e Regola II, ossia tramite le derivate successive). Asintoti. Studio di
funzione.
CALCOLO INTEGRALE
Primitive e integrale indefinito. Teorema sulle primitive (con dimostrazione). Integrali immediati.
Integrazione per scomposizione, per parti (con dimostrazione della relativa formula), per sostituzione.
Integrale definito nel senso di Mengoli-Cauchy. Area di un trapezoide. Integrale definito come differenza
di aree. Integrale definito di Riemann. Condizione necessaria per l’integrabilità. Condizioni sufficienti per
l’integrabilità. proprietà dell’integrale definito. Teorema della media integrale per funzioni continue (con
dimostrazione) e sua interpretazione geometrica. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con
dimostrazione). Formula per il calcolo dell’integrale definito di una funzione continua (con
dimostrazione). Integrali generalizzati (o impropri).
FUNZIONI REALI DI PIU’ VARIABILI REALI
Generalità. Curve di livello. Limiti. Continuità (teoremi di Weierstrass, di Darboux, degli zeri). Derivate
parziali. Gradiente. Derivate parziali successive. Matrice Hessiana e teorema di Schwarz. Teorema di
Fermat. Ricerca dei punti di massimo, minimo (relativo interni), sella, per funzioni di due variabili.
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