CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria della Gestione Industriale
DIAGRAMMI DI BODE
Ing. Luigi Biagiotti
Tel. 051 2093034 / 051 2093068
e-mail: [email protected]
http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti
Diagrammi di Bode e polari
•
Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale del tipo:
Nyquist Diagram
Im{F(ω)}5000
4000
3000
Imaginary Axis
2000
1000
Re{F(ω)}
0
arg{F(ω)}
-1000
-2000
Tre possibili rappresentazioni!
|F(ω)|
-3000
ω
-4000
Bode Diagram
2000
70
50
ω
arg{F(ω)}
0
8000
10000
12000
ω
75
60
4000
6000
Real Axis
Nichols Chart
|F(ω)|
40
45
Phase (deg)
0
80
70
Open-Loop Gain (dB)
Magnitude (dB)
|F(ω)|80
-5000
-2000
|F(ω)|
65
60
55
-45
-90
-2
10
-1
10
Luigi Biagiotti
0
10
1
2
10
10
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
ω
5
10
45
arg{F(ω)}
φ(ω)
50
-80
Controlli Automatici
-60
-40
-20
0
Open-Loop Phase (deg)
20
40
DBode -- 2
Diagrammi di Bode
•
La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene
effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei
procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle
frequenze.
Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode o diagrammi logaritmici
di risposta armonica.
Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due
diversi diagrammi:
•
diagramma delle ampiezze o dei moduli o diagramma α, che riporta il
logaritmo del modulo della risposta armonica;
•
diagramma delle fasi o degli argomenti o diagramma β, che riporta
l'argomento della risposta armonica.
entrambi sono in funzione del logaritmo della pulsazione ω.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 3
Diagrammi di Bode
Si considerano logaritmi naturali. Da
segue che i diagrammi α e β rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte
immaginaria del logaritmo naturale della risposta armonica in funzione del logaritmo
naturale della pulsazione ω.
Magnitude (dB)
Esempio
Bode Diagram
40
30
20
10
0
-10
Phase (deg)
-20
0
-45
-90
-1
10
Luigi Biagiotti
0
10
1
2
3
10
10
10
Controlli AutomaticiFrequency (rad/sec)
4
10
5
10
DBode -- 4
Diagrammi di Bode
E’ comodo l’uso dei logaritmi perché valgono le seguenti proprietà per i numeri complessi e
per i logaritmi.
Proprietà numeri complessi
Proprietà logaritmi
Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha che
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 5
Diagrammi di Bode
Per un più agevole tracciamento dei diagrammi spesso si usa la scala logaritmica.
Si può usare:
Una doppia scala logaritmica per le
ampiezze e scala semilogaritmica per le
fasi
10
Diagrammi di Bode
2
40
|G(j ω)| (db)
|G(j ω)|
10
Una scala semilogaritmica sia per le
ampiezze sia per le fasi: in questo caso la
scala delle ampiezze è graduata in decibel
(db).
1
0
10
0
1
2
10
10
Diagrammi di Bode
10
3
10
20
10
0 -1
10
4
0
0
-20
-20
argG(j ω)
argG(j ω)
10 -1
10
30
-40
-60
-80
-100 -1
10
10
0
Luigi Biagiotti
1
10
ln(ω)
2
10
[rad/sec]
10
3
10
4
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-40
-60
-80
-100 -1
10
Controlli Automatici
10
0
1
10
ln(ω)
2
10
[rad/sec]
10
3
10
4
DBode -- 6
Diagrammi di Bode
•
Il decibel è un'unità logaritmica convenzionale che normalmente si impiega per esprimere il
guadagno di amplificatori (quindi una grandezza adimensionale).
•
Un amplificatore di guadagno A (rapporto fra le ampiezze del segnale di uscita e del segnale di
ingresso) si dice anche che ha un guadagno di B db, con
•
La fase si può riportare in gradi o in radianti.
•
Per eseguire la conversione in decibel e viceversa,
può risultare utile il grafico a lato,
ottenuto esprimendo la quantità A mediante la
cosiddetta notazione scientifica:
1
r
10
e considerando che la medesima quantità in
decibel è espressa da
10
Luigi Biagiotti
0
0
2
Controlli Automatici
4
6
8
10
s
12
14
16
18
20
DBode -- 7
Diagrammi di Bode
I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono:
•
Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi
notevolmente estesi;
•
Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il
diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene
eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle
ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la
somma delle fasi;
•
Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in
forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi
fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 8
Diagrammi di Bode
Si prenderà in esame ora, in particolare, questo ultimo punto. Sia data
o, in forma fattorizzata:
•
Il fattore sh corrisponde ad un eventuale polo nell'origine avente ordine di
molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell'origine, è
h=0.
•
Nei casi di interesse nell'ambito dei controlli automatici l'amplificazione
comprende di regola la frequenza zero, cioè la frequenza zero o componente
continua rientra nella banda passante della catena, per cui si esclude la
presenza di uno zero nell'origine.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 9
Diagrammi di Bode
•
Moltiplicando fra loro i fattori corrispondenti a coppie di zeri e poli complessi coniugati,
in modo che i coefficienti risultino tutti reali, e operando opportune posizioni, si ottiene
che equivale alla forma con costanti di tempo
in cui è
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 10
Diagrammi di Bode
Ponendo s = j ω, si ottiene la seguente espressione della funzione di risposta armonica
La costante K è detta costante di guadagno.
•
Per h = 0, essa rappresenta il guadagno statico, cioè il valore della funzione di risposta
armonica per ω= 0
•
Per h = 1, la costante K si chiama anche costante di velocità
•
Per h = 2, la costante K si chiama anche costante di accelerazione
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 11
Diagrammi di Bode
•
Si è ottenuto
•
Se si tracciano i diagrammi di Bode, delle ampiezze e delle fasi, corrispondenti a
funzioni elementari dei tipi:
è possibile, sommandoli, ottenere il diagramma di Bode della funzione complessiva.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 12
Diagrammi di Bode
1. G(jω)=K
Costante K positiva
•
|K| (db)
I diagrammi di Bode delle
ampiezze hanno l'andamento
rappresentato in figura;
il diagramma delle fasi è
identicamente nullo.
15
10
|k|>1
5
0
-10 -1
10
Costante K negativa
Cambia il diagramma delle fasi,
che è identicamente uguale a -π.
Diagrammi di Bode
|k|<1
-5
0
10
2
10
k>0
-50
-100
k<0
-150
-200
-250
-1
10
0
10
ln(ω)
Luigi Biagiotti
1
10
0
arg(K)
•
Controlli Automatici
1
10
[rad/sec]
2
10
DBode -- 13
Diagrammi di Bode
2. G(j ω)=(j ω)-h
Essendo:
i diagrammi di Bode hanno l'andamento rappresentato in figura (per h =1, 2).
Per un generico valore di h:
• il diagramma delle ampiezze è una retta passante per l'origine di inclinazione –h,
• il diagramma delle fasi è identicamente uguale a –h π/2.
Diagrammi di Bode
Diagrammi di Bode
20
0
-10
-20
-30
-40 -1
10
arg(1/(j ω))
|1/(jω)2| (db)
10
10
0
10
1
10
10
0
-10
-20
-30
-40 -1
10
2
0
0
-50
-50
arg(1/(j ω2))
|1/(jω)| (db)
20
-100
-150
-200
-250
-300 -1
10
Luigi Biagiotti
10
0
ln(ω)
10
[rad/sec]
1
10
2
10
0
10
1
10
2
-100
-150
-200
-250
-300 -1
10
Controlli Automatici
10
0
ln(ω)
10
[rad/sec]
1
10
2
DBode -- 14
Diagrammi di Bode
3. G(jω)= (1+j ω τ)± 1.
Nel caso di
Diagrammi di Bode di termini del primo ordine.
G(j ω) = (1 + j ωτ)-1:
I corrispondenti diagrammi di Bode sono i seguenti:
|(1+jωτ)| (db)
-10
-20
-30
-40
-50
-60 -1
10
10
0
10
1
10
60
40
30
20
10
0
100
-20
80
-40
-60
-80
-100 -1
10
10
0
ln(ω)
Luigi Biagiotti
10
[rad/sec]
1
10
2
Diagrammi di Bode
50
0 -1
10
2
arg(1+j ωτ)
arg(1/(1+j ωτ))
|1/(1+jωτ)| (db)
Diagrammi di Bode
0
10
0
10
1
10
2
10
0
10
1
10
2
60
40
20
0 -1
10
Controlli Automatici
ln(ω)
[rad/sec]
DBode -- 15
Diagrammi di Bode –
Diagrammi approssimati a spezzata
E’ molto utile, per le costruzioni grafiche, impiegare diagrammi di Bode
approssimati a forma di spezzata.
Sia data:
Per il diagramma delle ampiezze si impiega l'approssimazione asintotica (la
spezzata costituita dai due asintoti cui tende il diagramma per ω Æ 0 e per ω
Æ ∞), infatti:
•
•
Per ω ¿ 1/ τ (ω2 τ2 ¿ 1), si ottiene α ≈ 0, cioè il diagramma viene a
coincidere con l'asse delle ascisse.
•
Per ω À 1/τ (1 ¿ ω2 τ2), si ha
Il diagramma viene a coincidere con la retta passante per il punto ln ω = ln
(1/τ) e di inclinazione -1 (o -20 db/decade). L'approssimazione asintotica del
diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 16
Diagrammi di Bode –
Diagrammi approssimati a spezzata
L'errore massimo di questa approssimazione si ha per ω = 1/τ e vale
Diagrammi di Bode
20
15
|1/(1+jω)| (db)
10
5
0
-5
-10
-15
-20 -1
10
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
10
0
10
1
DBode -- 17
Diagrammi di Bode –
Diagrammi approssimati a spezzata
Anche il diagramma delle fasi può essere approssimato con la spezzata che si
ottiene collegando i due asintoti β = 0 e β = -π/2 con la tangente al diagramma
nel punto corrispondente alla pulsazione ω0 = 1/τ, in cui è β = π/4.
10
fase
gradi
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100 -1
10
Luigi Biagiotti
0
10
Controlli Automatici
1
10
rad/sec
DBode -- 18
Diagrammi di Bode –
Diagrammi approssimati a spezzata
Da
si può scrivere
le pulsazioni ωa e ωb si determinano, in funzione della pulsazione corrispondente al “punto di
rottura” del diagramma asintotico delle ampiezze, mediante la relazione
da cui
L'impiego delle approssimazioni asintotiche è vantaggioso perché, nell'eseguire la somma dei
diversi diagrammi elementari, basta determinare le ordinate in corrispondenza dei vertici della
spezzata, cioè in corrispondenza delle pulsazioni di rottura di ciascuno dei diagrammi elementari.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 19
Diagrammi di Bode –
•
Diagrammi approssimati a spezzata
Ricapitolando
ampiezza
20
Pendenza 0
Pendenza -1 (-20 dB/decade)
db
10
0
-10
-20 -1
10
gradi
0o
0
10
1
1/τ
fase
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110 -1
10
-90o
1
0
10
rad/sec
10
ωa = ω0 * 4.81
ωb = ω0 / 4.81
Luigi Biagiotti
10
Controlli Automatici
DBode -- 20
Diagrammi di Bode –
Diagrammi approssimati a spezzata
Si sono visti i casi relativi alle funzioni (per valori τ > 0):
Per valori della costante di tempo τ < 0 in entrambi i casi:
il diagramma delle ampiezze risulta immutato, con il punto di rottura per ω = 1/|τ|,
il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 21
db
Diagrammi di Bode - Esempio
ampiezza
40
20
0
-20
-40
gradi
-60 -2
10
-1
0
10
10
1
10
fase
100
2
10
rad/sec
60
20
-20
-60
-100 -2
10
Luigi Biagiotti
-1
10
Controlli Automatici
0
10
1
10
2
10
rad/sec
DBode -- 22
Diagrammi di Bode
Diagrammi di Bode del termine del secondo ordine
•
05δ<1
Se fosse δ = 1, le radici non sarebbero complesse coniugate e il termine di
secondo grado sarebbe il prodotto di due termini di primo grado.
Eventualmente δ < 0: caso considerato a parte.
Analogamente al caso dei termini di primo ordine, si fa riferimento in un primo
tempo all'esponente -1: data la natura logaritmica dei diagrammi, se l'esponente
valesse +1 basterebbe ribaltare entrambi i diagrammi di Bode attorno all'asse delle
ascisse. Per tale valore dell'esponente si può scrivere
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 23
Diagrammi di Bode
Asintoti del diagramma α:
•
Per ω/ωn ¿ 1,
•
Per ω/ωn À 1, prevale il termine (ω/ωn)4 e pertanto
In questo caso il diagramma effettivo può discostarsi sensibilmente da quello
asintotico: in particolare, per δ = 0 e in corrispondenza della pulsazione di
rottura ωn, lo scostamento è infinito.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 24
Diagrammi di Bode
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
•
Per
la curva presenta un massimo;
•
Per
la curva interseca l'asse delle ascisse a
destra del punto ω = ωn ed è pertanto
tutta al di sopra della sua
approssimazione asintotica;
•
Per
•
Per
Luigi Biagiotti
la curva interseca l'asse delle ascisse a
sinistra del punto ω = ωn;
la curva non interseca l'asse delle
ascisse ed è pertanto tutta al di sotto
della sua approssimazione asintotica.
Controlli Automatici
DBode -- 25
Diagrammi di Bode
•
Andamento del diagramma delle ampiezze per diversi valori di δ.
2
10
δ = 0.001
1
|G(j ω)|
10
δ = 0.5
0
10
δ=1
-1
10
-2
10
0
10
Luigi Biagiotti
1
10
ln(ω)
Controlli Automatici
2
10
DBode -- 26
Diagrammi di Bode
Picco di risonanza, Pulsazione di risonanza
•
Il picco di risonanza MR è il valore massimo assunto dal diagramma delle
ampiezze.
•
La pulsazione di risonanza ωR è la pulsazione alla quale esso si verifica.
2
10
1
|G(jω)|
10
0
10
picco di risonanza
δ = 0.001
δ = 0.5
δ= 1
pulsazione di risonanza
-1
10
-2
10 0
10
Luigi Biagiotti
1
10
ln(ω)
Controlli Automatici
2
10
DBode -- 27
Diagrammi di Bode
•
Per il calcolo di MR e ωR conviene, per semplicità, porre u = ω/ωn.
•
Il massimo dell'ampiezza corrisponde quindi ad un minimo della funzione
•
Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 28
Diagrammi di Bode
•
Si è ottenuto
•
Noto il valore di ωR, si calcola il valore dell'ampiezza alla risonanza, cioè del picco
di risonanza MR, come il modulo della funzione di risposta armonica per ω = ωR. Si
ricava:
10
9
8
7
6
MR
Andamento del picco di risonanza MR
in funzione del coefficiente di
smorzamento δ.
5
4
3
2
1
00
Luigi Biagiotti
0.2
Controlli Automatici
0.4
δ
0.6
0.8
DBode -- 29
1
Diagrammi di Bode
Diagramma delle fasi
• Anche il diagramma delle fasi varia in funzione di δ.
δ = 0.5
δ = 0.1
0
δ=0
-20
-40
δ=1
arg[G(jω)]
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
0
10
Luigi Biagiotti
1
10
ln(ω)
Controlli Automatici
2
10
DBode -- 30
Diagrammi di Bode
•
Per quanto riguarda l'approssimazione asintotica, si può ottenere congiungendo gli
asintoti β = 0 e β = -π con un segmento inclinato come la tangente al diagramma
effettivo in corrispondenza della pulsazione di rottura.
•
Si ottiene una famiglia di diagrammi, ciascuno per un diverso valore di δ.
•
Per il calcolo dell'approssimazione asintotica, essendo
si deduce
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 31
Diagrammi di Bode
•
Le pulsazioni ωa e ωb sono legate alla pulsazione di rottura ωn dalla relazione
•
dalla quale si ottiene
•
cioè
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 32
Diagrammi di Bode
In pratica, per determinare sulla scala logaritmica la pulsazione omegaa (oppure la ωb) in
rapporto alla ωn, basta:
•
riportare su una striscia di carta la distanza, presa sulla scala stessa, fra il punto di
ascissa 1 e quello di ascissa 4.81
•
moltiplicare la lunghezza del segmento così ottenuto per δ (ad esempio, se è δ = 0.5, si
assume una distanza paria metà del segmento ottenuto).
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 33
Diagrammi di Bode
• La pulsazione naturale ωn, uguale al modulo delle radici complesse coniugate
cui corrisponde il termine del secondo ordine, non è mai negativa
ωn > 0
•
sempre
Il coefficiente di smorzamento δ può essere invece negativo:
δ<0
In questo caso:
• il diagramma delle ampiezze è uguale a quello che si avrebbe per uno
smorzamento pari a |δ|
•
il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 34
Diagrammi di Bode
•
Caso con δ < 0
Diagramma delle ampiezze:
non cambia
Diagramma delle fasi:
ribaltato attorno all’asse
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 35
Diagrammi di Bode
•
1
10
Diagrammi di Bode per il termine di
secondo ordine
δ
0
|G(j ω)|
10
-1
10
0
δ
-20
-40
-2
0
10
1
2
10
ln( ω )
-60
10
arg[G(j ω)]
10
-80
-100
-120
-140
-160
δ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1, 1.2, 1.5, 2
-180
10
Luigi Biagiotti
0
Controlli Automatici
1
10
ln( ω)
10
DBode -- 36
2
Diagrammi di Bode
•
2
10
Diagrammi di Bode per il termine di
secondo ordine
1
|G(j ω)|
10
0
10
δ
180
160
-1
0
1
10
10
ln( ω)
Picco di attenuazione
Si ribaltano attorno all'asse delle
ascisse i diagrammi ottenuti per
140
2
10
120
arg[G(j ω)]
10
100
80
60
40
δ
20
0
10
Luigi Biagiotti
0
Controlli Automatici
1
10
ln( ω)
10
DBode -- 37
2
Diagrammi di Bode
• Ritardo
•
Essendo
la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fase
crescente linearmente con la frequenza.
•
Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive
dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento
esponenziale.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 38
Diagrammi di Bode
Andamento dei diagrammi di Bode del ritardo
2
|G(j ω)|
10
0
10
-2
10
0
10
1
10
2
ln( ω)
arg[G(j ω)]
0
Luigi Biagiotti
10
τ
-100
τ = 0.1 sec
-200
-300 0
10
3
10
τ = 0.2 sec
1
10
2
ln( ω)
10
Controlli Automatici
τ = 0.5 sec
3
10
DBode -- 39
Esempio: Altoparlante magnetico
N
Funzione di trasferimento del sistema
(dall’ingresso , all’uscita ):
S
N
•
•
•
•
•
•
•
Induttanza bobina
Resistenza bobina
Costante di forza bobina
Massa del cono
Costante elastica sospensione
Coefficiente attrito cono nell’aria
Costante velocità cono/
potenza acustica
Luigi Biagiotti
Mappa poli/zeri:
Controlli Automatici
Zero nell’origine
Poli meccanici
Polo elettrico
DBode -- 40
Esempio: Altoparlante magnetico
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
Phase (deg)
-80
90
0
-90
-180
-1
10
•
•
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Frequency (rad/sec)
La presenza dello zero nell’origine mette in luce che le componenti continue non
vengono “trasferite” (senso fisico)
Le frequenze elevate non vengono trasferite (senso fisico)
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 41
Esempio: Altoparlante magnetico
Il sistema esaminato risulta essere un “passa banda”, ovvero solo le armoniche comprese
in un certo intervallo frequenziale vengono trasferite in uscita senza attenuazione in
ampiezza (a meno di una costante e con sfasamenti trascurabili)
Curva
normalizzata
Bode Diagram
Magnitude (dB)
5
Banda passante:
0
intervallo di frequenze in cui il
diagramma di Bode delle ampiezze
è compreso tra [-3, 3] dB
(in generale compreso in una fascia
ampia 6 dB centrata sul valore
massimo)
-5
-10
-15
-20
90
Phase (deg)
45
0
-45
-90
-135
-180
Classificazione sistemi
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
banda passante
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
DBode -- 42
Proprietà filtranti dei sistemi
Ogni sistema dinamico agisce sullo spettro delle frequenze in ingresso in modo selettivo. Molti sistemi di
interesse fisico possono essere classificati in base la tipo di azione filtrante
Passa Basso
Passa Alto
Banda passante
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
Banda passante
DBode -- 43
Proprietà filtranti dei sistemi
Passa Banda
Banda passante
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
Elimina Banda
Banda passante
DBode -- 44
Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari
Dalla definizione di funzione di risposta armonica, l’uscita a regime di un sistema lineare
asintoticamente stabile con funzione di risposta armonica F(ω), forzato da un ingresso con
spettro frequenziale UF(ω), è un segnale temporale il cui spettro YF(ω):
¾ ha le stesse componenti frequenziali di quello in ingresso (non vengono aggiunte
frequenze non presenti nello spettro di ingresso);
¾ ha un andamento che è quello dello spettro di ingresso “modulato” dall’andamento della
funzione di risposta armonica (| YF(ωi)| = |F(ωi)| |UF(ωi)|).
regime
spettro serie di Fourier
Luigi Biagiotti
spettro serie di Fourier
Controlli Automatici
DBode -- 45
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
0
1
2
3
4
Luigi Biagiotti
5
6
7
-1
20
8
Controlli Automatici
21
22
23
24
25
26
27
28
29
DBode -- 46
30
Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari
•
In realtà la proprietà dello spettro del segnale di uscita di essere quello del
segnale di ingresso “modulato” dalla funzione di risposta armonica non vale solo
per il segnale a regime ma bensì per l’andamento completo.
•
Ricordando le definizioni di serie di Fourier (seganle periodico) o trasformata di
Fourier (segnale qualsiasi)
armoniche
peso del modulo della ka armonica
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
sfasamento della ka armonica
DBode -- 47
1
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
250
0
0
0.2
700
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec)
1.4
1.6
1.8
2
600
200
500
150
400
300
100
200
50
100
0
0
20
40
60
80
100
Frequency (rad/sec)
Luigi Biagiotti
120
140
160
0
0
10
Controlli Automatici
1
10
Frequency (rad/sec)
10
DBode -- 48
2
1
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0
0.2
250
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec)
1.4
1.6
1.8
2
700
200
600
500
150
400
100
300
200
50
100
0
0
20
40
60
80
100
Frequency (rad/sec)
Luigi Biagiotti
120
140
160
0
0
10
Controlli Automatici
10
1
10
2
DBode -- 49
1
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
250
0
0
0.2
700
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec)
1.4
1.6
1.8
2
600
200
500
150
400
300
100
200
50
100
0
0
20
40
60
80
100
Frequency (rad/sec)
Luigi Biagiotti
120
140
160
0
0
10
Controlli Automatici
1
10
2
10
DBode -- 50
CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria della Gestione Industriale
Diagrammi di Bode
FINE
Ing. Luigi Biagiotti
Tel. 051 2093034 / 051 2093068
e-mail: [email protected]
http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti
