Elettronica II – Risposta in
frequenza e diagrammi di Bode di
circuiti del secondo ordine
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Elettronica II – Risposta in frequenza e diagrammi di Bode di circuiti del secondo ordine – p. 1
Circuito LC nel dominio del tempo (1/6)
L
v OUT
+
C
v IN
Nel dominio del tempo, il circuito è descritto dall’equazione
differenziale del secondo ordine:
d 2 vOUT
+ vOUT = vIN
LC
dt 2
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Circuito LC nel dominio del tempo (2/6)
Spegnendo il segnale di ingresso (vIN = 0), ci si riduce
all’equazione differenziale omogenea:
d 2 vOUT
+ vOUT = 0
LC
dt 2
Per ottenere la soluzione, occorre risolvere l’equazione
algebrica di secondo grado:
LCw2 + 1 = 0
che ha le due radici:
1
,
w1 = j √
LC
1
w2 = − j √
LC
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Circuito LC nel dominio del tempo (3/6)
Le soluzioni dell’equazione differenziale
d 2 vOUT
+ vOUT = 0
LC
dt 2
sono le funzioni:
vOUT (t) = K1 ew1t + K2 ew2t
per qualsiasi valore delle due costanti arbitrarie K1 e K2 .
Le soluzioni possono anche essere scritte come:
t
t
vOUT (t) = A cos √ + B sin √
LC
LC
con A e B costanti arbitrarie.
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Circuito LC nel dominio del tempo (4/6)
La costante di tempo del circuito LC è τ =
√
LC.
La frequenza caratteristica è:
fo =
1
√
2π LC
La soluzione nel dominio del tempo può essere scritta
come:
vOUT (t) = A cos 2π fot + B sin 2π fot
da cui si vede che, in assenza di segnale di ingresso, è
presente una tensione con andamento sinusoidale alla
frequenza caratteristica f o .
Il circuito LC è un OSCILLATORE.
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Circuito LC nel dominio del tempo (5/6)
Anche la corrente nel circuito ha un andamento sinusoidale
alla frequenza caratteristica f o :
i(t) = C
dvOUT
= −2π foC · A sin 2π fot + 2π foC · B cos 2π fot
dt
L’andamento della corrente è soluzione dell’equazione
differenziale:
d 2i
LC 2 + i = 0
dt
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Circuito LC nel dominio del tempo (6/6)
Per conoscere l’ampiezza di tensione e corrente, occorre
conoscere le condizioni iniziali del circuito (problema di
Cauchy).
Le condizioni iniziali sono due. Per le simulazioni con
SPICE nel dominio del tempo, si usano:
la tensione ai capi della capacità vOUT (0)
la corrente nell’induttanza i(0)
In SPICE le condizioni iniziali sono specificate con il
parametro IC per ogni capacità e induttanza.
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Circuito LC nella frequenza (1/6)
L
v OUT
+
C
v IN
La risposta in frequenza è:
H( f ) =
1
1
=
1 + ( j2π f )2 LC 1 − (2π f )2 LC
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Circuito LC nella frequenza (2/6)
H( f ) =
1
1
=
1 + ( j2π f )2 LC 1 − (2π f )2 LC
La riposta in frequenza è sempre reale. Quindi ∠H = 0
oppure ∠H = π , per ∀ f .
Il denominatore ha segni discordi: quindi esistono
valori di f per cui si annulla. Si osserva
immediatamente che il denominatore di H( f ) si annulla
alla frequenza caratteristica:
fo =
1
√
2π LC
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