Attività sulla Geometria della Sfera progetto PIANO LAUREE

Attività sulla Geometria della Sfera
progetto PIANO LAUREE SCIENTIFICHE 2010-2011
Si introduce agli studenti l’attività in termini di “contenuti diversi” (argomento non
usuale di geometria e “modalità diverse” (materiale concreto, che accompagna lo
sviluppo della teoria, discussione fra pari, nel piccolo gruppo e discussione di classe
per confrontare e condividere i risultati)
Metodologia: suddivisione a gruppi di 4-5 studenti (modalità di formazione dei
gruppi scelta dall’insegnante) e condivisione di alcune modalità di lavoro:
una scheda di lavoro per gruppo, sulla quale scrivere le considerazioni su cui il
gruppo è d’accordo (se ci sono pareri contrastanti si riportano, così da poter essere
discussi più ampiamente)
raccolta degli esiti: un relatore per ogni gruppo (scelto dall’insegnante a
conclusione dell’attività) propone l’esito del suo gruppo che l’insegnante scrive alla
lavagna (per intero per il primo gruppo e con aggiunte o modifiche per i gruppi
successivi)
confronto e discussione degli esiti
condivisione e scrittura (da parte di ognuno, sul suo quaderno) delle proposizioni
ritenute valide
SCHEDA 1 (1° incontro di 2 ore)
GRUPPO ……………………….
Nomi dei partecipanti
…………………………..
…………………………..
………………………….
………………………….
………………………….
Data: …………………..
(Tempo: 30 minuti circa)
Con un pennarello segnate due punti sulla sfera, appoggiata sulla sua base.
1) Disegnate la linea di minima distanza che unisce i due punti sulla superficie
sferica.
Provate con più coppie di punti e spiegate come avete ottenuto la linea richiesta
2) In generale, come si può ottenere geometricamente la linea di minima distanza tra
due punti su una superficie sferica? Giustificate la vostra risposta.
(strumenti: sfera, pennarello, toro di base, elastici, spago, righello usuale)
L’obiettivo di questa domanda è quello di far emergere che la linea di minima
distanza tra due punti si trova sul cerchio massimo individuato dai due punti. La
ragione dovrebbe essere evidente in fase di esplorazione: fissati due punti qualsiasi
l’arco più breve è quello che sta sulla circonferenza più grande… Per il confronto
dell’arco tra i due punti percorrendo la circonferenza massima e una qualunque
altra circonferenza, è opportuno considerare le due circonferenze sullo stesso piano.
Se nessuno propone la giustificazione adeguata (con il ricorso alle intersezioni sferapiani) si può proporre di esaminare come mai il cammino minimo tra due punti sullo
stesso “parallelo” non sia il tratto di “parallelo”.
DISCUSSIONE e conclusione da condividere (Tempo: 30 minuti circa)
Dopo la discussione e condivisione delle proposte dei vari gruppi, l’insegnante
chiede quale potrebbe essere la definizione di retta per due punti, arrivando a
sottolineare l’analogia con il piano:
come sul piano il cammino minimo tra due punti è sulla retta per essi, qui il cammino
minimo tra due punti è sulla circonferenza massima che dunque è naturale definire
retta (in geometria sferica).
Si distribuisce poi ad ogni gruppo lo strumento per le rette, invitando i ragazzi ad
utilizzarlo per disegnare rette passanti per coppie di punti.
SCHEDA 2
(Tempo: 30 minuti circa)
La discussione precedente ci conduce alla seguente definizione di retta nella
geometria della sfera:
Definizione: Si dice retta un qualsiasi cerchio massimo della superficie sferica.
In geometria euclidea PER OGNI COPPIA DI PUNTI ESISTE ED È UNICA LA
RETTA CHE PASSA PER ESSI.
1) Questa proposizione è valida anche sulla sfera? Giustificate la vostra risposta dopo
aver esplorato più situazioni sulla sfera con gli strumenti a vostra disposizione.
Si vuol far notare che la proposizione è falsa, dato che coppie di punti agli antipodi
costituiscono controesempi.
In geometria euclidea DATA UNA RETTA E UN PUNTO FUORI DI ESSA
ESISTE ED È UNICA LA PARALLELA PER IL PUNTO ALLA RETTA
2) Questa proposizione è valida anche sulla sfera? Giustificate la vostra risposta.
Si vuol far notare che ogni retta per il punto assegnato taglia la retta assegnata,
dunque in geometria sferica non esistono rette parallele, cioè la proposizione è falsa.
Una possibile giustificazione è che i cerchi massimi stanno su piani per il centro e
due piani per il centro si intersecano inevitabilmente in due punti sulla superficie
sferica.
DISCUSSIONE e conclusioni da condividere. (Tempo: 30 minuti circa)
SCHEDA 3 (2° incontro di 2 ore)
(Tempo: 30 minuti circa)
DEFINIZIONE: Se A, B, C sono tre punti della superficie sferica di centro O, il
triangolo sferico di vertici A, B, C è l’intersezione tra la
superficie sferica e il triedro che ha vertice in O e gli spigoli
passanti per i tre punti dati. Il triangolo ha come lati archi di
circonferenza massima.
Ricordiamo che: Si dice triedro una terna di semirette non complanari, aventi
l’origine in comune; tale origine si dice vertice del triedro e le
semirette ne sono gli spigoli.
Si usa semplicemente la parola triedro anche per indicare la regione convessa di
spazio ad essa associata.
I tre angoli convessi che i tre spigoli del triedro formano a due a due si chiamano
facce del triedro.
Provate ora a disegnare alcuni triangoli sferici.
1) In base alle premesse fatte, se A, B, C sono i vertici di un triangolo sferico,
possono essere allineati? Motivate la vostra risposta.
(No, perché altrimenti non esiste il triedro, la cui definizione richiede la non
complanarità delle tre semirette)
2) Due punti antipodali possono essere vertici di un triangolo sferico? Giustificate la
risposta.
(No, perchè un altro qualsiasi punto della sfera è allineato ad essi e dunque per
quanto detto prima se tre punti sono allineati non possono essere vertici di un
triangolo)
3) Ci sono delle limitazioni alle lunghezze dei lati di un triangolo sferico? Motivate
la vostra risposta.
La lunghezza di ogni lato deve essere inferiore a quella di una semicirconferenza
massima
Le due definizioni citate sono tratte dal testo “Scoprire la matematica- Geometria dello spazio e
oltre” di Prodi, Mariotti, Bastianoni, DeAgostini Scuola, 2009 (pag. 219 per il triangolo sferico e
pag. 38-39 per il triedro)
DISCUSSIONE e conclusione da condividere (tempo: 20 minuti circa)
SCHEDA 4
(Tempo: 30 minuti circa)
DEFINIZIONE: Considerata una retta (circonferenza massima) e due punti
antipodali su di essa, A e A’, possiamo chiamare semiretta
ciascuna delle due parti individuate da A e da A’(cioè una
semicirconferenza massima). Sia il punto A che il punto A’ si
configurano come origine di entrambe le semirette.
DEFINIZIONE: Se a e b sono due semirette di origine A, chiamiamo angolo
sferico (o semplicemente angolo) di lati a e b, l’angolo piano
di vertice A avente come lati le semirette a’ e b’ tangenti in A
rispettivamente ad a e b.
Osservate che le semirette a’ e b’ sono semirette euclidee, la a e la b sono semirette
della geometria sferica....
Disegnate ora alcuni triangoli sferici e misurate in ciascun caso, con l’apposito
strumento, quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo.
Quali osservazioni potete dedurre dai vostri risultati?
DISCUSSIONE e condivisione (Tempo: 30 minuti circa)
L’osservazione fondamentalmente, anche in base a quanto scoperto nella scheda 3, è
che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico non è costante e varia tra
π e 3π : questi valori, tuttavia, non possono essere assunti...
SCHEDA 5 (3° incontro di 2 ore)
(Tempo: schede 5 e 6 un’ora circa in tutto)
Analogamente alla definizione di circonferenza sul piano, poniamo:
DEFINIZIONE: Se C è un qualsiasi punto sulla superficie sferica, chiamiamo
circonferenza Γr con centro C e raggio r, il luogo dei punti
della superficie sferica che distano r da C.
1) Considerate sulla sfera una qualsiasi retta. In base alla definizione di
circonferenza data, potete interpretare la retta come una particolare
circonferenza? Se si quali sono i rispettivi centro e raggio?
2) Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazioni potete fare
riguardo all’individuazione di centro e raggio?
3) Qual è l’intervallo di valori entro il quale può variare la misura del raggio di
una circonferenza? Descrivete le caratteristiche delle circonferenze
corrispondenti ai valori estremi di questo intervallo.
Si vuol fare emergere che ogni retta è in particolare una circonferenza, con due
centri (antipodali) e due raggi uguali.
In modo analogo una qualsiasi circonferenza sferica ha due centri (antipodali) e due
raggi diversi, se non è massima. Il raggio varia da 0 a metà circonferenza massima:
in entrambi i casi limite la circonferenza si riduce ad un punto sulla sfera (uno dei
suoi centri).
SCHEDA 6
1) Disegnate alcune circonferenze Γ1 ,Γ2… di centro C e raggi r1,r2… Utilizzando
spago e righello misurate i raggi, le circonferenze e compilate la tabella che
segue.
Raggio
Circonferenza
rapporto
r1=
Γ1=
Γ1/ 2r1=
r2=
Γ2=
Γ2/2 r2=
Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel piano?
Principalmente ci si aspetta che si osservi che il rapporto non è costante. In
particolare risulta essere minore di pi greco, [poiché r1 è maggiore del raggio della
stessa circonferenza sul piano. (Arco r1 > corda sottostante > proiezione sul piano
della circonferenza Γ1)] questo ragionamento può risultare prematuro a questo
livello, però, qualora emergesse dagli alunni, si può affrontare la questione e
rifletterci.
SCHEDA 7
(Tempo: 1 ora circa)
Nella geometria euclidea, π è il rapporto costante tra la lunghezza della circonferenza
e la lunghezza del diametro.
Come si è potuto osservare nella scheda 6, questo rapporto non è costante nella
geometria della sfera.
Dimostrerete ora da cosa dipende tale rapporto.
Considerate sulla sfera una circonferenza Γ di centri C e C’.
1) Siano Q e R due punti della circonferenza. Come potete giustificare che Q e R
si proiettano nello stesso punto H di CC’? (Considerate i triangoli CRC’ e
CQC’…) .
Osservate che poiché OGNI punto di Γ si proietta in H e ha uguale distanza da
H, si può concludere che Γ è una circonferenza anche sul piano perpendicolare
a CC’ in H.
Γ è dunque una circonferenza sia in geometria sferica che in geometria
euclidea.
2) Se θ è la misura in radianti dell’angolo CÔQ, esprimete in funzione di θ:
- il raggio r della circonferenza sferica: r =
- il raggio QH della circonferenza euclidea: QH =
3) Determinate il rapporto tra la lunghezza della circonferenza Γr e il suo
diametro, nella geometria sferica.
Il risultato che avete ottenuto è in accordo con quanto avete osservato in
precedenza? Perché?
DISCUSSIONE
Dovrebbe emergere che
lunghezza circonferenza
sin ϑ
=π
diametro
ϑ
.
Dall'analisi di questa espressione dovrebbero quindi stabilire che il risultato è
effettivamente in accordo con quanto osservato nella scheda precedente, cioè che il
rapporto in questione è minore di π, noto che sin ϑ < 1 e che
lim
ϑ →0
sin ϑ
ϑ
ϑ
=1
SCHEDA 8 (4° incontro di 2 ore)
(Tempo: 30 minuti circa)
Tracciate una retta r sulla superficie sferica, cosa potete osservare riguardo
all’insieme delle rette perpendicolari ad r?
Ci si aspetta ad esempio: le perpendicolari a una retta sono infinite, ciascuna
perpendicolare interseca la retta in due punti (tra loro antipodali), tutte le
perpendicolari ad una stessa retta si intersecano in due punti antipodali (i POLI
della retta).
In geometria euclidea DATA UNA RETTA ED UN PUNTO FUORI DI ESSA
ESISTE ED E’ UNICA LA PERPENDICOLARE PER IL PUNTO ALLA RETTA.
Questa proposizione è valida anche sulla sfera? Giustificate la vostra risposta.
Per quanto visto al punto precedente, se un punto è polo di una retta, per esso
passano infinite perpendicolari alla retta (ogni retta per esso è perpendicolare alla
retta), altrimenti la perpendicolare alla retta esiste ed è unica.
SCHEDA 9
(Tempo: 1h e 30, 40 min circa di esplorazione, 50 min circa di discussione)
Durante le precedenti discussioni abbiamo trovato proposizioni che sono valide in
geometria euclidea ma non in geometria sferica.
Collocate le proposizioni che abbiamo esaminato nella tabella seguente ed
eventualmente trovatene altre.
Se credete vi sia d’aiuto consultate il testo di geometria
NELLA GEOMETRIA DELLA SFERA
NELLA GEOMETRIA DEL PIANO
(EUCLIDEA)
DISCUSSIONE
L’obiettivo di questa attività è quello di indurre i ragazzi a meditare su concetti quali
quello di ordinamento, infinità dei punti di una retta, illimitatezza, suddivisione del
piano mediante una retta, esistenza e unicità della perpendicolare per un punto ad
una retta, somma degli angoli internidi un triangolo...
Si arriva ad una formulazione unica che ognuno scriverà sul suo quaderno.