Indice della lezione
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
FACOLTA’ DI ECONOMIA
• Rischio e rendimento per titoli singoli
Corso di Pianificazione Finanziaria
• La Teoria di Portafoglio di Markowitz
Introduzione al rischio
CAPITOLO 9
1
2
Le Ipotesi della Capital Market Theory
Incertezza e rischio: sinonimi?
• Le imprese assumono decisioni senza conoscere i risultati delle
loro azioni, che dipendono da circostanze future non note. A
questo proposito, si parla di incertezza e di rischio usandoli
come sinonimi
• L’incertezza qualifica fenomeni cui non è possibile attribuire
probabilità di accadimento in diversi scenari futuri
• Il rischio fa invece riferimento al concetto di volatilità. Si
attribuisce una distribuzione di probabilità ai risultati possibili e
si misura la distanza media rispetto ad un rendimento medio
atteso
• Questa ipotesi di lavoro consente l’adozione di strumenti
matematici e statistici per la descrizione della realtà e
riconduce il problema delle scelte ad un quadro di razionalità
• I modelli di analisi degli investimenti finanziari e la Teoria di
Portafoglio costituiscono la base teorica per implementare un
processo razionale di scelte aziendali in contesto di incertezza
3
1. Gli investitori sono razionali e avversi al rischio; valutano le
alternative basandosi sul rendimento atteso (media ponderata dei
possibili risultati futuri avendo assegnato ad ognuno una probabilità)
e sul rischio (volatilità dei risultati previsti intorno al valore atteso)
2. Tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo
modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri
3. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valutazione
4. Gli investimenti sono infinitamente divisibili
5. Non esistono costi di negoziazione e imposte
6. Non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse o di
inflazione è anticipata
7. I mercati dei capitali sono in equilibrio
4
1
Il rischio di un titolo azionario
Il rendimento di un titolo azionario
R(t) =
• Viene misurato in termini di volatilità, attraverso un
indicatore denominato scarto quadratico medio (SQM)
Prezzo (t) – Prezzo (t-1) + Dividendi (t-1, t)
Prezzo (t-1)
Rendimento medio
• L’orizzonte temporale oggetto di analisi può essere
giornaliero, settimanale, mensile, semestrale, annuale,
pluriennale
Rendimento t-esimo
Scarto
• Esempio: p(t) = 100 ; p(t-1) = 90; div(t-1, t) = 6
R(t) =
100 – 90 + 6
= 17,77%
90
5
Il rendimento medio di un titolo azionario
• Lo SQM misura lo scarto medio rispetto alla media dei
rendimenti
Il calcolo dello scarto quadratico medio
Rendimento
Rendimento medio
Scarto
4%
1,80%
2,20%
-10%
1,80%
-11,80%
8%
1,80%
6,20%
5%
1,80%
3,20%
2%
1,80%
0,20%
Rendimento medio
Scarto medio
1,80%
0,00%
• Maggiore è lo scarto medio rispetto al rendimento
medio, maggiore è il rischio di un titolo: si ha una
maggiore volatilità dei rendimenti
• Esempio: il titolo A ha registrato negli ultimi 5 giorni i
seguenti rendimenti giornalieri
6
Scarto^2 Varianza^(1/2)
0,04840%
1,39240%
0,38440%
0,10240%
0,00040%
= Varianza
= SQM
0,38560%
6,210%
• La varianza è pari alla media degli scarti elevati al
quadrato (σ2)
+4%; -10%; +8%; +5%; +2%
• Rendimento medio giornaliero: 1,8%
• Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della
varianza (σ)
(+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1,8%
• Rendimento settimanale: 1.8% * 5 = 9%
• Il titolo A ha avuto un rendimento giornaliero medio pari
all’1,8% e uno scarto quadratico medio pari al 6,21%
7
8
2
Il criterio di scelta dei titoli
Il criterio di scelta dei titoli
• Gli investitori razionali scelgono gli investimenti considerando
il rendimento atteso e la volatilità
E(R)
Il titolo A è
preferibile
rispetto a B
poiché, a parità
di rendimento
atteso, è
caratterizzato da
minor rischio
E(R)
A
Il titolo C è
preferibile
rispetto a D
poiché a parità
di rischio, è
caratterizzato da
maggior
rendimento
atteso
B
σ
C
D
σ
9
Il criterio di scelta dei titoli
Non è
possibile fare E(R)
una scelta tra
A e B poiché il
primo,
a fronte di un
minor
rendimento
atteso,
è caratterizzato
da minor rischio
10
Le curve di indifferenza
• Esprimono l’utilità
che un soggetto E (R)
ottiene
realizzando un
investimento
finanziario
B
• La curva identifica
diverse
combinazioni
rischio-rendimento
A
σ
La scelta deriva dal soggettivo grado di avversione al rischio
11
B
A
• Nella singola curva, l’utilità derivante dalle diverse
combinazioni rischio-rendimento è la medesima (è
indifferente assumere una combinazione piuttosto che
un’altra lungo la curva)
σ
12
3
Le curve di indifferenza
• Le curve più in
alto sono quelle
caratterizzate da
maggiore utilità
per l’investitore
Le curve di indifferenza
E (R)
B
• L’investitore
sceglie la
combinazione di
rischio-rendimento
che consente la
maggior utilità
A
σ
13
Le curve di indifferenza
• Più la curva è
inclinata, maggiore E (R)
è l’avversione al
rischio, perché
l’investitore, per
assumere un’unità
addizionale di
rischio, vuole un
elevato incremento
di rendimento
atteso
B
X
A
• L’investitore X sceglie il titolo A (caratterizzato da basso
rendimento e basso rischio) e non B perché gli consente di
ottenere una maggiore utilità
σ
14
Indice della lezione
• Se la curva è piatta E (R)
l’investitore è poco
avverso al rischio
• L’investitore per
ottenere un’unità
addizionale di
rendimento atteso
è disposto ad
accettare un
elevato incremento
del rischio
B
• Rischio e rendimento per titoli singoli
Y
• La Teoria di Portafoglio di Markowitz
A
σ
• La combinazione rischio-rendimento che massimizza l’utilità per
Y è B, perché gli consente di raggiungere la curva di
indifferenza più elevata, e quindi, maggior utilità.
15
16
4
Il rendimento atteso di un portafoglio
La costruzione di un portafoglio di titoli
• Il rendimento atteso complessivo di un portafoglio
E[R(p)], formato dai titoli A e B (con pesi a e b) è pari
alla media ponderata dei rendimenti dei due titoli
• L’investimento in un singolo titolo è un comportamento
non razionale
• Investire la propria ricchezza in un solo titolo pone un
rischio elevato in capo all’investitore
• La teoria di portafoglio si basa su questo presupposto:
costruire portafogli composti da più titoli per ridurre il
rischio
• Si pone il problema di calcolare il rischio e il rendimento
atteso di un portafoglio di titoli
E(Rp) = a · E(RA) + b · E(RB)
• Il portafoglio P è formato dai titoli A e B assunti con
percentuali rispettivamente pari ad (a + b) = 100%
• Esempio:
17
Il rischio di un portafoglio
• E[R(p)] = 40% * 5% + 60% * 7% = 6,2%
18
• Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli A e B (con
pesi a e b) è dato dalla varianza σ²p
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB·ρAB
σ²B : varianza rendimenti del titolo B
b= 60%
E(RB) = 7%
Il rischio di un portafoglio
• Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli A e B (con
pesi a e b) è dato dalla varianza σ²p
σ²A : varianza rendimenti del titolo A
a = 40%
E(RA) = 5 %
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB·ρAB
σA : sqm rendimenti titolo A
la covarianza tra i rendimenti di A e di B (σAB) è data da:
σB : sqm rendimenti del titolo B
covAB = m (AB) – m (A) · m (B)
il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di A e di B è dato da:
σA·σB·ρAB: covarianza tra i rendimenti
ρAB = covAB / σA · σB
ρAB : coefficiente di correlazione tra i rendimenti
quindi la covarianza tra i rendimenti di A e di B può essere definita:
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covAB = σA · σB · ρAB
20
5
Il rischio di un portafoglio
Il coefficiente di correlazione
• Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli A e B (con
pesi a e b) è dato dalla varianza σ²p
• Il coefficiente di correlazione esprime il grado in cui
due titoli si muovono congiuntamente
• Esprime valori compresi tra -1 e 1
• Il coefficiente di correlazione è pari ad 1 quando se un
titolo aumenta, anche l’altro titolo aumenta
• Il coefficiente di correlazione è pari a -1 quando se un
titolo aumenta l’altro diminuisce
• Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando i due
titoli non hanno nessun legame (ad aumenti dell’uno
possono corrispondere sia incrementi, sia decrementi
dell’altro)
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB·ρAB
• Il rendimento di un portafoglio è sempre pari alla
media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli
• Solo in un caso particolare lo SQM di un portafoglio è
pari alla media ponderata degli SQM dei singoli titoli
• Ciò si verifica quando il coefficiente di correlazione è
uguale ad 1
21
La covarianza
22
E’ possibile costruire infiniti portafogli
combinando i due titoli
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB·ρAB
• Se la correlazione tra
i titoli A e B è
perfetta (pari ad 1) E (R)
i portafogli si
dispongono su una
retta
• Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità
dei due titoli
• E’ la componente di volatilità del portafoglio dovuta al
movimento congiunto dei due titoli
• Se il coefficiente di correlazione è pari ad uno:
• Il rendimento del
portafoglio è la
media ponderata dei
rendimenti
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· 1 = (a·σA+b·σB)2
σp = a·σA+ b·σB
allora lo SQM è pari alla media ponderata delle
rispettive volatilità
23
• Il sigma del
portafoglio è la
media ponderata dei
sigma dei due titoli
Molto titolo B,
poco titolo A
B
Molto titolo A,
poco titolo B
Solo titolo B
A
50%titolo A,
50% titolo B
Solo titolo A
σ
24
6
Con la costruzione di portafogli gli
investitori aumentano la propria utilità
• L’investitore X,
E (R)
molto avverso al
rischio, non sceglie più
un portafoglio
composto dal solo
titolo A, ma uno nel
quale è compresa una
quota del titolo B
• Coerentemente con la
propria avversione al
rischio sceglie un
portafoglio composto
soprattutto da A (titolo
poco rischioso)
Con la costruzione di portafogli gli
investitori aumentano la propria utilità
B
X
A
σ
• Questa scelta gli consente di ottenere una
maggior utilità (può raggiungere una curva
di indifferenza posta più in alto)
25
Se la correlazione è inferiore ad uno
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB·ρAB
• Anche Y, poco
avverso al rischio, E (R)
sceglie un
portafoglio
B
composto sia dal
Y
titolo A, sia dal
titolo B
• Coerentemente con
la propria minor
A
avversione, il
portafoglio è
composto
σ
soprattutto da B
• Questa scelta gli consente di ottenere una
(titolo più rischioso
maggior utilità (consente di raggiungere una
ma con maggior
curva di indifferenza posta più in alto)
26
rendimento atteso)
Se i titoli non sono perfettamente correlati è
possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto
diversificazione
• L’insieme dei
portafogli per i
quali non si può E (R)
fare una scelta
secondo il criterio
B
media-varianza
(ma si deve
ricorrere alle curve
di indifferenza) è
detto frontiera
A
efficiente dei
portafogli
σ
possibili
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· ρAB
• Si riduce la covarianza
• Lo SQM del portafoglio non è più pari alla media ponderata
delle volatilità dei singoli titoli, ma è inferiore
• Si realizza l’effetto diversificazione di portafoglio
• La costruzione di un portafoglio di titoli con rendimenti non
perfettamente correlati consente di ridurre il rischio
complessivo rispetto alla media ponderata dei rischi
• mentre il rendimento atteso è sempre pari alla
media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli
27
con ρAB < 1
28
7
Se i titoli non sono perfettamente correlati è
possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto
diversificazione
• Per ogni singolo
portafoglio
E (R)
costruibile con i
titoli A e B si riduce
il rischio a parità di
rendimento
• L’insieme dei
portafogli possibili
si sposta verso
sinistra (a parità
di rendimento
atteso, minor
rischio)
Se i titoli non sono perfettamente correlati è
possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto
diversificazione
• La semi-curva
diventa la nuova E (R)
frontiera efficiente
B
D
B
• A nord non
esistono portafogli;
a sud esistono
portafogli dominati
D domina C
C
F
F domina E
E
A
A
σ
σ
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· ρAB
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· ρAB
con ρAB < 1
Se i titoli non sono perfettamente correlati è
possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto
diversificazione
• La semi-curva
diventa la nuova E (R)
frontiera efficiente
con ρAB < 1
29
30
Se i titoli non sono perfettamente correlati è
possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto
diversificazione
• Per l’investitore X
cambia la scelta del
portafoglio che
E (R)
consente di
massimizzare
l’utilità
B
D
F
A
σ
31
• Coerentemente con
la propria
avversione, sceglie
un portafoglio che
consente la
riduzione del rischio
e l’aumento del
rendimento
B
X’
X
A
σ
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· ρAB
con ρAB < 1
32
8
Se i titoli hanno correlazione nulla o inferiore a
zero l’effetto di diversificazione è molto forte
Se i titoli non sono perfettamente correlati è
possibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto
diversificazione
• Anche per
l’investitore Y E (R)
cambia la scelta del
Y’
portafoglio che
consente di
B
Y
massimizzare
l’utilità
• Y sceglie un
portafoglio che
consente la
A
riduzione del
rischio e
σ
l’incremento del
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· ρAB
rendimento atteso
con ρAB < 1
• Quando il
E (R)
coefficiente di
correlazione diventa
nullo o negativo si
riduce fortemente il
rischio a parità di
rendimento: quando
un titolo va male,
l’altro va bene
33
La composizione di portafogli efficienti
con 3 titoli
• L’effetto della
covarianza sul rischio
da incrementativo
diventa
decrementativo
Frontiera Efficiente
B
A
σ
σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B - 2·a·b·σA·σB· ρAB
con ρAB < 0
34
La composizione di portafogli efficienti
con 3 titoli
µ
Ipotesi : tre titoli A, B, C
•
AB: Frontiera efficiente titoli A e B.
•
BC: Frontiera efficiente titoli B e C.
•
A
C
B
Consideriamo ora il
portafoglio D costituito
dai titoli A e B
σ
35
36
9
La composizione di portafogli efficienti
con 3 titoli
La composizione di portafogli efficienti
con 3 titoli
• Se si considera il portafoglio D del
tratto AB, è possibile costruire un’altra
frontiera efficiente DC tra il titolo C e il
portafoglio D.
µ
•
•
•
•
D
C
B
Consideriamo ora il
portafoglio D costituito
dai titoli A e B
A
σ
37
La composizione di portafogli efficienti
con 3 titoli
La composizione di portafogli efficienti
con 3 titoli
• Gli archi di curva costruiti in base a tutte le
possibili combinazioni di titoli e portafogli
danno vita alla frontiera AC relativa ai tre
titoli.
µ
•
•
•
•
D
38
C
B
A
σ
39
40
10
La composizione di portafogli efficienti
con 3 titoli
La composizione di portafogli efficienti
con N titoli
Iterando il precedente processo di costruzione N
volte, si ottiene la frontiera efficiente della
regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti
hanno coordinate (µ,σ²) individuate dalle seguenti
formule
µ
•
•
•
•
D
C
B
E(Rp) = ∑i E(Ri) · Xi
A
σ²p= ∑i Xi²·σ²(Ri)+∑i ∑j Xi·Xj·σ(Ri)·σ(Rj)· ρi,j
σ
41
con i,j=1, 2, …..n
42
La composizione di portafogli efficienti
con N titoli
Rendimento
maggiore è il numero
di titoli, maggiore è il
vantaggio della
diversificazione: si
riduce la varianza dei
portafogli poiché le
correlazioni non
perfette fra i titoli
riducono le covarianze
0
Rischio (σ)
43
11
