Università di Napoli Federico II
Corso di Teoria della Finanza - Esercitazione 4
Da consegnare in aula giovedì 19 maggio 2016 alle 14:30.
Esercizio 1. Considera il modello APT con un solo fattore di rischio aggregato e senza rischio
idiosincratico. L’extra-rendimento atteso di un portafoglio P con sensitività unitaria è pari all’8%,
mentre il tasso di interesse privo di rischio è pari al 4%. Considera tre portafogli con le seguenti
caratteristiche:
Portafoglio
A
B
C
Sensitività
0,8
1
1,2
Rendimento atteso
10,4%
10%
13,6%
(i) Tra questi, vi sono portafogli che non sono in linea con le predizioni del modello APT?
(ii) In caso affermativo, com’è possibile sfruttare l’opportunità di arbitraggio?
Esercizio 2. Considera, nell’ambito del modello APT, i portafogli A, B e C i cui rendimenti sono
descritti dalle seguenti equazioni:
rA 0,11 1 2 ,
rB 0,11 21 0,5 2 ,
rC 0,07 31 2 ,
dove 1 e 2 sono due fattori a media zero. Essendo i tre portafogli composti da molti titoli, essi
non presentano rischio idiosincratico.
(i) Qual è la composizione del portafoglio con rendimento certo? Qual è il suo rendimento?
(ii) Deriva l’equazione del piano di equilibrio, che descrive i rendimenti attesi di equilibrio di
qualsiasi portafoglio i con generiche sensibilità 1 e 2 ai due fattori 1 e 2 . In particolare,
calcola i rendimenti dei titoli perfettamente correlati con i due fattori.
Esercizio 3. Considera un modello bi-periodale di scelte in condizioni di incertezza, con due soli
possibili stati di natura. Oggi è possibile acquistare o vendere tre titoli, i cui pagamenti futuri sono
descritti nella seguente tabella:
1
Pagamento del titolo 1
Pagamento del titolo 2
Pagamento del titolo 3
Stato 1
5
1
Stato 2
2
3
11
dove 0 .
(i) Per quali valori di tale mercato è completo?
(ii) Assumi ora 8 . È possibile costruire un portafoglio dei titoli 1 e 2 che replichi perfettamente
i pagamenti di un’unità del titolo 3? Se sì, qual è tale portafoglio?
(iii) Se i prezzi dei tre titoli sono p1 6 , p2 3 e p3 16 , è possibile ottenere profitti da
arbitraggio? Se sì, qual è il portafoglio di arbitraggio?
Esercizio 4. Considera un’economia bi-periodale in cui vale il C-CAPM, in cui si può investire in N
titoli rischiosi. Considera un titolo A con pagamento finale v e prezzo di equilibrio p* (v ) 0 .
(i) Paragona i prezzi di equilibrio del titolo A e di un titolo con pagamento finale v z , dove z è
una costante positiva.
(ii) Paragona i prezzi di equilibrio del titolo A e di un titolo con pagamento finale v z , dove z è
una variabile casuale a media nulla.
(iii) Paragona i prezzi di equilibrio del titolo A e di un titolo con pagamento z v , dove z è una
costante (non necessariamente positiva).
(iv) Paragona i prezzi di equilibrio del titolo A e di un titolo con pagamento finale z v w , dove
z 1 è una costante e w è una variabile aleatoria a media E[w] w 0 , varianza finita e tale che
cov(m, w) 0 .
Esercizio 5. Considera un’economia bi-periodale con 2 possibili stati di natura s 1, 2 , e
probabilità s 1/ 2 . Tutti gli investitori hanno la stessa funzione di utilità u =
cs definita sul
consumo cs , tasso di preferenza temporale pari al 30% ( 1/1,3 ) e w0 4 , w1 0 . Ognuno può
investire in un titolo rischioso, con pagamento v pari a 0 nello stato 1 e a 2 nello stato 2, e in un
titolo sicuro, che paga 1 in ogni stato. L’offerta pro-capite del titolo rischioso è pari a 1 unità e
quella del titolo sicuro è pari a 2 unità.
*
(i) Calcola il consumo di equilibrio c1s
in ciascuno stato s;
(ii) Calcola il prezzo p*f e il rendimento lordo atteso 1 rf di equilibrio del titolo sicuro;
(iii) Calcola il prezzo p0* e il rendimento lordo atteso 1 E (r * ) di equilibrio del titolo rischioso;
(iv) Deriva la risk-neutral probability di ciascuno stato s, s* .
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