Introduzione alla probabilità

MATEMATICA
a.a. 2014/15
5. Introduzione alla probabilità:
Definizioni di probabilità. Evento, prova, esperimento.
Eventi indipendenti e incompatibili. Probabilità
condizionata. Teorema di Bayes
CONCETTI PRIMITIVI
ESPERIMENTO ALEATORIO (CASUALE) O PROVA
EVENTO
PROBABILITA’
Legame tra esperimento, evento e probabilità:
L’esperimento genera l’evento con una certa probabilità;
In una data prova l’evento E si verifica con la probabilità P(E)
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PROVA
Una prova (o esperimento aleatorio) è un esperimento che ha
due o più possibili risultati, di cui si conoscono i possibili risultati
ma l’esito è incerto ovvero c’è un certo grado di incertezza su
quale di questi risultati si verificherà.
Esempio. Lancio di un dado
L’insieme dei possibili risultati cui può dar luogo un esperimento
aleatorio si chiama Spazio Campionario Ω
Esempio lancio di un dado Ω={1,2,3,4,5,6}
I singoli risultati si chiamano eventi elementari
ESPERIMENTO ALEATORIO
Si consideri il lancio di un dado. Lo spazio
campionario:
S: 1,2,3,4,5,6
Nel lancio di un dado un evento elementare, costituito
cioè da un unico punto campionario, può essere per
esempio “esce la faccia contrassegnata dal numero 3”.
Altresì costituisce un evento non elementare “l’uscita
dal lancio di un dado di un numero dispari” che vuole
identificare la probabilità che dal lancio di un dado
possa uscire il numero 1 o il numero 3 o il numero 5;
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ESPERIMENTO ALEATORIO
Esempio lancio di una moneta Lo spazio campionario è Ω={T,C}
Esperimento di Bernoulli È un esperimento che può avere solo due risultati
Esempio:
Il pezzo prodotto è difettoso?
Domani pioverà?
Lo spazio campionario In questo caso è Ω={SI,NO}
Lo spazio campionario ha pertanto le caratteristiche di esaustività (nel senso
che comprende tutti i possibili eventi elementari) e di mutua escludibilità dei
risultati (il verificarsi di un dato evento elementare esclude il verificarsi di
tutti gli altri).
Alcuni esperimenti sono ripetibili esattamente (esempio Lancio di una moneta)
o almeno ripetibili in linea di principio (esempio Durata di questo computer)
Alcuni sono esperimenti singolari, cioè non ripetibili (Chi vincerà le prossime elezioni?)
Eventi
Evento elementare: è uno dei possibili risultati di un esperimento
aleatorio o casuale, costituito da un singolo elemento dello
spazio campionario.
Evento: è un qualsiasi insieme di eventi elementari, ossia un
qualsiasi sottoinsieme di Ω (incluso Ω stesso)
Si studia se uno degli eventi elementari si verifica
Lancio di un dado:
A = esce un numero dispari
B = esce un numero maggiore di 5
C = esce un numero maggiore di 6
D = esce un numero minore di 4
A={1,3,5}
B={6}
C=Ø evento impossibile
D ={1,2,3}
Eventi=insiemi
La rappresentazione degli eventi mediante insiemi presenta il vantaggio di
operare sugli eventi con le usuali operazioni dell’insiemistica. Si
rappresentano con i diagrammi di Venn
6
6
1
3
2
5
1
3
2
4
A = esce un numero dispari
4
B = esce un numero maggiore di 5
6
1
2
3
5
6
5
4
C = esce un numero maggiore di 6
Insieme senza elementi
1
2
3
5
4
D = esce un numero minore di 4
DEFINIZIONE DI DUE EVENTI RILEVANTI
EVENTO CERTO
Un evento si dice certo se si verifica sempre in quanto comprende
tutti i possibili risultati dell’esperimento. L’evento certo corrisponde
allo spazio campionario Ω ;
ESEMPIO: Nel lancio di un dado l’evento certo è rappresentato dall’evento
“Si ottiene una faccia contrassegnata da un numero compreso tra 1 e 6”
poiché ha come possibili risultati l’intero spazio campionario Ω.
EVENTO IMPOSSIBILE
Un evento si dice impossibile ( ∅ ) se è un evento che non può
mai verificarsi. La negazione di Ω rappresenta un evento impossibile,
così come l’intersezione tra qualsiasi evento e la sua negazione;
Riprendendo l’esempio del lancio di un dado, definendo l’evento A “Si ottiene
una faccia contrassegnata da un numero compreso tra 1 e 6”
L’evento impossibile consiste ad esempio nella negazione dell’evento A.
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CALCOLO DEGLI EVENTI
Due eventi possono essere compatibili o incompatibili
Compatibili se si possono verificare contemporaneamente.
Incompatibili se l’uno esclude l’altro. In tal caso i due eventi che si
considerano non hanno elementi in comune e la loro rappresentazione è
l’evento impossibile. Graficamente due eventi incompatibili si presentano come
due eventi disgiunti.
A = esce un numero dispari
B = esce un numero maggiore di 5
D = esce un numero minore di 4
6
1
2
3
5
4
A e D sono compatibili
A e B sono incompatibili
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CALCOLO DEGLI EVENTI
Due eventi si combinano con le operazioni insiemistiche
L’intersezione tra due eventi A e B, ossia A ∩ B (ossia
quell’evento che si verifica quando si verificano
contemporaneamente sia A che B)
L’unione tra due eventi A e B, ossia A ∪ B (ossia quell’evento
che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi A e B)
La negazione di un evento A, ossia A (ossia quell’evento che si
verifica quando non si verifica A)
A e B saranno quindi due eventi incompatibili se
AA1
B2
A
Ω
A∩ B = ∅
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CALCOLO DEGLI EVENTI
Ω
A
A
Ω=A∪A
Ω
A
Insiemi A e A
B
Ω
Insieme unione
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}
Insieme intersezione
A
B
A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}
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Esempio del lancio di dadi
Supponiamo di definire l’evento A come “esce una faccia
contrassegnata da un numero pari”.
La negazione dell’evento A, indicata con A
dall’evento {1,3,5}
è costituita
Supponiamo di definire l’evento A come “esce una faccia
contrassegnata da un numero pari” e l’evento B come “esce la
faccia contrassegnata dal numero 2”.
L’unione tra questi due eventi, indicata con A U B, è costituita
dall’evento {2,4,6};
L’intersezione tra A e B, indicata con A ∩ B è costituita
dall’evento {2};
PROBABILITA’
Misurare l’incertezza di un evento; misurare quanto è
verosimile che un evento si verifichi
Approccio classico
Dato un esperimento ben specificato ed un evento E tra quelli
possibili per l’esperimento, se f è il numero dei casi favorevoli al
verificarsi dell’evento mentre n è il numero di tutti i possibili
risultati, allora la probabilità del verificarsi di un evento E è data
dal rapporto:
P(E)= f/n.
purchè tutti gli n risultati siano tutti ugualmente possibili.
Nel lancio di un dado, ad esempio, l’evento “si ottiene la faccia
contrassegnata dal numero 4” avrà probabilità pari a 1/6 di verificarsi
poiché soltanto in 1 caso può uscire il numero 4 (casi favorevoli) mentre
l’insieme possibile dei risultati è pari a 6 (casi possibili).
Nei giochi di sorte: probabilità classica
Se tutti gli eventi sono equiprobabili per simmetria si assegna a ciascuno
una probabilità uguale a 1/N
Esempi: Dado, roulette, moneta, lotterie, urne
La probabilità di un evento è uguale al numero di eventi
elementari che lo compongono divisa per il totale di eventi
elementari
Urna
1
1
2
3
3
4
P(esce il numero 1)=2/6
LIMITI
•Tutti gli eventi possibili devono essere equiprobabili
•Non si può usare se il numero di casi favorevoli e quello dei possibili è
infinito.
I suoi limiti si spiegano in quanto è nata nell’ambito dei giochi di società
(carte, dadi,..) nel XVIII secolo.
PROBABILITA’
Approccio frequentista (si applica agli eventi ripetibili)
Dato un esperimento ben specificato e perfettamente ripetibile la
probabilità del verificarsi di un evento E è data dal limite del
rapporto tra il numero f di volte che l’evento E si è presentato in
una serie di prove ripetute nelle stesse condizioni e il numero
totale n delle prove, quando n tende all’infinito.
fn
P(E) = lim
n →∞ n
Il rapporto tra queste due quantità altro non è che la frequenza
relativa dell’evento E, che può quindi essere considerata come
una misura della probabilità.
LIMITI
•Non è possibile definire analiticamente il limite implicito nella definizione
(si tratta di una constatazione empirica- postulato empirico del caso)
•Non tutti gli esperimenti sono ripetibili
Approccio frequentista
Esempio lancio di una moneta
Frequenza relativa dell’evento testa in una serie di lanci di moneta
fn
n
Secondo la definizione frequentista la probabilità dell’evento
A è il valore verso cui converge la frequenza relativa di A al
divergere del numero di replicazioni dell’esperimento.
1
Probabilità
0,5
n
10
100
In questo caso coincide con la probabilità classica
1000
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Approccio frequentista
POSTULATO EMPIRICO DEL CASO: in un gruppo di prove
ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi
possibili compare con una frequenza approssimativamente uguale
alla sua probabilità; generalmente l’approssimazione migliora
quando il numero delle prove cresce.
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PROBABILITA’
Approccio soggettivo
Dato un esperimento ben specificato, la probabilità del verificarsi
di un evento E è definita come la misura del grado di fiducia
che una persona coerente attribuisce al verificarsi
dell’evento in base alle informazioni in suo possesso.
La probabilità dell’evento E è la somma che un individuo
coerente è disposto a scommettere per ricevere una somma
unitaria se l’evento si verifica e zero altrimenti.
Secondo questa definizione la valutazione della probabilità di un evento è
compiuta da un individuo sulla base delle informazioni a lui disponibili,
ovvero mediante un’elaborazione soggettiva di queste informazioni.
CRITICHE
•Se la valutazione numerica della probabilità deriva dall’esperienza la definizione
è una generalizzazione della frequentista
•È implicita un’idea di utilità (scommettere 1 euro per vincerne 1000 oppure 1000
euro per vincerne un milione la probabilità è sempre 0,001)
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Impostazione assiomatica della probabilità
(Kolmogorov, 1933)
Sia nella definizione classica che in quella frequentista, più che
specificare il concetto di probabilità si cerca di quantificarla. Nella
definizione assiomatica, invece, si fissano delle regole (assiomi o
postulati) che devono essere rispettate perché si possa parlare di
probabilità. Quantificarla, caso per caso, è un problema distinto.
•Postulati del calcolo delle probabilità:
Siano Ei,, i=1,2,…,n eventi di Ω. La probabilità di un evento E è definita come
una funzione a valori reali P(E) definita sulla classe degli eventi dello spazio
campionario che soddisfa le seguenti proprietà:
i) P ( Ei ) ≥ 0 ∀Ei ⊂ Ω;
ii) P (Ω) = 1;
iii) P( Ei ∪ E j ) = P ( Ei ) + P ( E j ) se Ei ∩ E j = ∅ , ∀i ≠ j
Il valore della probabilità P(E) sarà quindi sempre compreso tra 0 e 1
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Sulla base dei 3 postulati è possibile dimostrare alcuni teoremi utili per il calcolo delle probabilità.
A.
Per ogni evento A ∈ Ω:
P(A) = 1 − P(A)
B. La probabilità dell’evento impossibile ∅ (insieme vuoto) è
nulla:
P(∅) = 0
C.
Per ogni evento A ∈ Ω :
0 ≤ P(A) ≤ 1
D. Se A1 e A 2 sono due eventi di
Ω:
P(A1 ∪ A 2 ) = P(A1 ) + P(A 2 ) − P(A1 ∩ A 2 )
A1 ∩ A 2
A1
A2
Regola generale della somma
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23
24
25
4
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(Monti)
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La Tabella seguente riporta la relazione tra il colore dei capelli e il colore degli occhi
di un campione di 2200 donne italiane.
Colore degli
occhi
Colore dei capelli
Castani
Neri
Biondi
Totale
Marroni
100
400
60
560
Celesti
130
120
600
850
Verdi
70
280
440
790
Totale
300
800
1100
2200
Si ipotizzi di selezionare casualmente una donna. Determinare la probabilità che abbia:
a) Gli occhi celesti
b) Capelli castani o biondi
c) Occhi celesti e capelli biondi
d) Capelli neri o occhi marroni
Avendo selezionato una donna con gli occhi verdi, determinare la probabilità che abbia i capelli
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biondi