Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce
Anno Scolastico 2012-2013
Prova di Matematica : Equazioni e problemi di I grado
03.05.2013
prof. Mimmo Corrado
Alunno: ________________________________________________ Classe: 1 B
1. Completa la seguente tabella:
Espressione
2 + 2 = 4 + 2 − 1
2 = 2 + 1
3 − 5 = 0
+ = 100
2 + 6 = 0
|| − 5 = − 5
Dominio
R
R
Z
R
N
R
Identità
Eq. indeterminata
Eq. impossibile
+ − − = 4
1 b c − k ricava la formula per determinare & .
2
2. Verifica se l’espressione a lato è un’identità:
3. Data la formula: a =
Eq. determinata
4. Risolvi le seguenti equazioni :
2 − 3 = 2 − 3 + + 5
[())(**+, -, .(/0)01, ]
3 − 33 + 3 − [−2 − 3 + 5] = 2 + 33 + 1
[())(**+, -, .(/0)01, ]
1
1
4
1
452 − 6 5−2 − 6 + − 2 7 ∙ 5− 6 − = 1 − − 5
2
2
5
5
1
2
2
+
−
1
1 − 1 − 1 − − 1 +
: ∙ + 1 =
9
−1
1−
5. Risolvi le seguenti equazioni letterali :
,; − , − 9, + 9 = 0
& + 1 1 − &
2& + 7
+
= &−1
&+2
& +&−2
, 2,
−
=0;
− 2, + , , − ,
6. Una compagnia telefonica fa pagare un canone mensile di 10 €, e 8 centesimi per ogni minuto di conversazione. Un’altra compagnia
fa pagare un canone mensile di 15 €, e 6 centesimi per ogni minuto di conversazione. Quanti minuti si dovrebbe conversare in un
mese, per pagare la stessa cifra sia con l’una che con l’altra compagnia ?
7. In un trapezio la base minore è il doppio dell’altezza e l’altezza è la terza parte della base maggiore. Sapendo che il doppio della
differenza delle basi è uguale all’altezza aumentata di 12 m, calcola la sua area.
8. Alle ore 10:20, un treno parte da Milano in direzione di Roma, mentre un secondo treno parte da Roma in direzione di Milano.
Alle 12:50 i due treni si incontrano a Firenze. Sapendo che il percorso Milano-Roma è di 507,5 km, che il primo treno viaggia ad una
velocità media di 20 ?@⁄ℎ superiore a quella del secondo e che prima di incontrarsi si fermano alle stazioni intermedie
rispettivamente 30 minuti il primo treno e 15 minuti il secondo, determina le velocità dei due treni.
Valutazione
Punti
Voto
0-3
4-8
2
3
Esercizio
Punti
1
3
2
4
3
4
4
4-5-6-7
5
7-8-8
6
8
7
8
8
8
Totale
80
9 - 13 14 - 19 20 - 25 26 - 31 32 - 37 38 - 43 44 - 49 50 - 55 56 - 61 62 - 67 68 - 72 73 - 76 77 - 80
3½
4
4½
5
5½
6
6½
7
7½
8
8½
9
10
Soluzione
1. Completa la seguente tabella:
Espressione
2 + 2 = 4 + 2 − 1
2 = 2 + 1
3 − 5 = 0
+ = 100
2 + 6 = 0
|| − 5 = − 5
Dominio
R
R
Z
R
N
R
2. Verifica se l’espressione a lato è una identità:
+ + 2 − − + 2 = 4 ;
3. Data la formula: a =
,=
1 & 1−?;
2
Identità
X
Eq. determinata
Eq. indeterminata
X
X
X
X
X
X
+ − − = 4
+2 + 2 = 4 ;
4 = 4 .
1 b c − k ricava la formula per determinare b .
2
2, = & 1 − 2? ;
4. Risolvi le seguenti equazioni :
2 − 3 = 2 − 3 + + 5 ;
Verifica
2 ∙ 4 − 3 = 4 ∙ 2 ∙ 4 − 3 + 4 + 5 ;
−& 1 = −2? − 2, ;
−23 = 14 ;
Verifica
32 − 3 = 4 ∙ 5 + 4 + 5 ;
23 = −14 ;
−7 − 3−7 + 3 − [−2 + 7 + 5] = 2 − 7−7 + 1 ;
40 − [−4] = 2 + 42 ;
& 1 = 2? + 2, ;
2 − 3 = 2 − 3 + + 5 ;
3 − 33 + 3 − [−2 − 3 + 5] = 2 + 33 + 1 ;
3 − 9 + 2 − 3 − 5 = 2 + 3 + 3 ;
44 = 44 .
Eq. impossibile
& =
È un’identità.
2? + 2,
;
1
−3 = −3 + + 5 ;
29 = 29 .
& = ±D
2 = 8 ;
2? + 2,
1
= 4.
3 − 9 − F— 2 + 3 + 5H = 2 + 3 + 3 ;
−9 − 3 − 5 = 3 ;
3 = −7
−10−4 − [−9 + 5] = 2 − 7−6 ;
1
1
4
1
452 − 6 5−2 − 6 + − 2 7 ∙ 5− 6 − = 1 − − 5 ;
2
2
5
5
1
4
1
5
4
1
4 − 4 + + 4 − 47 ∙ 5− 6 − = 1 − + 5 ;
4 − 47 ∙ 5− 6 − = 1 − + 5 ;
4
5
5
4
5
5
16
1
+ − = 1 + 5 ;
+16 − = 5 + 25 ;
5
5
1
−10 = 5 ;
10 = −5 ;
=− .
2
Matematica
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2
1
2
2
+
1
−−1
1− 1−
1
−
9
+
: ∙ + 1 = ;
−1
1−
I. J. :
1
2
2
+
−
1
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − −1 − +
: ∙ + 1 = ;
9
−
1−
1−
≠ 0 ∧ ≠ −1 ∧ ≠ +1
1 + + 2
+ 21 + 1
1 + 1 − 1 + 1 − 9
+
: ∙ + 1 = ;
−
1−
1−
M
M
1 − + 2 + 2 1 − 1
1 + 3
∙
+
∙
N ∙ + 1 = ;
1 + 1 − −
1 + 1 − 1 + 3
3 + 2
1
+ N ∙ + 1 = ;
− ∙ 1 + ∙ 1 + M−
4−
4
∙ 3 + 2
1
1 + 3
+ N ∙ + 1 = ;
1
1
∙ + ∙ + 1 + 3
3 + 2
1
+
7 ∙ + 1 = ;
∙ 1 + ∙ 1 + −1 − 3 + 3 + 2
1
7 ∙ + 1 = ;
∙ 1 + 1
1
∙ + 1 = ;
1
∙ + 1 1
= ;
1 = 1 ; JO+,30PQ( 0QR(*(/@0Q,*,
∀ ≠ 0 ∧ ≠ −1 ∧ ≠ +1
5. Risolvi le seguenti equazioni letterali :
TU V − TW − XTV + X = Y ;
,; − 9, = , − 9 ;
Z( , − 9, = 0 ; 10Pè \( ,, + 3, − 3 = 0 ;
;
Z( , ≠ 0 ∧ , ≠ ∓3
Riassumendo:
⇒
=
Matematica
Z( , = 0
Z( , = −3
Z( , = 3
, + 3, − 3
, − 9
1
=
=
;
, − 9, ,, + 3, − 3 ,
Parametro
,=0
, = −3 ∨ , = +3
,≠0
,; − 9, = , − 9 ;
∧ , ≠ ∓3
0 = −9
0 = 0
0 = 0
Tipo di equazione
Equazione 0@]P\\0&0-(
Equazione indeterminata
Equazione determinata
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(O. 0@]P\\0&0-(
(O. 0QR(*(/@0Q,*,
(O. 0QR(*(/@0Q,*,
Soluzione
∄ ∈b
∀ ∈ b
1
=
,
3
dV + e e − dV
Wd + f
+
= W
;
d−e
d+W
d +d−W
& + 1 1 − &
2& + 7
+
=
;
& − 1& + 2
&−1
&+2
& + 1& + 2 + 1 − && − 1 = 2& + 7 ;
3& = 6 ;
Z( 3& = 0 = 0 ;
Z( & ≠ 0
Riassumendo:
10Pè \( & = 0
⇒
=
&≠0
TVW
⇒
6
2
=
3& &
∧ &≠1
− 2, − 1 = 0 ;
Z( 1 − 2, = 0 ;
Z( , ≠
1
2
b0\P-.(QRP
Riassumendo:
⇒
2,
≠1
2, − 1
⇒
2,
2,
=
1 − 2, 2, − 1
\0 ℎ, ∶
Parametro
,=0
1
,=
2
,≠0
− 2, + 2, = 0 ;
1
2
0 = −1
I. J. ],/,@(*/P: , ≠ 0
I. J. 0Q1PgQ0*,:
1 − 2, = −2, ;
(O. 0@]P\\0&0-(
0 ≠ −1 ;
∀, ∈ b .
Tipo di equazione
Equazione priva di significato
1
2
≠1
h,-( \P-+30PQ( è ,11(**,&0-( \( \PRR0\), 0- I. J. 0: ≠ 1 .
2, ≠ 2, − 1 ;
∧ ,≠
Soluzione
∄ ∈b
2
=
&
Equazione determinata
2,
−
= 0;
, − 1
, − 1
10Pè \( , =
=−
(O. 0@]P\\0&0-(
Tipo di equazione
Equazione priva di significato
Equazione 0@]P\\0&0-(
∧ & ≠ −2
V
WT
−
=Y;
− WTV + T TV − T
& + 2& + & + 2 + & − 1 − & + & = 2& + 7 ;
0 = 6
Parametro
& = 1 ∨ & = −2
&=0
I. J. ]: & ≠ 1 ∧ & ≠ −2
Equazione 0@]P\\0&0-(
Equazione determinata
Soluzione
∄ ∈b
=
2,
2, − 1
6. Una compagnia telefonica fa pagare un canone mensile di 10 €, e 8 centesimi per ogni minuto di conversazione. Un’altra compagnia
fa pagare un canone mensile di 15 €, e 6 centesimi per ogni minuto di conversazione. Quanti minuti si dovrebbe conversare in un
mese, per pagare la stessa cifra sia con l’una che con l’altra compagnia ?
Soluzione
Indichiamo con il numero dei minuti di conversazione in un mese, con la limitazione > 0 .
La prima compagnia fa pagare una somma data dalla seguente espressione: 8 + 1000
La seconda compagnia fa pagare una somma data dalla seguente espressione: 6 + 1500
Affinché si paghi la stessa somma deve essere: 8 + 1000 = 6 + 1500 . Da cui:
8 − 6 = 1500 − 1000 ;
2 = 500 ;
= 250
Pertanto per pagare la stessa cifra sia con l’una che con l’altra compagnia, in un mese si dovrebbe conversare 250 minuti.
[ 10 € = 1000 centesimi - 15 € = 1500 centesimi]
Matematica
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4
7. In un trapezio la base minore è il doppio dell’altezza e l’altezza è la terza parte della base maggiore. Sapendo che il doppio della
differenza delle basi è uguale all’altezza aumentata di 12 m, calcola la sua area.
Soluzione
Indichiamo la base maggiore &k = con la limitazione > 0 .
Pertanto si ha:
2 ∙ &k − & = ℎ + 12 ;
4
1
2 − = + 12 ;
3
3
⇒
ℎ= k
;
& = 2 ∙ = k
&k = 36 @
;
2
1
2 ∙ 5 − 6 = + 12 ;
3
3
6 − 4 = + 36 ;
2
∙ 36 @ = 24 @
3
&k + &
36 + 24
l’,/(, è: Z =
∙ℎ=
∙ 12 @ = 360 @
2
2
Quindi:
;
e
& =
= 36 ;
ℎ=
1
∙ 36 @ = 12 @
3
8. Alle ore 10:20, un treno parte da Milano in direzione di Roma, mentre un secondo treno parte da Roma in direzione di Milano.
Alle 12:50 i due treni si incontrano a Firenze. Sapendo che il percorso Milano-Roma è di 507,5 km, che il primo treno viaggia ad una
velocità media di 20 ?@⁄ℎ superiore a quella del secondo e che prima di incontrarsi si fermano alle stazioni intermedie
rispettivamente 30 minuti il primo treno e 15 minuti il secondo, determina le velocità dei due treni.
Soluzione
Indichiamo la velocità del secondo treno:
. = ⇒
.k = + 20
con la limitazione > 0 .
Essendosi fermato 30 minuti, al momento dell’incrocio, il primo treno ha viaggiato per 2 ore effettive.
kq n
trasformato in forma decimale diventa: 2n 15o = 2n p t = 2n 0,25n = 2,25 n .
Il secondo treno invece, essendosi fermato 15 minuti, al momento dell’incrocio, ha viaggiato per 2 ore e 15 minuti effettivi, che
rs
Nell’istante in cui i due treni si incontrano, hanno percorso complessivamente l’intero tragitto di 507,5 ?@ .
Cioè:
\k + \ = 507,5 ;
2 + 40 + 2,25 = 507,5 ;
.k *k + . * = 507,5 ;
4,25 = 467,5 ;
Pertanto la velocità media del secondo treno è . = 110 ?@⁄ℎ ,
mentre la velocità media del primo treno è .k = 130 ?@⁄ℎ .
Matematica
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+ 20 ∙ 2 + ∙ 2,25 = 507,5 ;
=
467,5
= 110 .
4,25
5
